Методическое пособие 672
.pdf3.ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Впредыдущем разделе говорилось о последовательностях, то есть функциях, у которых областью определения является множество натуральных чисел,
амножество значений состоит из действительных чисел. В данном разделе и далее мы будем рассматривать функции, у которых область определения и множество значений состоят из действительных чисел – числовых промежутков или их объединений.
3.1.Определение предела функции
Пусть функция f x определена на промежутке ( ; ).
Определение 3.1. Число a называется пределом функции f x при x, стремящемся к x0 (x x0), если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех x x0 , удовлетворяющих условию
x x0 |
|
, |
|
выполняется неравенство
f x a .
Говорят, что функция f x при x, стремящемся к x0 , имеет пределом
число a, и пишут:
lim f x a.
x x0
Пример. Доказать, что предел постоянной функции равен этой постоян-
ной.
Доказательство. Пусть f x С для всех x, принадлежащих интервалу
X и x0 X . |
так, чтобы x0 ;x0 |
|
X , то для любого |
0 и |
||||||
Выберем 0 |
|
|||||||||
x x0 ;x0 выполняется неравенство |
|
f x C |
|
|
|
C C |
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, по определению 3.1
limC C .
x x0
Пример. Пусть f x x; x R. Докажем, что
xlimx x x0 .
0
50
Доказательство. |
Пусть |
|
‒ |
любое |
положительное |
|
|
число. Выберем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, тогда для всех x таких, что |
|
x x0 |
|
, |
имеем |
|
f x x0 |
|
|
|
x x0 |
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
то есть |
|
|
f x x0 |
|
. Следовательно, |
|
lim x0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x2 1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Пример. Доказать, что функция |
|
|
f x |
имеет |
|
lim |
2. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
x 1 |
2x 1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
Доказательство. Эта функция определена для всех |
|
x 1 . Докажем, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
что lim |
2. При x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2x 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
f x 2 |
|
|
|
4x2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
2 |
|
x |
1 |
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2x |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Для любого 0 |
выберем |
|
|
, тогда для всех |
|
x |
1 |
|
таких, что |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
f x 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
то есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x 2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Следовательно, lim |
1 |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. |
|
|
1. Из определения 3.1 следует, что предел функции при x, стремящемся к |
||
x0 , может существовать только тогда, когда |
f x |
определена во всех точках |
окрестности числа x0 , за исключением, |
может быть, точки x0 . Точка x0 |
|
может принадлежать области определения f x . |
|
|
2. Число в определении 3.1 зависит от , от точки x0 и от рассматри- |
||
ваемой функции. |
|
|
Пример. Доказать, что при x 0 функция |
f x не имеет предела. |
51
|
1 |
при |
x 0; |
|
0 |
при |
x 0; |
f (x) |
|||
|
|
при |
x 0. |
1 |
Доказательство. Воспользуемся методом доказательства от противного: предположим, что f x имеет пределом число a при x 0. Число a, как и
любое действительное число, должно удовлетворять одному из двух неравенств: a 0 или a 0.
Зададим 1 |
|
. Если a 0, то в любой окрестности нуля для |
x 0 |
|||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x 1 и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x a |
|
|
|
1 a |
|
1 1 , |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
f x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
то есть неравенство |
|
|
|
|
не выполняется и a 0 не может быть преде- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
лом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если a 0, то в любом окрестности 0 для x 0 f x 1 и |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f x a |
|
|
|
1 a |
|
1 1 , |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
f x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
то есть неравенства |
|
|
не выполняется и a 0 тоже не может быть |
|||||||||||||||||||
|
|
пределом.
Следовательно, такого числа a нет и наше предположение не правильно. |
||
Это доказывает наше утверждение о том, что данная функция f x |
при x 0 |
|
не имеет предела. |
|
|
Теорема 3.1. (о единственности предела) Если функция f x при x, |
||
стремящемся к x0 , имеет предел, то этот предел единственный. |
|
|
Доказательство. Пусть |
|
|
lim f x a, |
lim f x b |
|
x x0 |
x x0 |
|
и произвольное положительное число, тогда по определению 3.1, найдутся
такие числа 1 |
0 |
и 2 |
0, что для всех |
x x0 при |
|
x x0 |
|
1 выполняется |
|
|
|||||||
неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
fx a 2
ипри x x0 2 выполняется неравенство
52
|
|
|
|
|
f x b |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возьм м min 1; 2 , тогда для всех |
x x0 , удовлетворяющих нера- |
||||||||
венству |
|
x x0 |
|
, выполняются равенства |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x a |
|
|
и |
|
f x b |
|
|
|
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
a b |
|
|
|
a f x f x b |
|
|
|
a f x |
|
|
|
f x b |
|
|
|
, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
получили, |
что |
|
|
меньше любого положительного числа. |
Это возможно |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
только при |
|
a b |
|
0. Следовательно, |
a b, то есть функция не может иметь |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
двух различных пределов при x x0 . Теорема доказана. |
|
|
Рассмотренные выше примеры и теорема 3.1 показывают, что для функции f x при x x0 , принадлежащему области определения функции f x ,
возможен только один из двух случаев:
f x не имеет предела;
f x имеет предел и этот предел единственный.
|
|
|
3.2. Бесконечно малые функции |
|||||
|
Определение 3.2. Функции |
a x |
называется бесконечно малой при x, |
|||||
стремящемся к x0 , если |
lim x 0. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
Ранее в п. 3.1 было доказано, что |
lim x x0 , поэтому limx 0. Следова- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
x 0 |
тельно, по определению 3.2 f x x является бесконечно малой функцией при |
||||||||
x 0. |
|
|
|
|||||
|
Рассмотрим еще один пример бесконечно малой функции. |
|||||||
|
Пример . Докажем, что функция |
f x x 1 2 |
‒ бесконечно малая при |
|||||
x, стремящемся к x0 1. |
|
|
|
|||||
|
Доказательство. Пусть |
‒ любое положительное число. Выберем |
||||||
|
, тогда если |
|
x 1 |
|
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
53
f x 0 |
|
|
|
x 1 2 |
|
|
|
x 1 |
|
2 2 . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно,
lim x 1 2 0.
x 1
Теорема 3.2. Число a является пределом функции f x при x, стремящемся к x0 , тогда и только тогда, когда функция x f x a бесконечно
малая при x, стремящемся к x0 . |
|
|
|
|
||||
Доказательство. 1. Пусть lim f x a, тогда для любого 0 сущест- |
||||||||
вует такое , что для всех |
|
x x0 |
|
|
|
|
||
x x0 , удовлетворяющих условию |
|
x x0 |
|
, вы- |
||||
|
|
|||||||
полняется неравенство |
|
f x a |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По условию теоремы x f x a, следовательно,
x f x a ,
поэтому
lim x 0.
x x0
2. Пусть x ‒ бесконечно малая функция при x x0 , тогда для любо-
го 0 |
найдется такое 0, что для всех |
x x0 , удовлетворяющих условию |
||||||
|
x x0 |
|
, выполняется неравенство |
|
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Но x f x a, следовательно,
f x a x
и
lim f (x) a.
x x0
Теорема доказана.
54
3.3. Свойства пределов
Приведем основные свойства пределов, дающие возможность вычислять пределы.
Свойство 3.1. Предел постоянной величины равен самой постоянной
|
|
|
|
|
|
|
|
limC C , |
C |
const. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойство 3.2. Если функции |
f(x) и |
g(x) при x, стремящемся к |
x0 |
|||||||||||
(x |
x0), |
имеют пределы |
l |
i fmx |
и |
limg x , то |
функции |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
x x0 |
|
|
|
f (x) |
g(x), |
f (x) g(x), |
|
f (x) |
(g(x) |
|
0) также имеют пределы при |
x |
x0, |
||||||
|
g(x) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
причем справедливы равенства: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
lim f x g x |
lim f x limg x ; |
|
|
||||||||||
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
x x0 |
|
|
||
|
|
lim f x g x |
lim f x limg x ; |
|
|
||||||||||
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
x x0 |
|
x x0 |
|
|
|||
|
|
|
f |
x |
|
|
lim f x |
|
|
lim g x 0. |
|
|
|||
|
|
lim |
|
|
|
|
x x0 |
|
, |
если |
|
|
|||
|
|
g |
x |
|
|
|
|
||||||||
|
|
x x0 |
|
|
limg x |
|
|
x x0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
Свойство 3.3. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
|
lim |
k |
f x |
k lim f x , |
k const . |
|
x x0 |
|
|
x x0 |
|
|
Свойство 3.4. Если при x |
x0 существуют и равны пределы от функций |
|||
lim x lim x a |
и в окрестности точки |
x0 , кроме, может быть, самой |
|||
x x0 |
x x0 |
|
|
|
|
точки x0 , выполняется двойное неравенство
x f x x , то
lim f x a.
x x0
Свойства 3.1 ‒ 3.4 приводятся без доказательства. Они легко могут быть доказаны аналогично свойствам 2.1 ‒ 2.3 из раздела 2 пункта 2.4 с помощью понятия бесконечно малой функции и теоремы 3.2.
Приведем примеры использования этих свойств для вычисления преде-
лов.
Пример. Покажем, что
55
|
|
|
|
|
|
|
|
|
limk x kx0 , |
|
|
|
|||||
где k‒ постоянная величина. |
x x0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. |
По теореме 3.2 и рассмотренным ранее примерам |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
limk x k lim x kx0 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
Пример. Вычислить пределы: |
|
2x 5 |
|
x2 6x 8 |
|
||||||||||||
|
|
1) lim |
2x2 |
5x 1 |
|
; 2) lim |
; 3) lim |
. |
|||||||||
|
|
|
15 4x |
|
|||||||||||||
Решение |
x 1 |
|
|
|
|
|
x 5 |
x 2 x2 x 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. lim |
2x2 |
5x 1 |
lim2x limx lim5x lim1 2 1 5 1 2; |
||||||||||||||
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
x 1 |
x 1 |
|
x 1 |
||||
2. lim |
|
2x 5 |
|
|
|
lim2x lim5 |
|
10 5 |
3; |
||||||||
|
|
|
|
|
x 5 |
x 5 |
|
|
|
|
|||||||
15 |
4x |
|
lim15 lim4x |
15 20 |
|||||||||||||
x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 5 |
x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.При x 2 числитель и знаменатель данной дроби стремятся к нулю.
Вэтом случае говорят, что имеем неопределенность вида нуль, деленную на
нуль, и обозначаем |
0 |
. Поэтому непосредственно применять свойство 3.2 |
|
0 |
|
здесь нельзя. Заметим, что в определении предела (см. определение 3.1) все условия должны выполняться только для x x0 . Следовательно, при нахождении
предела при x 2 x |
2 |
|
|
|
0 и данную дробь можно сократить: |
||||||||||||||||||||
|
x2 6x 8 |
|
x 2 x 4 |
|
|
x 4 |
|
при x 2, |
|||||||||||||||||
|
x2 x 2 |
|
|
x 2 x 1 |
|
|
x 1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
lim |
|
x2 6x 8 |
0 |
|
lim |
x |
4 |
. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x |
2 |
x 2 |
x 1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x 2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
x 2 |
|
|
|
||||||||||||
Далее предел |
lim |
x 4 |
|
|
легко найти, пользуясь свойство 3.2: |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x 2 |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
lim |
|
x 4 |
|
limx lim4 |
|
2 4 |
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
x 2 |
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
x |
1 |
limx lim1 |
2 1 |
3 |
||||||||||||||||||
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы получили, что
.
56
lim |
x2 6x 8 |
lim |
x 4 |
|
2 |
. |
|
x2 x 2 |
x 1 |
3 |
|||||
x 2 |
x 2 |
|
|
В следующих примерах докажем, что
limcosx 1 и |
limsinx |
1. |
|
x 0 |
x 0 |
x |
|
Для этого потребуется следующая лемма.
Лемма. Для всех x, таких, что 2 x 2 , выполняется неравенство
|
sin x |
|
|
|
x |
|
|
|
tgx |
|
. |
(3.1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Для доказательства этой леммы рассмотрим сначала случай 0 x |
. |
2
Из рис. 3.1 видно, что площадь OCB меньше площади сектора OCB, которая в свою очередь меньше площади OCD или
12r AB 12xr2 12r CD.
Умножая все части двойного неравенства на r22 , получим
|
|
|
AB |
|
|
x |
|
|
CD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|||||||
или |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
sinx x tgx. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Так как sinx и tgx положительны при |
0 x |
, то неравенство (3.1) вы- |
||||||||||||||||||||
полняется. |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим случай, когда |
|
x 0. При таких x имеем 0 x , по- |
||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
этому, как уже доказано, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x x tg x . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Так как в нашем случае x |
|
x |
|
; sin x |
|
sinx |
|
и tg x |
|
tgx |
|
, то нера- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
венство (3.1) справедливо и для |
|
x 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57
у
|
B |
D |
|
|
r |
|
|
0 |
x |
C |
х |
A |
Рис. 3.1. Окружность радиуса r
Пример. Доказать, что limcosx 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Доказательство. Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
cosx 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
2 |
|
|
sin2 |
x |
|
|
|
|
2 |
|
sin |
x |
|
|
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
2sin |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
то для любого 0 выберем |
min ; . Тогда при x имеем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cosx 1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
sin |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
cosx 1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Это значит, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
limcosx 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример. Докажем, что |
lim |
sinx |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
0 |
1. Отметим, что этот предел на- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зывается первым замечательным пределом.
Доказательство. При 0 x 2, разделив все части неравенства (3.1) на
58
sinx , получим
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
sinx |
|
|
|
cosx |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
или, так как |
0 |
и cosx 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
sinx |
x |
|
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
, |
|||||||
|
|
|
|
sinx |
|
cosx |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosx sinx 1. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
Так как |
limcosx lim1 1, то по свойству 3.4 получим |
|||||||||||||
|
|
|
x 0 |
|
|
x 0 |
|
limsinx 1. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
sinx |
|
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
|||
|
Функция |
‒ четная, следовательно, при |
x 0 ответ не изменится. |
||||||||||||
|
Пример. |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Вычислить пределы: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1) |
limsin2x |
; |
2) |
lim1 cos8x . |
||||
|
Решение |
|
|
|
|
|
x 0 |
|
x |
|
|
x 0 |
2x2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
lim |
sin2x |
|
0 |
|
lim |
2sin2x |
|
2lim |
sin2x |
. |
|
|||
x |
|
0 |
|
|
2x |
2x |
|
|
|||||||
|
x 0 |
|
|
x 0 |
|
|
x 0 |
|
|
|
При x 0 2x 0, поэтому
limsin2x 1.
x 0 2x
Следовательно,
limsin2x 2.
x 0 x
2. lim |
1 cos8x |
|
0 |
|
lim |
2sin2 4x |
|
sin4x |
|
sin4x |
|
||||
2x |
2 |
|
0 |
|
2x |
2 |
lim |
x |
x |
|
|||||
x 0 |
|
|
|
x 0 |
|
x 0 |
|
|
|
|
4 limsin4xx 4 limsin4xx 4 4 16.x 0 4 x 0 4
59