3. Кулачковые механизмы

   1. Виды кулачковых механизмов

Во многих отраслях техники получили широкое распространение кулачковые механизмы. Принципиальная схема кулачкового механизма показана на рисунке 5.13.

Рисунок 5.100

Кулачок 1 вращается относительно оси О; ролик 2 соприкасается с поверхностью кулачка и приводит в движение толкатель 3, который имеет направляющую 4.

В приборах с небольшими нагрузками применяют остроконечный толкатель без ролика. Кроме прямолинейно движущегося толкателя выходным звеном может быть коромысло О₁А (рисунок 5.14), которое вращается относительно закрепленной на стойке точки. Непрерывный контакт ролика с профилем кулачка может быть обеспечен внешней силой (пружиной и др.), приложенной к толкателю – силовое замыкание. Геометрическое замыкание обеспечивается выполнением в кулачке паза, в котором движется ролик.

Рисунок 5.101

Кулачковые механизмы используются и как управляющие механизмы (например, управляющие работой клапанов), и как силовые, создающие крутящий момент на валу кулака (например, кулачковые разгружатели возмущающего момента). Основными входными параметрами синтеза являются функция положения толкателя или создаваемый кулачковым разгружателем крутящий момент; дополнительными параметрами синтеза – максимально допустимый угол давления в высшей кинематической паре [α] или минимально допустимый радиус кривизны профиля кулака ρ_min. Выходными параметрами синтеза являются размеры кулачкового механизма и координаты профиля кулака.

2. Проектирование кулачковых механизмов

При проведении синтеза кулачковых механизмов можно выделить три этапа:

Выбор закона движения толкателя (или функции положения; обычно ее записывают в виде: s = s (q), где s – перемещение толкателя, рисунок 5.15);

Определение минимальных размеров механизма (радиуса начальной шайбы r₀, эксцентриситета е);

Определение профиля кулака.

Рисунок 5.102

Рассмотрим более подробно эти этапы.

I этап. В законе движения толкателя можно выделить в общем случае четыре фазы, которые представлены на циклограмме (рисунок 5.16): удаления, дальнего стояния, возвращения и ближнего стояния. На фазе удаления происходит перемещение толкателя из самого ближнего к кулаку положения. На фазе возвращения толкатель возвращается в ближнее положение. На фазах дальнего и ближнего стояния перемещения толкателя не происходит. Выбор закона движения толкателя проводится для фаз удаления и возвращения.

Рисунок 5.103

Четырем фазам соответствуют углы поворота кулака: q_I, q_II, q_III, q_IV. В некоторых механизмах (например, кулачковых разгружателях) фаза q_II или q_IV может оказаться равной 0. Углы q_I, q_II, q_III, q_IV обычно определяются технологическим процессом, для которого проектируется механизм, и поэтому являются заданными. Также заданным является ход толкателя – S_max.

Обычно выбирают не саму функцию s(q), а ее вторую производную – аналог ускорения . Самая простая функция – ступенчатая (рисунок 5.17, а). Рассмотрим ее.

Введем единичную функцию :

. (5.4)

Рисунок 5.104

Тогда можно записать в следующем виде:

(5.5)

Здесь С₁ и С₂ – постоянные интегрирования, которые найдем из начальных условий:

.

Отсюда С₁ = 0, С₂ = 0. Для отыскания амплитуды а₀ воспользуемся условием: s(q_I) = s_max, следовательно:

(5.6)

Зная амплитуду а₀, можно построить графики функций s(q) и (рисунок 5.17, б, в).

Недостаток рассмотренного закона – скачок аналога ускорения (и, следовательно, ускорения) при q = 0, q = q_I/2 и q = q_I, что приводит к скачкообразному изменению сил инерции толкателя в этих положениях и появлению ударной нагрузки на механизм. Скачкообразное изменение ускорения называют мягким ударом. (Существует понятие и жесткого удара, при котором скачкообразно изменяется скорость толкателя, при этом ускорение стремится к бесконечности.) Для избежания ударной нагрузки используют синусоидальный закон изменения аналога ускорения (рисунок 5.18).

Обозначив амплитуду аналога ускорения а₀, запишем в виде:

(5.7)

Найдем постоянные интегрирования из условий: . Отсюда следует, что С₂ = 0, . Подставляя значение С₁, перепишем аналог скорости в виде:

(5.8)

Рисунок 5.105

Максимальный ход толкателя s = s_max будет в конце участка удаления, т.е. при q = q_I. Подставляя s(q_I) = s_max в выражение для перемещения толкателя, получим значение амплитуды a₀:

. (5.9)

Из сравнения выражений (5..9) и (5.6) видно, что безударная работа кулачкового механизма достигается за счет увеличения амплитуды а₀ в /21,57 раза.

II этап. Определение минимальных размеров кулачкового механизма.

Рассмотрим пример с остроконечным поступательно движущимся толкателем (рисунок 5.19, а). В таком механизме надо выбрать минимальный радиус r₀ начальной шайбы и эксцентриситет e (расстояние от линии действия толкателя до оси вращения кулака). В этом механизме уменьшение радиуса r₀ приводит к увеличению угла давления ; при большом угле давления возможно заклинивание механизма. Поэтому минимальные размеры механизма выбирают из условия ограничения «сверху» угла давления.

Рисунок 5.106

Рассмотрим графический метод. Исключая q из полученных функций s(q) и , построим в координатах две кривые, называемые характеристиками угла давления: в первой четверти – для фазы возвращения, а во второй – для фазы удаления (рисунок 5.19, б). Отметим, что аналог скорости толкателя для вращающегося кулака и поступательно движущегося толкателя измеряется в единицах длины, так же, как и перемещение толкателя s(q). Масштаб по осям s и должен быть одинаковым!

Обозначим: [_у], [_в] – допустимые углы давления на фазе удаления и возвращения соответственно. Проведем касательные к характеристикам угла давления под углами к вертикальной оси: [_у] – на фазе удаления, [_в] – на фазе возвращения. Касательные пересекутся в некоторой точке О. Если радиус начальной шайбы выбрать равным длине отрезка ОО₁, а эксцентриситет е – равным расстоянию от точки О до вертикальной оси (рисунок 5.19, б), то получим минимально возможные размеры, при которых ни одно значение угла давления на фазе удаления и на фазе возвращения не превышает допустимых [_у] и [_в], причем в двух положениях максимальные значения углов давления равны [_у], [_в] (а именно в тех положениях, в которых касательные соприкасаются с характеристиками угла давления). Если начало отрезка r₀ выбрать в заштрихованной области, то радиус начальной шайбы кулака увеличится, а максимальные значения угла давления уменьшатся. Поэтому, в частности, округлять значение r₀ следует в большую сторону.

Рассмотрим пример кулачкового механизма с плоским толкателем. В таком механизме угол давления всегда постоянный, в частности, равен 0, как на рисунке 5.25, а, поэтому внутренние условия передачи сил благоприятные, опасности заклинивания нет.

Рассмотрим графический метод определения радиуса начальной шайбы. Можно показать, что радиус кривизны ρ_А в точке контакта А определяется следующей суммой (рисунок 5.20, а):

(5.10)

Чтобы выполнялось условие ρ_А > 0, надо, чтобы

. (5.11)

Рисунок 5.107

Для того чтобы минимальный радиус кривизны кулака , надо увеличить r₀ на длину ρ_min; тогда условие (5.11) перепишется в виде:

. (5.12)

Аналог ускорения толкателя при вращающемся кулаке и поступательно движущемся толкателе измеряется в единицах длины, так же, как и перемещение толкателя s(q). Для графического определения r₀, удовлетворяющего условию (5.11), необходимо выполнить следующие построения. Из функций s(q) и исключается q и строится кривая в координатах (рисунок 5.6, б), причем масштаб осей выбирается одинаковым. Под углом 45⁰ проводится касательная к отрицательной части кривой. Откладывая вниз от точки пересечения касательной с вертикальной осью отрезок, равный ρ_min, получаем точку О. Выбирая радиус r₀ больше, чем длина отрезка ОО₁, мы получим выполнение условия (5.6) в любой точке профиля кулака.

III этап. Определение профиля кулака.

Рассмотрим пример с остроконечным толкателем. Предварительно были найдены: s(q), r₀, e. Требуется найти профиль кулака, т.е. положение точки контакта А кулака и толкателя в локальной системе координат х₁0у₁, связанной с кулаком (рисунок 5.21). Эти данные вводятся в станок с ЧПУ для изготовления кулака.

Введем векторы-столбцы:

. (5.13)

и матрицу перехода во вращательной кинематической паре О:

. (5.14)

Рисунок 5.108

По аналогии с пространственными механизмами запишем выражение для перехода от локальной системы координат х₁0у₁ к неподвижной системе координат х0у:

. (5.15)

Отсюда найдем :

. (5.16)

Матрица перехода H₀₁(q) является ортогональной; для нее справедливо:

, (5.17)

где – транспонированная матрица. С учетом (4.29) раскроем выражение (4.28):

(5.18)

Для замены трения скольжения на трение качения остроконечный толкатель снабжают роликом (рисунок 5.22).

Рисунок 5.109

В этом случае расчетный профиль (его называют теоретическим) заменяют на эквидистанту (отстающую от теоретического профиля на радиус ролика r_p кривую), называемую рабочим профилем. Радиус ролика r_p выбирают из условия:

. (5.19

В этом случае вектор-столбец неподвижных координат точки контакта А примет следующий вид:

. (5.20)

Получим выражение для профиля кулака с роликовым толкателем:

(5.21)

Угол давления α в каждом положении может быть найден по следующей формуле, полученной из геометрических построений (рисунок 5.23):

. (5.22)

В кулачковом механизме с плоским толкателем (рисунок 5.11) изменится только вектор-столбец неподвижных координат точек контакта А:

. (5.23)

Тогда локальные координаты кулака, взаимодействующего с плоским толкателем, равны:

. (5.24)

Рисунок 5.110

При расчете кулачкового механизма на разных этапах использовались графические и аналитические методы. В этом нет противоречия, т.к. графический метод использовался при определении минимальных размеров, где не требуется высокая точность (полученные результаты округляются); аналитические методы использовались при интегрировании закона движения и при профилировании кулака, где от точности вычислений зависит точность воспроизведения заданного закона движения.