3.Решение задач на тему «Теорема об изменении кинетического момента»
Для заданной механической системы, состоящей из двух однородных круглых дисков 1,2 и груза 3, определить при помощи теоремы об изменении кинетического момента угловое ускорение диска 1. Найти также натяжение нити, к которой подвешен груз 3.
Дано:
m1 = 400 кг;
m2 = 450 кг;
m3 = 550 кг;
R1 = 70 cм = 0,7 м;
R2 = 90 см = 0,9 м;
М = 40 кНм = 40000 Нм;
Мс = 6 кНм = 6000 Нм.
Через центр вращения диска 2 проведем ось Z и запишем теорему об изменении кинетического момента:
Рисунок 2.8
Кинетический
момент системы относительно оси
векторная сумма
моментов внешних сил, действующих на
систему, относительно оси z.
Кинетический момент системы:
(однородные круглые диски).
С учетом этих зависимостей, кинетический момент система:
Сумма моментов:
Теорема об изменении кинетического момента:
(3.1)
Разделяя переменные, интегрируем левые и правые части уравнения:
,
где τ – текущий момент времени.
Из уравнения (3.1) найдем угловое ускорение ε1 диска 1:
Для
определения натяжения нити (Рисунок 2 .9),
приложим силу инерции
и
отбросим связь (нить), заменив ее действие
реакцией R3.
Рисунок 2.9
Уравнение равновесия груза 3:
где q = 9,81 м/с2 ускорение свободного падения
Условие равномерного движения механической системы:
.
Отсюда
4.Решение задач по разделу «Сопротивление материалов»
4.1.Поперечный изгиб
Методические указания.
При
построении эпюр Qx,
Mx,
EIx
=
,
EIyx
=
,
использовать дифференциальные
зависимости:
;
;
;
,
где х – угол наклона, ух – ордината упругой линии.
Построить эпюры Qx, и Mx и подобрать сечение двутавровой балки в случае, изображенном на рисунке 3.1, а, если [σ] = 1500 кг/см2. Определить величину прогиба посредине балки, если E=2106 кг/см2.
Определяем реакции А = -2 т, В = – 4 т. Строим эпюры Q и М (Рисунок 3 .10, б). Если Q возрастает (правая половина балки) – эпюра М имеет выпуклость вниз. Там, где
Q = 0, Мmin = – 2·3 + 3 – 1 = -4 тм.
Рисунок 3.10
По сортаменту при [σ] = 1500 кг/см2 выбираем двутавр № 27а с моментом инерции I = 5500 см4. Запишем уравнение равенства прогиба на правой опоре (Рисунок 3 .10, г):
.
откуда
=
8,625;
=
8,625 – 2(33/6)
= – 0,375 тм3.
Найдем величину прогиба посредине балки:
см.
Построить эпюры Q и М и найти величину прогиба в точке k посредине пролета, подобрав размер сечения двутавровой балки, если [σ] = 1970 кг/см2, Е = 2·106 кг/см2 для нагрузки, представленной на рисунке 3.2, а.
Определяем реакции: А = 6,5 т, В = 1,5 т. Строим эпюры Q и М (Рисунок 3 .11, б, в). |Мmax| = 4 тм. W = 203 см3. Итак, следует взять двутавровую балку № 20а (I = 2030 см4); EI = 2·106·2030 = 4,06·109; EI0 = 0,67 тм2; EIуk = -1,65 тм3, уk = -0,412 см.
Рисунок 3.11
При действии двух сосредоточенных сил (Р = 30 т) построить эпюры Q и М, подобрать сечение двутавровой балки, если [σ] = 1550 кг/см2, и найти направление и величину σmax в опасной точке опасного сечения. Определить здесь max (Рисунок 3 .12, а).
Рисунок 3.12
Эпюры Q и М даны на рисунке 3.3, б. Qmax = Р = 30 т, Мmax = 24 тм. Необходимый момент сопротивления W =M/[σ] = 1550 см3, берем двутавровую балку с сечением № 50; I = 39290 см4; S0,5 = 905; Sпол = 626 см3. Напряжения в поперечном сечении балки в месте перехода от стенки к полке будут равны: σk = 1530; k = 505 кг/см2.
Найдем главное напряжение (Рисунок 3 .12, в).
кг/см2,
;
кг/см2.
Построить эпюры Q и М, подобрать сечение двутавровой балки при [σ] = 1390 кг/см2 и определить величину прогиба свободного конца балки, если Е = 2·106 кг/см2 (Рисунок 3 .13, а).
Определяем реакции: А = 6 т и М = -4 тм. Строим эпюры Q и М (Рисунок 3 .13, б). Необходимый момент сопротивления W = 400000/1390 = 288; берем двутавровую балку с сечением № 24. Тогда I = 3460 см4; EI = 6,92·109 кг/см2.
,
тм3;
см.
Общий вид изогнутой оси дан на рисунке 3.4, в.
Рисунок 3.13
Построить эпюры Q и М и найти величину прогиба свободного конца балки, выразив его через EI = const (Рисунок 3 .14, а).
Рисунок 3.14
Реакции А = 0, М0 = -(qℓ2/4). Эпюры Q и М даны на рисунке. 3.5, б. Величина наибольшего прогиба
:
.