Методическое пособие 672
.pdfОпределение 1.6. Функция y f x называется четной, если область ее определения есть множество, симметричное относительно начала координат, и
f x f x при любом |
х Х. |
|
|
|
|
|
|
Функции у х2, |
|
|
|
|
|
|
|
y cosx, |
y |
1 x2 является четными. |
|
||||
График четной функции y f x |
|
симметричен относительно оси орди- |
|||||
нат, так как для любого |
х Х |
точки плоскости x, f (x) и |
x, f ( x) |
||||
симметричны относительно оси OY . |
|
|
|
|
Определение 1.7. Функция y f x называется нечетной, если область ее определения есть множество, симметричное относительно начала координат,
и f x f x |
при любом |
|
х Х. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Функции |
y |
x, |
y |
|
x, |
y s i n |
x, |
y a r c t,g x x |
yявляются не- |
||||||
четными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
График нечетной функции y f x |
симметричен относительно начала |
||||||||||||||
координат, |
так |
как |
для |
любого |
х Х |
точки плоскости |
x, |
f (x) |
и |
|||||||
x, |
f ( x) симметричны относительно начала координат. |
|
|
|
||||||||||||
|
Наряду с четными и нечетными функциями есть функции, не являющиеся |
|||||||||||||||
ни |
теми, |
ни |
другими, |
например |
функции |
у 2x, |
у log3 x, |
|||||||||
y arccosx, |
y |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Определение 1.8. Функция y f x |
называется периодической, если су- |
||||||||||||||
ществует число |
T 0 такое, что для любого |
x из области определения функ- |
||||||||||||||
ции числа x T |
и |
x T |
также входят в область определения и справедли- |
|||||||||||||
во равенство |
f x T f (x) |
f x T f (x) . |
|
|
|
|
||||||||||
|
Теорема 1.1. Если число T есть период функции |
y f x , то и число |
||||||||||||||
mT, |
где m любое фиксированное, |
отличное от нуля целое число, |
будет пе- |
риодом этой функции. Наименьший из всех возможных положительных периодов данной функции называется основным периодом.
Функция y sinx |
имеет период T 2 , так как для любого |
x числа |
||||||||
x 2 |
и |
x 2 |
входят |
в область |
определения этой функции |
и |
||||
sin x 2 sinx. Так как значение |
sin |
|
|
1 может повторятся не ранее чем |
||||||
2 |
||||||||||
через T |
2 |
(при полном обороте на единичной окружности), то T |
2 |
бу- |
||||||
дет основным периодом функции |
y |
sinx. |
|
|
|
10
|
Функция y sin |
|
|
|
не является периодической, так как, например, для |
||||||||||||
x 0 |
|
x |
|||||||||||||||
число x T (если T 0) или число |
x T (если T 0) не принадлежит |
||||||||||||||||
области существования этой функции. |
|
|
|
||||||||||||||
|
Определение 1.9. Функция y f x |
называется строго возрастающей |
|||||||||||||||
на числовом множестве |
|
Х , |
если для любых |
х1 Х и х2 Х из неравенства |
|||||||||||||
х1 х2 следует неравенство |
f x1 f x2 |
|
|
||||||||||||||
|
Определение |
1.10. Функция y f x называется строго убывающей на |
|||||||||||||||
числовом множестве Х , если для любых х1 Х |
и х2 Х из неравенства х1 х2 |
||||||||||||||||
следует неравенство |
f x1 f x2 . |
|
|
|
|||||||||||||
|
Функция у х 1 является возрастающей на множестве R, а функция |
||||||||||||||||
у 1 |
является убывающей на множестве ;0 и на множестве 0; (см. |
||||||||||||||||
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рис. 1.2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение |
1.11. Функция y f x называется неубывающей на чи- |
|||||||||||||||
словом множестве Х , если для любых х1 Х |
и х2 Х из неравенства х1 х2 |
||||||||||||||||
следует, что f x1 f x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Определение |
1.12. Функция y f x |
называется невозрастающей на |
||||||||||||||
числовом множестве Х , если для любых х1 Х |
и х2 Х из неравенства х1 х2 |
||||||||||||||||
следует, что f x1 f x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Например, функция |
x |
|
x |
|
|
является неубывающей на промежутке |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
; , а функция у |
|
|
2 |
,для x |
0, является невозрастающей на проме- |
||||||||||||
x |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0,для x 0 |
|
|
жутке ; .
Функции возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие называются монотонными функциями. Функции возрастающие и убывающие называются строго монотонными функциями.
Определение 1.13. Точка |
х0 Х называется точкой максимума функ- |
ции y f x , если можно указать такой интервал а;b , содержащий точку х0 , |
|
что f x f x0 для всех х х0 |
из интервала а;b . |
11
Определение 1.14. Точка х0 Х называется точкой минимума функции y f x , если можно указать такой интервал а;b , содержащей точку х0 , что f x f x0 для всех х х0 из интервала а;b .
На рис. 1.3 представлен график функции, имеющей максимум в точке х0 , а на рис. 1.4 изображен график функции, имеющей минимум в точке х0 .
у
max f x f x0 f x
y f x
О |
х x0 |
х |
Рис. 1.3. График функции с точкой максимума x х0
у
y f x
f x
min f x f x0
О x0 х х
Рис. 1.4. График функции с точкой минимума x х0
Точкимаксимумаи минимумафункцииназываются точками экстремума. Пусть множество Х – область определения функции y f x , а Y –
множество ее значений. Если каждому элементу y Y поставим в соответствие
12
элемент х Х , такой, что y f x , то получим обратное соответствие между множествами Y и Х .
Определение 1.15. Если обратное соответствие между множествами Y и X является функцией, то эту функцию называют обратной для функции
y f x и обозначают х f 1 y .
|
|
|
Если прямая функция |
y |
f(x) |
строго монотонна и непрерывна (поня- |
|||
тие непрерывности функции рассмотрим позже) на множестве X, то у не су- |
|||||||||
ществует обратная функция |
x |
f 1(y). Чтобы построить хорошую обратную |
|||||||
функцию при выборе множества X руководствуются следующими правилами: |
|||||||||
1) |
на множестве X функция y |
f(x) строго монотонна; |
|||||||
2) |
она пробегает все свои возможные значения; |
||||||||
3) |
если это возможно, то 0 |
X . |
|
||||||
Например, для функции y |
sinx в качестве множества X выбирается отрезок |
||||||||
|
|
; |
|
|
, |
а функцию, обратную к синусу на данном отрезке, называют аркси- |
|||
2 |
2 |
||||||||
нусом (y |
arcsinx). |
|
|
|
Замечание. Чтобы увидеть график обратной функции, надо начертить график прямой функции на множестве X, перевернуть листок, чтобы оси поменялись местами, и посмотреть на свет. Если же строить графики функций
y |
f(x) и x |
f 1(y) |
на одном графике, то они будут симметричны относи- |
|||
тельно прямой |
y x. |
|
|
y 2x 1 |
|
|
|
Пример. |
Найти |
обратную функцию |
для функции |
при |
|
|
x 5, то есть выбрана суженная область |
|
3 |
|
||
2 |
определения функции X(2;5). |
Множество значений: Y(1;3). Чтобы найти обратную функцию, надо выразить из уравнения прямой функции x через y. Для данной функции обратной яв-
ляется функция х 3х 1. Область определения этой функции: Y(1;3), а мно- |
|||
2 |
|
|
|
жество значений: X(2;5). Заменив обозначения х на у и у на х, запишем об- |
|||
ратную функцию в привычном для нас виде: |
у 3х 1, |
x (1;3). |
|
|
|
2 |
|
Пусть заданы две функции y f x и |
z g x , |
так что область опреде- |
|
ления функции y f z |
содержит множество значений функции z g x . То- |
||
гда соответствие y f g x называется сложной функцией. |
|||
|
|
|
|
Примеры сложных функций:
13
y sin ln x ; y tg3 x; y |
1 x2 . |
1.2. Основные элементарные функции
Основными элементарными функциями называют следующие функции.
1. Степенная функция y xn, |
n R. Примеры графиков степенных |
функций, соответствующих различным показателям степени, предоставлены на рис. 1.5.
2.Показательная функция y ax, a 0, a 1. На рис. 1.6 показаны графикипоказательныхфункций,соответствующиеразличным основаниямстепени.
3.Логарифмическая функция y loga x, a 0, a 1. Графики логарифмических функций, соответствующие различным основаниям показаны на рис.1.7.
4. Тригонометрические функции y sinx, y cosx, y tgx, y ctgx;
Графики тригонометрических функций имеют вид, |
показанный на рис.1.8 ‒ |
|
1.11. |
|
|
5. Обратные тригонометрические функции |
y arcsinx, |
y arccosx, |
y arctgx, y arcctgx. На рис. 1.12 ‒ 1.13 показаны графики обратных тригонометрических функций.
Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций взятия функции от функции, называется элементарной функцией.
Примерами элементарных функций могут служить функции y 5sin2 x , y arcctg x23,
y ln x3 x 5e x 2 arcsintg52xx .
14
Рис. 1.5. Графическое изображение степенной функции y xn, n 1,2,3, 1, 2, 3
15
а) |
б) |
Рис. 1.6. Графическое изображение показательной функции: а) при a 1, б) при 0 a 1
а) |
б) |
Рис. 1.7. Графическое изображение логарифмической функции: а) при a 1, б) при 0 a 1
16
Рис. 1.8. График функции y sinx
Рис. 1.9. График функции y cosx
Рис. 1.10. График функции y tgx
17
Рис. 1.11. График функции y ctgx
а) |
|
б) |
Рис. 1.12. Графики функции: а) |
y arcsinx, |
б) y arccosx |
18
Рис. 1.13. График функции: а) y arctgx, б) y arcctgx
Множество элементарных функций можно расширить, задавая функцию с помощью нескольких элементарных функций, заданных на различных промежутках, например:
|
1, |
x |
0, |
y |
0, |
x |
0, |
|
1, |
x |
0. |
Примерами неэлементарных функций являются функции
y 1 |
x3 |
|
|
x5 |
|
x7 |
... 1 n |
x2n 1 |
..., |
|
3!3 |
5!5 |
7!7 |
2n 1 ! 2n 1 |
|||||||
|
|
|
|
|
функция Дирихле (см. на стр. 9), дельта-функция
(x) |
0, |
при |
x |
0, |
|
, |
при |
x |
0, |
а площадь под ней равна единице.
1.3. Нахождение области определения функций
Первоначальной и важной задачей для функции является знание е области определения. Для нахождения области определения элементарных функций необходимо помнить области определения основных элементарных функций. На практике удобно пользоваться следующими правилами:
1) для арифметических действий с функциями область определения
19