2.2. Замена переменных в кратных интегралах

Общая замена переменных в двойном интеграле

Известно, что положение некоторой фиксированной точки А на плоскости можно определить с помощью координатных линий. Координатными линиями могут быть: прямые, параллельные осям координат (декартовая прямоугольная система координат); лучи, исходящие из начала координат и концентрические окружности с центром в начале координат (полярная система координат); два взаимно пересекающихся семейства кривых (криволинейная система координат). Используя переход от одних координат к другим можно значительно упростить интегрирование функции. Итак, пусть в плоскости ХОУ дана область D, ограниченная линией L, и пусть для функции f(х, у) существует двойной интервал

. (2.9)

Предположим, что с помощью формул

(2.10)

мы переходим к новым переменным u и v.

Предполагается, что функции х(u, v), у(u, v) однозначны, непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка в некоторой области D^* плоскости u и v, тогда u и v определяются действенным образом из формул (2.10)

(2.11)

Эти формулы устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками областей D и D^. С помощью формул (2.11) каждой точке М(х, у) из области D ставится в соответствие некоторая точка М^*(u, v) из области D^. Формулы (2.10) называют формулами преобразования координат, а формулы (2.11) - формулами обратного преобразования.

При сделанных предположениях можно доказать, что если выражение

∂x/∂u ∂x/∂v

J =

∂y/∂u ∂y/∂v (2.12)

функциональный определитель Якоби (Якобиан) отличен от 0 в области D^, то для интеграла (2.9) справедлива формула замены переменных:

. (2.12)

В формуле (2.12) под интегралом стоит J модуль определяется Якоби.

Выражение называют элементом площади в криволинейных координатах.

Если в формуле (2.9) положить f(х, у)  1, (х, у)  D, то площадь фигуры D выразится интегралом по области D^

. (2.13)

Отсюда видно, что абсолютная величина Якобиана равна коэффициенту изменения площади при отображении области D в областях D^.

Двойной интеграл в криволинейных координатах можно вычислить с помощью перехода к повторному интегралу. Пределы интегрирования по переменным u и v устанавливаются в соответствии с видом области интегрирования D^.

Общая замена переменных в тройном интеграле

Как и в случае двойного интеграла при вычислении тройного интеграла часто приходится совершать преобразование переменных х, у, z.

Пусть функции

(2.14)

взаимно однозначно отображают область Т в декартовых координатах х, у, z на область Т^* в криволинейных координатах u, v, w. Если функции имеют непрерывные первые частные производные в области Т^*, а якобиан преобразования

(2.15)

не равен нулю в области Т^, то можно доказать, что формулы (2.14) однозначно разрешаются относительно новых переменных .

При таком отображении элемент объема имеет вид: .

Отсюда вытекает формула преобразования переменных в тройном интеграле

. (2.16)

Остановимся подробнее на двух наиболее употребляемых случаях замены переменной в тройном интеграле.