- •Последовательность выполнения работы
- •Методический пример
- •Контрольные вопросы
- •Задания на лабораторную работу
- •Лабораторная работа № 2 Модели в переменных состояния
- •Задания
- •Лабораторная работа №3 Соединение звеньев lti-объекта
- •Рассмотрим многоконтурную систему управления
- •Задание
- •Лабораторная работа №4 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и соду в среде simulink
- •1. Решение оду первого порядка.
- •2. Решение систем оду первого порядка.
- •Задание
- •Библиографический список
- •Содержание
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный
технический университет»
Кафедра технологических и автоматизированных
систем электронного машиностроения
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к лабораторным работам №1–4 по курсам «Моделирование систем» и «Системы автоматизированного проектирования» для бакалавров направления 210100.62 «Электроника и микроэлектроника» (профиль «Электронное машиностроение») и направления 230400.62 «Информационные системы и технологии» (профиль «Информационные системы и технологии») очной формы обучения
Воронеж 2012
Составители: д-р техн. наук К.А. Разинкин,
канд. техн. наук В.Г. Мединцев
УДК 519.711.3
Методические указания к лабораторным работам №1–4 по курсам «Моделирование систем» и «Системы автоматизированного проектирования» для бакалавров направления 210100.62 «Электроника и микроэлектроника» (профиль «Электронное машиностроение») и направления 230400.62 «Информационные системы и технологии» (профиль «Информационные системы и технологии») очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. К.А. Разинкин, В.Г. Мединцев. Воронеж, 2012. 49 с.
Методические указания содержат краткие теоретические и практические сведения об электропроводности полупроводников, магнитных явлениях, фоторезисторах, диэлектрических потерях.
Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS Word 2003 и содержатся в файле Модел_метод_указ_№ 1-4.doc.
Ил. 40. Библиогр.: 7 назв.
Рецензент канд. техн. наук, доц. А.В. Питолин
Ответственный за выпуск зав. кафедрой
д-р техн. наук, проф. О.Н. Чопоров
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
Ó ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2012
Лабораторная работа №1
Модели непрерывных систем.
Динамические и частотные характеристики.
Цель работы
Получение навыков составления дифференциальных уравнений и передаточных функций простых систем (на примере четырехполюсных элементов - RCL - цепочек), а также ознакомление с инструментарием построения и изучения динамических и частотных характеристик систем автоматического управления (САУ) на основе Control System Toolbox входящего в состав пакета Matlab.
Общие теоретические сведения
Непрерывные процессы, протекающие в системах управления, могут быть описаны обыкновенными дифференциальными уравнениями с соответствующими начальными условиями. Тогда, если известен входной сигнал, выходной сигнал определяется в результате решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (1.1).
Одномерная линейная непрерывная нестационарная система управления описывается дифференциальным уравнением
(1.1)
с начальными условиями
, (1.2)
-входной сигнал; - выходной сигнал; t - время; - коэффициенты левой и правой частей уравнения; n и m - порядки старших производных выходного и входного сигналов соответственно; - момент начала функционирования системы.
Если коэффициенты уравнения постоянны, система называется линейной стационарной:
(1.3)
В операторной форме уравнение 1 имеет вид
(1.4)
где - символ, обозначающий операцию дифференцирования; , - дифференциальные операторы левой и правой частей уравнения (1.1):
Уравнение (1.3) в операторной форме имеет вид
(1.5)
где
Из операторной формы уравнения следует способ изображения стационарной системы на структурных схемах (рис. 1.1).
Рис. 1.1
Таким образом, в качестве объекта исследования выступают линейные (линеаризованные) динамические стационарные системы управления с одним входом и одним выходом. При этом модель одномерной САУ задана в виде комплексной передаточной функции, записанной как отношение полиномов
.
В ходе выполнения работы необходимо:
На основании принципиальной схемы изложенной в соответствии с вариантом задания записать передаточную функцию системы через обыкновенное дифференциальное уравнение, связывающее входную и выходную величину в любой момент времени.
Определить полюса (корни характеристического уравнения) и нули передаточной функции , .
Построить графики переходной и импульсно-переходной функции: h(t), w(t).
Построить логарифмические частотные характеристики L (w ).
Построить частотный годограф Найквиста W(jw ), w = [0, ∞].
Представить исходную систему в виде последовательного соединения типовых звеньев. Построить характеристики этих типовых звеньев.
Рассмотрим примеры составления дифференциальных уравнений и передаточных функций на примерах простых четырехполюсных элементов (RLC -цепочек).
Пример 1. Пусть дана схема четырехполюсника, представленная на рис. 1.2. Требуется составить дифференциальное уравнение, связывающее входное и выходное напряжение в любой момент времени. Затем составить передаточную функцию разомкнутой системы.
Рис. 1.2
, связь тока и напряжения в ёмкости запишется как , тогда , отсюда ,
Обозначим , и получим дифференциальное уравнение вида . В форме Коши уравнение будет иметь вид . Операторная форма записи - . Далее запишем передаточную функцию системы в виде отношения .
П ример 2. Условия примера аналогичны условиям примера 1.
Рис. 1.3
Запишем уравнение второго закона Кирхгофа, соотношение, связывающее ток и напряжение на емкости, и начальные условия:
; ; Обозначим . Учитывая, что по закону Ома , получим . Обозначим , , тогда . Операторный вид и передаточную функцию представьте самостоятельно ориентируясь на данные примера 1.
Динамические свойства систем характеризуют реакции на входные воздействия специального вида. В частности анализ выхода системы на единичный скачок и δ -функцию (дельта-функцию).
П
Рис.1.4. Функция Хевисайда
График функции Хевисайда приведен на рис. 1.4.
Рис. 1.4. Функция Хевисайда
Реакция САУ на единичный скачок называется переходной функцией системы и обозначается h(t).
Если u(t) = δ (t), то есть на вход системы поступает функция Дирака (δ -функция, импульсная функция, рис. 1.5) определяемая
Рис. 1.5. Функция Дирака
то реакция САУ называется импульсной переходной функцией системы и обозначается w(t). Таким образом оригинал комплексной передаточной функции можно измерить как реакцию систему на импульс.
Импульсная и переходная функции системы связаны соотношением (из (1.4)):
.
Благодаря широкому применению при исследовании устойчивости динамических систем и проектировании регуляторов получили распространение частотные характеристики.
Пусть на вход системы с передаточной функцией W(s) подается гармонический сигнал u(t) = au cos(wt), t >0. (1.5)
В этих условиях справедлива следующая теорема:
Если звено является устойчивым, то установившаяся реакция y(t) на гармоническое воздействие является функцией той же частоты с амплитудой
ay = au |W(jw )|, и относительным сдвигом по фазе ψ = arg W(jw ).
Таким образом, выход определяется гармонической функцией
y(t) = au |W(jw )| cos(wt + arg W(jw)), где i – комплексная единица (i2 = –1), – частотная характеристика.
Частотной характеристикой W(jw ) стационарной динамической системы называется преобразование Фурье переходной функции:
,
где w(t – w ) – импульсная переходная функция.
Связь между комплексной передаточной функцией и частотной характеристикой, исходя из свойств преобразований Фурье можно представить в виде соотношения:
.
При фиксированном значении w частотная характеристика является комплексным числом, и, следовательно, может быть представлена в виде
.
Здесь – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ);
– фазово-частотная характеристика (ФЧХ);
– вещественная частотная характеристика (ВЧХ);
– мнимая частотная характеристика (МЧХ).
Геометрическое место точек W(jw ) на комплексной плоскости при изменении w от w0 до от w1 (обычно w 0 = 0, w 1 = w ), называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ) или частотным годографом Найквиста.
Имеет широкое практическое значение диаграмма Боде (логарифмическая амплитудная характеристика, ЛАХ), которая определяется как L = 20 lg A(w), измеряется в децибелах и строится как функция от lg w .
Последовательность выполнения работы
Для выполнения лабораторной работы используется пакет прикладных программ (ППП) Control System Toolbox. ППП предназначен для работы с LTI-моделями (Linear Time Invariant Models) систем управления.
В Control System Toolbox имеется тип данных, определяющих динамическую систему в виде комплексной передаточной функции. Синтаксис команды, создающий LTI-систему c одним входом и одним выходом в виде передаточной функции:
TF([bm, …, b1, b0], [an, …, a1, a0])
bm, …, b1 – значения коэффициентов полинома В в (1.3),
an, …, a1 – значения коэффициентов полинома A в (1.3).
Для выполнения работы могут применяться команды, приведенные в табл. 1.1.
Таблица 1.1
Некоторые команды Control System Toolbox
Синтаксис |
Описание |
pole(<LTI-объект>) |
Вычисление полюсов передаточной функции |
zero(<LTI-объект>) |
Вычисление нулей передаточной функции |
Продолжение табл. 1.1
step(<LTI-объект>) |
Построение графика переходного процесса |
impulse(<LTI-объект>) |
Построение графика импульсной переходной функции |
bode(<LTI-объект>) |
Построение логарифмических частотных характеристик (диаграммы Боде) |
nyquist(<LTI-объект>) |
Построение частотного годографа Найквиста |
Для определения корней полиномов степени k, может, также, применятся команда MATLAB roots(P), которая, в качестве аргумента P, получает матрицу коэффициентов полинома [pk, …, p0].
Другим вариантом получения графиков динамических характеристик САУ является использование графического интерфейса ППП CST – LTI viewer, вызов которого осуществляется командой ltiview которой, в качестве параметра, можно указать имя переменной, содержащей LTI-объект.
Таким образом, выполнение лабораторной работы состоит из следующих шагов:
Изучить теоретические сведения.
Запустить систему MATLAB.
Создать tf-объект, в соответствии с заданным вариантом.
Составить дифференциальное уравнение, определяющее функционирование САУ.
Определить полюса передаточной функции с использованием команды roots или pole.
Определить нули передаточной функции с использованием команды roots или zero.
Используя LTI-viewer, или соответствующие команды (табл.1) получить динамические характеристики – переходную функцию h(t), импульсно-переходную функцию w(t) и частотные характеристики – диаграмму Боде, частотный годограф Найквиста.
Получить представление исходной функции в виде произведения типовых звеньев.
Ответить на контрольные вопросы.
Оформить отчет.
Сдать отчет преподавателю и защитить работу.
Отчет оформляется в соответствии с требованиями, предъявляемыми к оформлению лабораторных работ в вузе, и должен содержать титульный лист, формулировку цели работы, постановку задачи в соответствии с вариантом задания, результаты работы, выводы.
Примечание: Варианты заданий, состоят из двух цифр: первая - номер передаточной функции, вторая – номер набора значений коэффициентов.