4.4. Показательные уравнения и неравенства

Показательными уравнениями (неравенствами) называются уравнения

(неравенства), в которых неизвестное входит в показатель степени.

Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения

вида ax1 = ax2 , где a > 0, a ≠1			. Тогда x		= x	2	в силу строгой монотонности
показательной функции ax .				1
Показательными		неравенствами			называют			неравенства	вида
a f (x) > ag(x), где	a > 0,	a ≠1.	При	a > 0		показательная функция			строго
возрастает и будет	f (x) > g(x), при 0 < a <1, наоборот							f (x) < g(x) .

Решение показательных уравнений и неравенств основано на свойствах и монотонности показательной функции.

Проиллюстрируем решение простейших показательных уравнений и неравенств на примерах.

Пример. Решить уравнения:

а) 4

x

= 64 ; б) 17

x−x2

2 x−1

6x−5

, г)

2x−1 3x+2

9

5

2x 3x

;

=1; в)

= (6,25)

3 5

=

3

5

5

д) (2 −

)x2

= (2 +

)x ; е) 62 x−1 = 83−x ; ж) 72x−4 = 362−x .

3

3

Решение. а) число 64 представим как 43 , тогда данное уравнение примет

вид 4x = 43 , его решением является x = 3.

б)

поскольку 1 =170 , то исходное

уравнение

равносильно

уравнению

x − x2 = 0 x = 0, x =1.

в) приведем правую часть уравнения к основанию 52 :

(6,25)	6x−5	=	25		6x−5		5 12x−10			2 10−12x	.
				4		=			=
Получаем уравнение							2			5
					2 x−1			2 10−12x
									,
					5		=
								5				11 .
равносильное уравнению x −1 =10 −12x , которое имеет корень x =
												13

г) переход к единому основанию можно осуществить делением обеих частей уравнения на выражение, стоящее в правой части уравнения (это можно сделать, т.к. значения показательной функции положительны).

66

Получим

32x−153x+2			5		3−15x+2			5			5	x+3		5	0
				=1					=1				=			,
5	2x 3x		9		3	x		2
	3							3			3			3

отсюда

x +3 = 0 x = −3.

д) данное уравнение равносильно уравнению (2 − 3)x2 = (2 − 3)−x , т.к.

(2 +

)(2 −

)

3

3

1

.

2 +

3 =

=

2 −

3

2 −

3

Переходим к уравнению x2 = −x , его корни x = 0 и x = −1.

е)

обе

части

уравнения

положительны;

поэтому можно

прологарифмировать его по основанию 6 (можно по основанию 8). Получим уравнение

2x −1 = (3 − x)log6 8,

равносильное исходному. Таким образом,

x (2 + log6 8)=1+ 3log6 8, т.е. x =

1+3log6 8

.

2 +log6 8

ж) преобразуем правую

часть уравнения, применив

свойства степени,

получим 7

2x−4

=

1 2x−4

. Умножим уравнение на выражение

6

2x−4

(6

2x−4

> 0 при

6

любых x ): 422x−4

=1 2x − 4 = 0 x = 2 .

Ответ:

а)

x = 3;

б)

x = 0; x = 1; в)

x =

11 ;

г) x = −3; д)

x = 0;

x =−1;

1+3log6 8

13

е) x =

;

ж) x = 2 .

2 +log6 8

Пример. Решить уравнение

0,2x+

0,5 =

0,04x .

5

25

Решение. Используя свойства степеней, приведем левую и правую части

уравнения к одному основанию.

(5−1 )x+0,5

(5−2 )x

5

−x−1

= 5

−2x−2

.

50,5

=

52

, откуда

Поскольку функция

y = 5x монотонна и каждое свое значение принимает

67

ровно один раз, то последнее уравнение равносильно уравнению

−x −1 = −2x − 2,

из которого находим x = −1.

Ответ: x = −1.

Пример. Решить уравнение 52x+1 −3 52x−1 =110.

Решение. Вынесем за скобку 52x−1 – степень с наименьшим показателем.

52 x−1 (52 −3) =110,

откуда 52x−1 = 5 или 2x −1 =1, x =1.

Ответ: x =1.

Пример. Решить уравнение 3x +3x+1 +3x+2 = 5x +5x+1 +5x+2.

Решение. В левой части уравнения вынесем за скобку 3x , а в правой части вынесем за скобки 5x .

3x (1+ 3 + 32 ) = 5x (1+ 5 + 52 ), 13 3x = 31 5x.

Поделим обе части последнего уравнения на 5x 13, получим

3x		=	31		3	x		31	,
5	x		13	, или	5		=	13

откуда, логарифмируя обе части уравнения по основанию 53 (можно по любому

положительному основанию), получим x = log3 31.

5 13

Ответ: x = log3 31.

5 13

Пример. Решить уравнение 4x −10 2x−1 = 24.

Решение. Используя свойства степеней, преобразуем исходное уравнение

виду

(2x )2 −102 2x = 24.

Полученное уравнение удобнее всего решать, введя новую переменную

68

t = 2x , t > 0.

Тогда уравнение сводится к квадратному относительно новой переменной t t2 −5t − 24 = 0,

решая которое находим t1 = −3 и t2 =8 . Корень t1 не удовлетворяет условию

t > 0 , поэтому единственное решение исходного уравнения определяется из соотношения

2x = t2 =8 = 23, x = 3.

Ответ: x =3.

Пример. Решить уравнение 9x +12x − 2 16x = 0. Решение. Запишем исходное уравнение в виде

(3x )2 +3x 4x −2 (4x )2 = 0.

Это однородное уравнение второй степени. Разделим обе части уравнения на 42 x , получим

	3	2x	+		3	x	− 2 = 0.
	4				4
Введем новую переменную				x
			3				t > 0,
	t =		4		,
придем к квадратному уравнению
		t2 +t − 2 = 0,
решив которое, найдем t1 =1		и	t2	= −2 . Второй корень не удовлетворяет

условию t > 0. Возвращаясь к исходной переменной, получим уравнение

3 x =1,4

откуда x = 0.

Ответ: x = 0.

Пример.	Решить		неравенства:				а)	25x >1253x−2 ;	б)
(0,3)4x2 −2x−2 ≤ (0,3)2x−3 ; в) 2		x	1				32x−1 <113−x .
		x2 −1		< 2	x−2	; г)
Решение.	а) поскольку			25x = 52x ,			а 1253x−2	= 59x−6 , то исходное

69

неравенство равносильно неравенству

52x > 59x−6 .

Учитывая, что функция y = 5t ‒ возрастающая, перейдем к неравенству

2x > 9x −6,

отсюда x < 76 .

б) так как функция y = (0,3)t - убывающая, то данное неравенство заменим ему равносильным

4x2 − 2x − 2 ≥ 2x −3.

Имеем

(2x −1)2 ≥ 0,

отсюда x ‒ любое действительное число.

в) так как функция y = 2t - возрастающая, то будем решать неравенство

x2x−1 < x −1 2 ,

равносильное данному. Решим последнее неравенство методом интервалов, для этого неравенство преобразуем

x2x−1 − x −1 2 < 0

После приведения дробей к общему знаменателю и приведения подобных, имеем

					1− 2x		< 0 .
			(x −1)(x +1)(x − 2)
Применим обобщенный					метод интервалов			(рис.	4.4) и выберем
промежутки, где значения дроби отрицательные.
		+			+			−
	−1	−		1	1			2	х
				2

Рис. 4.4. Геометрическая иллюстрация решения неравенства

70