- •Прикладная механика Учебное пособие
- •Прикладная механика
- •Введение
- •1.Основные понятия и аксиомы статики твердого тела
- •1.1.Основные понятия и определения
- •1.2.Аксиомы статики
- •1.3.Основные типы реакций связей
- •1.4.Система сходящихся сил
- •1.5.Момент силы относительно точки и оси
- •2.Плоская система сил
- •2.1.Различные формы условий равновесия плоской системы сил
- •2.2.Центр параллельных сил
- •2.3.Центр тяжести. Определение координат центра тяжести плоских фигур
- •3.Кинематика точки и твердого тела
- •3.1.Способы задания движения точки
- •3.1.1.Естественный способ задания движения точки
- •3.1.2.Координатный способ задания движения точки
- •3.2.Простейшие движения твердого тела
- •3.2.1.Поступательное движение
- •3.2.2.Вращательное движение
- •4.Сложное движение
- •4.1.Сложное движение точки
- •4.1.1.Относительное, переносное и абсолютное движение
- •4.1.2.Теорема о скорости точки в сложном движении
- •4.1.3.Плоскопараллельное движение твердого тела
- •4.1.4.Разложение плоскопараллельного движения на поступательное и вращательное
- •4.1.5.Скорость точки плоской фигуры
- •4.1.6.Мгновенный центр скоростей и распределение скоростей точек плоской фигуры
- •5.Дифференциальные уравнения и основные задачи динамики материальной точки
- •5.1.Основные положения динамики. Аксиомы динамики
- •5.2.Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •5.3.Две основные задачи динамики точки
- •6.Динамика относительного движения материальной точки
- •6.1.Динамические дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки
- •6.2.Частные случаи динамической теоремы Кориолиса
- •7.Динамика твердого тела
- •7.1.Понятие о механической системе
- •7.2.Принцип Даламбера
- •7.3.Основное уравнение динамики вращающегося тела
- •7.4.Моменты инерции простейших однородных тел
- •8.Элементы аналитической механики
- •8.1.Обобщенные координаты
- •8.2.Возможные перемещения
- •8.3.Принцип возможных перемещений
- •9.Основы теории колебаний, теории удара
- •9.1.Устойчивость положения равновесия
- •9.2.Колебания системы с одной степенью свободы
- •9.3.Общие положения теории удара
- •10.Задачи сопротивления материалов
- •10.1.Основные допущения
- •10.2.Напряжения
- •10.3.Перемещения и деформации. Закон Гука
- •11.Растяжение и сжатие.
- •11.1.Диаграмма растяжения.
- •11.2.Методы расчета строительных конструкций.
- •12.Геометрические характеристики плоских сечений
- •12.1.Моменты инерции сечения
- •12.2.Момент инерции при параллельном переносе осей
- •13.Изгиб и кручение стержней
- •13.1.Расчеты на прочность при кручении стержней. Крутящий момент. Построение эпюр
- •13.2.Расчеты на прочность при изгибе стержней
- •Примеры
- •14.Устойчивость сжатых стержней
- •14.1.Основные понятия
- •14.2.Формула Эйлера для критической силы
- •14.3.Влияние способа закрепления концов стержня на значение критической силы
- •14.4.Практический расчет сжатых стержней
- •15.Теория тонких пластин
- •15.1.Основные понятия и гипотезы
- •15.2.Соотношения между деформациями и перемещениями
- •15.3.Напряжения и усилия в пластинке
- •15.4.Усилия в пластинке
- •15.5.Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности пластинки
- •16.Прочность материалов при циклически меняющихся напряжениях
- •16.1.Понятие об усталостном разрушении материала и его причины
- •16.2.Характеристики циклов напряжений
- •16.3.Предел выносливости
- •16.4.Факторы, влияющие на усталостную прочность материала
- •17.Проблемы теории механизмов и машин
- •17.1.Кинематические пары и кинематические цепи
- •17.2.Структура и кинематика плоских механизмов
- •18.Структурное исследование механизмов
- •18.1.Степень подвижности механизма
- •18.2.Классификация механизмов
- •19.Кинематическое исследование плоских стержневых механизмов
- •19.1.Методы исследования
- •19.1.1.Графический метод кинематического исследования механизмов
- •19.1.2.Определение скоростей и ускорений точек звеньев методом планов
- •19.1.3.Свойство планов скоростей
- •19.1.4. Построение плана скоростей и ускорений кулисного механизма
- •20.Механизмы с высшими парами. Зубчатые механизмы
- •20.1.Зубчатые передачи
- •20.1.1.Общие сведения. Основная теорема зацепления.
- •20.1.2.Геометрические элементы зубчатых колес
- •21.Кулачковые механизмы
- •21.1.Виды кулачковых механизмов
- •21.2.Проектирование кулачковых механизмов
- •22.Методика силового расчета механизмов
- •22.1.Методы силового исследования механизмов
- •22.1.1.Силы, действующие на звенья механизма
- •22.1.2.Силы инерции звена, совершающего возвратно-поступательное движение
- •22.1.3. Силы инерции звена, совершающего вращательное движение вокруг неподвижной оси (рис. 20.2)
- •22.1.4.Силы инерции звена, совершающего плоско-параллельное движение (рис. 20.3)
- •22.2.Определение реакций в кинематических парах групп Ассура
- •22.2.1.Силовой расчет начального звена (рис. 20.4, а)
- •23.Динамика машинного агрегата
- •23.1.Кинетическая энергия механизма
- •23.2.Приведение масс и сил
- •23.3.Режимы работы машин
- •23.4.Уравнение движения механизма
- •24.Детали машин и механизмов
- •24.1.Общие сведения о проектировании деталей машин
- •24.2.Виды нагрузок, действующих на детали машин
- •24.3.Основные сведения о проектировании и конструировании
- •24.4.Стадии разработки конструкторской документации
- •25.Зубчатые механизмы
- •25.1.Классификация зубчатых передач
- •25.2.Виды разрушения зубьев. Критерии работоспособности и расчета
- •25.3.Расчет основных геометрических параметров цилиндрических прямозубых колес
- •25.4.Расчет зубьев цилиндрических прямозубых зубчатых колес на изгиб
- •25.5.Расчет зубьев цилиндрических зубчатых колес на контактную прочность
- •26.Конические зубчатые передачи
- •27.Общие сведения о разъемных и неразъемных соединениях
- •27.1.Неразъемные соединения
- •27.2.Разъемные соединения
- •27.2.1.Шпоночные и шлицевые соединения
- •28.Допуски и посадки
- •28.1.Взаимозаменяемость и технологичность деталей машин
- •29.Надежность деталей машин и механизмов. Основные понятия теории надежности
- •30.Оси и валы
- •30.1.Общие сведения
- •30.2.Проектный расчет валов и осей
- •30.2.1.Составление расчетных схем
- •30.2.2.Расчёт опасного сечения
- •30.3.Проверочные расчеты валов и осей
- •30.3.1.Расчет на выносливость валов и вращающихся осей
- •30.3.2.Расчет валов и неподвижных осей на статическую прочность
- •30.4.Проверочный расчет валов и осей на жесткость
- •31.Подшипники, муфты
- •31.1.Подшипники
- •31.1.1.Подшипники скольжения
- •31.1.2.Подшипники качения
- •32.Муфты
- •32.1. Назначение и классификация
- •32.2. Постоянные муфты
- •32.3.Управляемые муфты
- •32.4.Самоуправляемые муфты
- •Заключение
- •Библиографический список
- •3 94026 Воронеж, Московский просп., 14
6.Динамика относительного движения материальной точки
6.1.Динамические дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки
Если к материальной точке приложены некоторые силы, то движение точки под их действием представляется различным образом при наблюдении с неподвижной системы отсчета и с системы отсчета, имеющей некоторое переносное движение относительно неподвижной системы. Все кинематические характеристики точки, в частности и ускорения, различны в этих системах отсчета. Уравнение динамики материальной точки, отнесенное к «неподвижной» системе отсчета, имеет вид:
ma= Fk (k=1,…, n), (6.1)
где m–масса точки, a–ускорение точки, Fk – силы, приложенные к точке.
Воспользуемся кинематической теоремой Кориолиса о сложении ускорений для точки и представим вектор абсолютного ускорения точки в виде геометрической суммы векторов относительного, переносного ускорений и ускорения Кориолиса:
a=ar+ae+ak . (6.2)
Подставляя это выражение вместо a в (6.1), имеем:
m ar+m ae+m ak=F . (6.3)
Здесь введено F=Fk – равнодействующая всех непосредственно приложенных к рассматриваемой материальной точке сил.
Выражая из (6.3) m ar через остальные члены, получаем:
m ar=F+(– m ae)+(– m ak). (6.4)
Рассматривая правую часть равенства (6.4), можно сделать вывод, что сила, действующая на точку и создающая ее относительное ускорение, состоит из трех сил: непосредственно приложенной к точке силы F и двух дополнительных сил, наблюдаемых только в подвижной системе отсчета. Одну из этих сил называют переносной силой инерции и обозначают Фe:
Фe= – m ae . (6.5)
Переносная сила инерции точки в ее относительном движении направлена противоположно вектору переносного ускорения точки и численно равна произведению массы точки на величину (модуль) переносного ускорения точки.
Другую силу называют силой инерции Кориолиса, векторное выражение которой имеет следующий вид:
Фk= – m ak . (6.6)
Сила инерции Кориолиса направлена прямо противоположно ускорению Кориолиса точки и численно равна произведению массы точки на величину ускорения Кориолиса [ak=2(eVr)].
Пользуясь равенствами (6.5) и (6.6), соотношение (6.4) можно представить в виде:
m ar= F+ Фe+ Фk (6.7)
Выражая относительное ускорение через вторую производную от вектора R, можно получить уравнение:
Md2R/dt2= F+ Фe+ Фk . (6.7)
Уравнение (6.7) выражает динамическую теорему Кориолиса, которая формулируется так: относительное движение точки происходит под действием не только непосредственно приложенной силы F, но и под действием переносной силы инерции Фe и силы инерции Кориолиса Фk.
6.2.Частные случаи динамической теоремы Кориолиса
Предположим, что переносное движение подвижной системы координат – поступательное, т.е. e=0, тогда ak=2(eVr)0 и Фk=-mak0, а поэтому:
Mar=F+Фe, т.е. относительное движение точки происходит под действием только двух сил: непосредственно приложенной и переносной силы инерции.
Если предположить дополнительно, что оси подвижной системы координат движутся равномерно, прямолинейно и параллельно осям неподвижной системы координат, то проекции силы F на оси каждой системы координат одинаковы.
Инерциальными системами координат называются такие системы, по отношению к которым материальное тело может получать ускорение только вследствие реального воздействия на него других тел, но не вследствие движения системы координат.
Выясним, при каких условиях движение точки в подвижной системе координат является прямолинейным и равномерным с постоянной относительной скоростью Vr=const. Положим ar=0 в уравнении (6.7):
F+Фe+Фk=0 . (6.8)
Уравнение (6.8) выражает условие прямолинейного и равномерного движения точки в подвижной системе координат, имеющей переносное движение. Если в уравнении (6.8) положить Vr=0, что определяет условие собственно относительного равновесия точки (материальная точка, помещенная без начальной скорости в некоторое положение по отношению к подвижной системе координат, останется в этом положении равновесия), тогда ak=0 и сила инерции Кориолиса также равна нулю.
Условие (6.8) в этом случае имеет вид Фe+F=0, которое формулируется так: для относительного равновесия материальной точки в подвижной системе координат необходимо и достаточно, чтобы непосредственно приложенная к точке сила и переносная сила инерции взаимно уравновешивались (Vre, Vr=const).
Пример. Груз А весом P скользит по боковой грани призмы В. Призма движется по горизонтальной плоскости с ускорением ae. Коэффициент трения скольжения f.
Определить ускорение груза по отношению к призме и давление груза на боковую грань призмы.
Решение. Движение груза А является сложным: относительное движение – движение по отношению к боковой грани; переносное – движение вместе с призмой.
К грузу приложены силы (рис. 6.1): P – вес груза, N – нормальная реакция боковой грани, Fт.с. – сила трения скольжения.
Рис. 6.30
Для решения задачи воспользуемся методом динамики относительного движения: ко всем силам, приложенным к материальной точке добавим силу инерции Фe в переносном движении и силу инерции Кориолиса. Так как переносное движение поступательное, то ak=0 и Фk=0. Сила инерции Фe в переносном движении Фe=Pae/g.
Составим дифференциальное уравнение относительного движения груза в проекции на ось X:
.
Учитывая, что Fт.с.=fN , получим:
. (6.9)
Для определения нормальной реакции N боковой грани призмы составим дифференциальное уравнение относительного движения груза в проекции на ось Y:
MΫr=N – Pcos – Фesin .
Так как Ϋr=0, получим:
. (6.10)
Искомое давление груза на боковую грань призмы направлено противоположно N и равно ей по модулю. Подставив в уравнение (6.9) значение N из формулы (6.10), получим искомое относительное ускорение:
.