- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •Введение
- •1. Ортогональные системы функций и обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье
- •1.1. Исторические замечания
- •1.2. Гильбертово пространство. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве
- •1.3. Тригонометрические ряды Фурье
- •1.4. Интегральная формула Фурье. Интеграл Фурье
- •1.5. Условия представимости функции интегралом Фурье
- •1.6. Комплексная форма интеграла Фурье. Преобразование Фурье
- •Преобразование Лапласа и его приложения
- •1.1. Свойства преобразования Лапласа
- •2.2. Решение дифференциальных уравнений операционным методом
- •Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений
- •Приложение операционного метода к решению систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •2.5. Индивидуальные задания
- •Ответы к индивидуальным заданиям
- •Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики
- •3.1. Понятие уравнения в частных производных и его решения. Основные уравнения математической физики. Уравнения современной математической физики
- •3.2. Уравнения Пуассона и Лапласа. Вывод уравнений для потенциала электрического поля
- •3.3. Получение уравнения Гельмгольца из уравнений электромагнитного поля
- •3.4. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле
- •3.5. Уравнение колебаний струны
- •4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи Коши
- •4.1. Распространение тепла в неограниченном стержне. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности
- •4.2. Метод Фурье для одномерного уравнения теплопроводности. Распространение тепла в ограниченном стержне
- •4.3. Общее решение волнового уравнения в случае одной пространственной переменной. Решение Даламбера
- •4.4. Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера
- •4.5. Колебания ограниченной струны. Решение методом Фурье
- •5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах
- •5.1. Оператор Лапласа в декартовых и криволинейных координатах. Граничные задачи для уравнений Лапласа и Пуассона
- •5.2. Разделение переменных в уравнении Лапласа в декартовой и сферической системах координат
- •5.3. Определение потенциала электрического поля внутри параллелепипеда
- •5.4. Разделение переменных в уравнении Лапласа в цилиндрических координатах
- •5.5. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Интеграл Пуассона
- •5.6. Распространение тепла в бесконечном цилиндре
- •5.7. Распространение электромагнитных волн в цилиндрическом волноводе
- •Решение уравнения Гельмгольца методом Фурье
- •5.8. Движение электрона в атоме водорода. Квантовый подход
- •6. Элементы теории специальных функций
- •6.1. Недостаточность элементарных функций для решений дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, как источник функций
- •6.2. Гипергеометрическое уравнение и функции гипергеометрического типа
- •6.3. Частные случаи гипергеометрической функции: цилиндрические функции Бесселя
- •6.4. Частные случаи гипергеометрической функции: ортогональные полиномы Лежандра
- •7. Функциональные и степенные ряды и их приложения к решению дифференциальных уравнений
- •7.1 Функциональные ряды. Сходимость и равномерная сходимость
- •7.2. Свойства равномерно сходящихся рядов. Признак равномерной сходимости
- •7.3. Степенные ряды. Интервал сходимости, радиус сходимости
- •7.4. Свойства степенных рядов
- •7.5. Арифметические операции и другие действия над степенными рядами
- •7.6. Разложение функций в степенные ряды
- •7.7. Обобщения степенных рядов – интегро – степенные ряды и ряды Вольтерра
- •8. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений
- •8.1. Необходимость асимптотических методов
- •8.2. Калибровочные функции. Символы порядка
- •8.3. Пример асимптотического разложения. Определение асимптотического ряда
- •8.4. Асимптотические последовательности и асимптотические разложения
- •8.5. Простейшие асимптотические методы решения дифференциальных уравнений
- •8.6. Метод Линдстедта – Пуанкаре
- •1. Ортогональные системы функций .И обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье……………………………………..... 4
- •2. Преобразование Лапласа и его приложения…………….19
- •2.3. Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений …………….……….……..…... 38
- •3. Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики ……………………......76
- •4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи ……...……………107
- •5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах .......…………….133
- •6. Элементы теории специальных функций.........................179
- •8. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений ….........................................221
- •9. Список литературы………………………………………..247
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
4.3. Общее решение волнового уравнения в случае одной пространственной переменной. Решение Даламбера
Исторические сведения
Д'Аламбер Жан Лерон (1717-1783 г.г.) – французский математик, механик и философ, член Петербургской Академии наук с 1764 года. Работал вместе с Д.Дидро над созданием знаменитой ”Энциклопедии наук искусств и ремесел”. Он впервые высказал идею о времени как о четвертом измерении. Благодаря работам Д' Аламбера, Л.Эйлера, Д.Бернулли были заложены основы математической физики. Д' Аламбер был избран в чл. Французской Академии ”Сорока Бессмертных”.
… … …
Рассматривая решения обыкновенных дифференциальных уравнений во втором семестре курса высшей математики, мы видели, что общее решение содержало произвольные постоянные. Например, общее решение дифференциального уравнения
имеет вид
,
где , произвольные константы, которые могут принимать любые значения из интервала (-∞, + ∞) или даже комплексные значения.
В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, общее решение дифференциального уравнения с частными производными, как увидим ниже, содержит уже не произвольные постоянные, а произвольную функцию.
Рассмотрим решение одномерного волнового уравнения, описывающего свободные колебания однородной струны
, , (4.30)
где – сила натяжения, действующая на струну, – постоянная линейная плотность струны, – постоянная с размерностью скорости, .
Запишем уравнение (4.30) в виде
(4.31)
и введем новую функцию
. (4.32)
Уравнения (4.31) и (4.32) образуют систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, эквивалентную уравнению (4.30):
(4.33)
Первое из этих уравнений является неоднородным дифференциальным уравнением. Второе уравнение, получаемое из уравнения (4.31) с помощью замены (4.32), является однородным уравнением (”без правой части ”). Для решения системы уравнений (4.33) нужно решить сначала второе уравнение, а затем – первое, подставив в правую часть найденную функцию .
Разыскиваем решение второго уравнения системы (4.33) в виде , где – произвольная функция, имеющая производную по аргументу . Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:
где штрих означает производную по аргументу. Подставляя полученные выражения для частных производных во второе уравнение системы (4.33), убеждаемся, что функция является его решением
.
Таким образом, доказано, что произвольная дифференцируемая функция является решением этого уравнения.
Для решения первого уравнения системы (4.33) удобно вместо функции ввести другую функцию с помощью соотношения
. (4.34)
В соответствии с этой заменой первое уравнение системы (4.33) запишется в виде
. (4.35)
Преобразуем теперь уравнение (4.35) так, чтобы оно стало однородным дифференциальным уравнением для новой неизвестной функции, введенной вместо функции . Для этого заметим, что производные функции по временной и пространственной переменным имеют вид:
Поэтому уравнение (4.35) можно записать в виде
или, объединяя члены с производными по одинаковым переменным,
(4.36)
Здесь новая неизвестная функция выражается через старую и введенную соотношением (4.34) функцию следующим образом
. (4.37)
Уравнение (4.36) имеет такой же вид, как и второе уравнение системы (4.33), но с заменой постоянной на (- ). Поэтому его решением является произвольная дифференцируемая функция .
Теперь из соотношения (4.37) можно получить общее решение первого уравнения системы (4.33)
, (4.38)
где и – произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции.
Поскольку первое уравнение системы (4.33) является уравнением (4.31), равносильным уравнению (4.30), то заключаем, что формула (4.38) дает общее решение волнового уравнения в одномерном случае.
Формула (4.38) называется решением Даламбера одномерного волнового уравнения. Она была получена Даламбером в 1747 году.*
Физический смысл решения Даламбера
Рассмотрим сначала решения уравнения вида . Пусть наблюдатель выходит в начальный момент из точки и передвигается в положительном направлении оси ОХ со скоростью . Пройденный наблюдателем путь за время t равен или . Для этого наблюдателя смещение струны – постоянно. Все время своего движения наблюдатель видит одно и то же смещение струны. Таким образом, функция описывает распространение смещения струны вдоль положительного направления оси ОХ. Это решение называется прямой волной, называется фазой прямой волны.
Аналогично, функция называется обратной волной, – фазой обратной волны. Эта функция описывает распространение смещения струны в отрицательном направлении оси ОХ со скоростью .
Таким образом, сумма прямой и обратной волн представляет собой общее решение однородного волнового уравнения в одномерном случае. В этом и заключается физическое содержание решения Даламбера (4.38).
Отсюда вытекает следующий графический способ построения формы струны в любой момент времени:
Строим кривые и при ;
Не меняя формы этих линий передвигаем их со скоростью в разные стороны — вправо, влево;
Для получения графика формы струны в момент времени t строим алгебраические суммы раздвинутых кривых в данный момент времени.