10. Выравнивание статистических рядов
П
ри
обработке статистического материала
часто приходится решать вопрос о том,
как подобрать для статистического ряда
плавную теоретическую кривую распределения,
выражающую лишь существенные черты
статистического материала, а не
случайности, связанные с недостаточным
объемом экспериментальных данных (рис.
4). Такая задача называется задачей
выравнивания
(сглаживания) статистических рядов.
Как правило, принципиальный вид теоретической кривой выбирается заранее, в соответствии с задачей, а в некоторых случаях с внешним видом статистического распределения. Аналитическое выражение выбранной кривой распределения зависит от некоторых параметров. Задача выравнивания статистического ряда переходит в задачу рационального выбора тех значений параметров, при которых соответствие между статистическим и теоретическим распределениями оказывается наилучшим. При сглаживании эмпирических зависимостей или при подборе параметров распределения применяют метод наименьших квадратов. Рассмотрим этот метод.
Пусть в результате опыта получен ряд экспериментальных точек и построен график зависимости y от x (рис. 5).
Обычно экспериментальные точки на таком графике располагаются не совсем правильным образом – дают некоторый «разброс», то есть обнаруживают случайные отклонения от видимой общей закономерности. Эти отклонения связаны с неизбежными при всяком опыте ошибками измерения.
Возникает вопрос, как по этим экспериментальным данным наилучшим образом воспроизвести зависимость y от x?
Известно, что через
любые n
точек с координатами
можно провести кривую, выражаемую
аналитически полиномом степени
,
так, чтобы она в точности прошла через
каждую из точек (рис. 5). Однако такое
решение вопроса обычно не является
удовлетворительным, так как такое
нерегулярное поведение экспериментальных
точек связано не с объективным характером
зависимости y
от x,
а исключительно с ошибками измерений.
Желательно обработать экспериментальные
данные так, чтобы по возможности точно
отразить общую тенденцию зависимости
y
от x,
но вместе с тем сгладить незакономерные
случайные отклонения, связанные с
неизбежными погрешностями самого
наблюдения.
Для решения подобных
задач обычно применяется расчетный
метод, известный под названием «метода
наименьших квадратов».
Этот метод
дает возможность при заданном типе
зависимости
(эмпирическая функция) так выбрать ее
числовые параметры, чтобы кривая
наилучшим образом отражала экспериментальные
данные.
Вопрос о выборе кривой решается либо непосредственно по внешнему виду экспериментальной зависимости, либо вид заранее известен из физических соображений. Требуется определить параметры этой зависимости.
Суть метода наименьших квадратов для определения параметров эмпирической зависимости сводится к тому, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от сглаживающей кривой ( ) обращалась в минимум.
Пусть имеется
таблица экспериментальных данных и
пусть выбран общий вид функции
,
зависящей от нескольких числовых
параметров
.Эти
параметры необходимо выбрать согласно
методу наименьших квадратов
так, чтобы сумма квадратов отклонений
от
была минимальна, то есть если
,
то
или
,
( 1 )
где
-
значение частной производной функции
по параметру а
в точке
;
,
,
… - аналогично. Система (1) содержит
столько же уравнений, сколько неизвестных
.
В общем виде систему (1) решить нельзя, надо задаваться конкретным видом функции .
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся виды зависимостей – линейную и квадратическую.
Пусть в опыте зарегистрирована совокупность значений (i=1,2,…,n) (рис. 6)
Данную экспериментальную зависимость наилучшим образом отражает линейная функция
.
Подберем по методу
наименьших квадратов параметры a
и b.
Имеем
.
Дифференцируя это выражение по a и b, имеем:
;
=
;
;
=1.
Подставляя найденное в систему (1), получим два уравнения для определения a и b.
Раскрывая скобки и производя суммирование, имеем
-
система для определения неизвестных параметров a и b.
Для определения
параметров квадратичной
зависимости
соответственно
получаем систему трех уравнений с тремя
неизвестными
или
.
Зная аналитический вид экспериментальной зависимости, можно определить значение функции в точках, не нашедших отражения в экспериментальной таблице, то есть сделать какие-то прогнозы.