- •ВВЕДЕНИЕ
- •1. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
- •1.1. Метод итераций для одного уравнения с одним неизвестным
- •Приложение к параграфу 1.1.
- •1.2. Метод итераций для систем двух нелинейных уравнений
- •Приложение к параграфу 1.2.
- •2. СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
- •Приложение к главе 2.
- •3. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
- •3.1. Интерполяционная формула Лагранжа
- •Приложение к параграфу 3.1.
- •3.2. Интерполирование функций кубическими сплайнами
- •Приложение к параграфу 3.2.
Для функции f (x) , имеющей на отрезке [a,b]
непрерывные производные до третьего порядка включительно, точность интерполяции ее кубическим сплайном S(x) по
точкам равномерного разбиения отрезка с шагом h при любых указанных ранее краевых условиях оценивается следующим
неравенством для любых x на отрезке [a,b]:
|
|
|
f (x) − S(x) |
|
≤ 5 M 3h3 , M 3 |
|
= max |
|
f '''(x) |
|
. |
|
(3.13) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
a≤x≤b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Неравенство (3.13) дает завышенную оценку точности |
|||||||||||||||||||||||||||
приближения функции сплайном в точке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Приложение к параграфу 3.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Блок-схема построения кубического сплайна |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Пусть отрезок |
[a,b] разбит на n равных частей и в точках |
||||||||||||||||||||||||||
xi (i = 0,1,2,...n; |
|
xo = a, xb = n) некоторая функция принимает |
|||||||||||||||||||||||||
значения |
|
yi . |
Для |
переменной x, |
принадлежащей |
части |
|||||||||||||||||||||
разбиения |
{xi−1, xi } (i =1,...n), определена функция (кубический |
||||||||||||||||||||||||||
многочлен): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Si (x) |
= yi−1 |
(x − xi )2 (2(x − xi−1 )+ h) |
+ yi |
|
(x − xi−1 )2 (2(xi − x)+ h) |
+ |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
h3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
h3 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
(x |
− xi )2 (x − xi−1 ) |
|
|
|
(x |
− xi−1 )2 (x |
− xi ) |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
+ mi−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ mi |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
b − a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Здесь |
h = |
|
- |
шаг |
разбиения |
отрезка. |
Неизвестные |
||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mi определяются рекуррентными соотношениями |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
m0 = A; mn |
= B; |
|
|
mi |
= Li mi+1 + M i |
|
(i =1,2,...n −1) |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
после предварительного вычисления вспомогательных величин M i , Li по рекуррентным формулам
L |
0 |
= |
0, M |
0 |
= m |
0 |
, L = |
|
−1 |
, M |
i |
= L |
(M |
i−1 |
−b ) (i =1,2,....n −1), |
||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i |
Li−1 + 4 |
i |
|
i |
||||||||
|
|
|
|
3(yi+1 − yi−1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где b |
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
i |
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величины А и В должны быть заданы. При построении кубического сплайна, интерполирующего дифференцируемую
функцию |
y=f(x), |
по |
системе |
точек, |
полагают |
A = f '(a), B = f '(b) |
(краевые условия I типа). |
Выбор |
|||
необходимой |
формулы |
Si (x) для |
заданного |
значения |
переменной х определяется целым числом t:
t= целая часть x-a +1
h
Работа программ проверяется на примерах 1 и 2 из параграфа 4.2. В соответствии с условиями задач в программах
принято m0 =1, mn = 0 .
44
Ввод n, a, b, (yi), x
m(0)=1;m(n)=0;l(0)=0;h=(b-a)/h
i=1,n-1 |
Bi=3(yy+1-yi-1)/h; li=-1/(li-1+4); mi=li(mi-1- bi) |
i=n-1,1,-1
mi=limi+1+m;
нет
a<x<b
да i=Цел.часть((x-a)/h)+1; x0=a+ (i-1)h,x1=x0+h
|
|
|
(x −x |
)2 (2(x − x |
0 |
) |
+h |
|
|
(x − x |
0 |
) |
2 (2(x |
i |
− x) +h) |
|
|||||||
S = yi−1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ yi |
|
|
|
|
|
|
+ |
||||||
|
|
h3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(x − x |
)2 (x − x |
|
) |
|
|
|
|
(x − x |
0 |
)2 (x − x |
|
) |
|
|
|
|
|||||
+m |
i−1 |
1 |
|
|
0 |
|
+m |
i |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
h |
2 |
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вывод x,S
End
45
СОДЕРЖАНИЕ |
|
Введение |
3 |
1. Методы численного решения уравнений и систем |
|
нелинейных уравнений |
4 |
1.1. Метод итераций для одного уравнения с одним |
|
неизвестным |
4 |
Приложение к параграфу 1.1 |
12 |
1.2. Метод итераций для систем двух нелинейных |
|
уравнений |
12 |
Приложение к параграфу 1.2 |
20 |
Среднеквадратичное приближение функций. Метод |
|
наименьших квадратов. Эмпирические формулы |
21 |
Приложение к главе 2 |
28 |
3. Интерполирование функций |
30 |
3.1. Интерполяционная формула Лагранжа |
30 |
Приложение к параграфу 3.1 |
35 |
3.2. Интерполирование функций кубическими сплайнами 36
Приложение к параграфу 3.2 |
43 |
46
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для проведения практических занятий по дисциплине «Методы математического моделирования» для студентов специальности 160700.65, 24.05.02 «Проектирование авиационных и ракетных двигателей» очной формы обучения
Составители: Гуртовой Андрей Александрович Демьяненко Юрий Васильевич
Кретинин Александр Валентинович Сушков Алексей Михайлович
В авторской редакции
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»
394026 Воронеж, Московский пр., 14