Учебное пособие 449

теля. Многочлен Q(x) имеет корень x=1 кратности два, а также пару комплексно-сопряженных корней x=+i, x=-i поэтому разложение дроби R(x)/Q(x) следует искать в виде:

6x3 7x2 7x 1			A		B Cx D
		=							,	(2)
(x 1)2(x2			(x 1)2				x2
	1)				x 1			1

где числа А,В,С,D могут быть определены при помощи метода неопределенных коэффициентов. Приведем дроби, стоящие в правой части формулы (2) , к общему знаменателю:

6x3 7x2 7x 1= (x 1)2(x2 1)

=	A(x3	1) B(x 1)(x2	1) (Cx D)(x 1)	2	,	(3)
		(x 1)2	(x2 1)

после чего приравняем числители в тождестве (3):

6x3-7x2+7x-1 =A(x2+1)+B (x-1)(x2+1)+(Cx+D) (x-1)2. (4)

Положив в тожестве (4) х =1, найдем А=5/2. Остальные коэффициенты разложения (2) можно определить, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной х в левой и правой частях тождества (4). В результате такого сравнения получим систему линейных уравнений относительно неизвестных В,С, D следующего вида

х3		В + С= 6,
х2		5/2- В- 2С +D =-7,
х1		B+C -2D =7,
x0		5/2 -B +D = -1.

Из этой системы последовательно находим D = -1/2;

В =3; С = 3.

19

Таким образом, разложение (2) принимает вид:

6x3 7x2 7x 1			5		3		3x 1/2
		=							,
(x 1)2(x2			2(x 1)2				x2
	1)				x 1			1

откуда, возвращаясь к формуле (1), получаем новое выражение для подынтегральной функции, а именно:

f (x)= x+4 +	5		3			3x 1/2	.	(5)
	2(x 1)2		x 1
						x2 1

2).После проделанных преобразований нахождение исходного интеграла сводится к нахождению суммы либо табличных интегралов, либо интегралов, легко приводящихся к табличным. Из формулы (5) последовательно получаем:

I=

f(x)dx=

xdx+ 4dx+

dx

dx

3x 1/ 2

+5/2

3

dx

(x 1)2

x 1

x2 1

=

x2

4x

5

(x 1)

2

d(x 1) 3

d(x 1)

3x 1/ 2

dx=

2

2

x 1

x2 1

=

x2

4x

5

(x 1) 3ln(x 1)

3x 1/ 2

dx

(6)

2

2

x

2

1

Для нахождения последнего интеграла в формуле (6) проведем еще ряд несложных преобразований:

		3x 1/ 2													3x					1						dx			3		2xdx
							dx												dx									=
			x	2										x	2										x	2			2		x2	1
					1											1				2							1
−	1				dx					3			ln(x			2	1)			1			arctgx c
	2				x2 1						2										2
Oкончательно получаем
I=				x2										5
						4x												3ln(x 1)
					2
												2(x 1)
																	20

3ln(x2 1) 1 arctgx C , 2 2

где С - произвольная постоянная.

Замечание 1. В случае, когда заданная подынтегральная функция представляет собой правильную дробь, производить деление числителя на знаменатель не нужно, а следует сразу переходить к разложению этой дроби на сумму элементарных дробей.

Замечание 2. При разложении правильной дроби на сумму элементарных дробей с помощью метода неопределенных коэффициентов необходимо иметь в виду следующее. Если многочлен, стоящий в знаменателе исходной дроби, имеет вещественный корень х0 кратности к 1, то этому корню должна отвечать ( в разложении на элементарные дроби ) группа членов, состоящая в точности из к слагаемых следующего вида:

Ak	+	Ak 1	...+	A2	+	A1	.
(x x )k		(x x )k 1		(x x )2		(x x )
0	0			0		0

При этом не исключено, что после применения метода неопределенных коэффициентов какие-то из чисел Аi (i=1,2,...,k) могут оказаться равными нулю.

Пример 5.

Найти интеграл

I

Решение.

преобразует

(Интегрирование иррациональных функций).

dx
.
2x 1(1 3 2x 1)
Легко видеть, что подстановка	6	2x 1 z
подынтегральное выражение	к	дробно-

рациональному виду. В самом деле, если 6			2x 1 z ,		то 2x-
1=z6 , откуда dx=3z5dz, 3		z2 , 2		z3	. Поэто-
	2x 1		2x 1
му
21

	3z5dz	= 3	z2dz
	z3(z2 1)		(z2 1)

Дальше можно применять уже известный метод интегрирования дробно-рациональных функций, однако в данном случае удобно применить следующий искусственный прием, который быстро приводит к цели:

z2dz

(1 z2) 1

1

3

=

3

dz= 3

(1

)dz=

(z2 1)

(z2 1)

(z2 1)

=3z − 3arctg z+C = 36

- 3arctg6

+c.

2x 1

2x 1

Пример 6. (Интегрирование тригонометрических функ-

ций). Найти интеграл

I= sin2x cos3xdx.

t=sinx , тогда

Решение. Выполним

подстановку

dt=cosxdx , следовательно:

I=

sin2 x cos 2x cosx dx=

sinx (1-sin2x) cosxdx=

=

t2 (1-t2)dt =

(t2-t4)dt=

=t3/3 - t5/5 + c =

1

sin3x -

1

sin 5x +c.

3

5

Пример 7. Найти интеграл I = sin4xdx.

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение, применив формулу понижения порядка, известную из тригонометрии:

		I=		sin4x dx= (sin2x)2dx =	1		(1-cos2x)2dx=
			1	4
		=		(1-2 cos2x +cos22x)dx=
	1	4
=		(1-2cos2x + (1+cos4x)/2)dx =
4
				22

=

3

x-

1

sin2x +

1

sin4x +c.

8

4

32

Пример 8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной

линиями:

y=5− x2; y=x+3.

Решение. Сделаем чертеж (рис.1). Найдем абсциссы то-

чек пересечения линий: y=5-x2 ,y=x+3.

Для этого приравняем

правые части уравнений

5-x2=x+3. Решая полученное урав-

нение, найдем

x1=-2,

x2=1.

Bоспользуемся формулой площади криволинейной тра-

пеции,

ограниченной линиями

y

y=y(x), x=a, x=b, y=0:

b

S=

y(x)dx.

a

В нашем случае площадь

x

фигуры можно получить как

разность площадей

S1

и S2

двух

криволинейных

трапе-

-2

1

0

ций,

ограниченных

линиями

Рис. 1

y=5−x2 и y=x+3, соответст-

венно. В результате получим

1

1

1

S=S1−S2=

(5-x2) dx −

(x+3) dx=

(2 −-x−

2

2

2

−x2) dx = (2x -x2/2- x3/3)

12 =

= (2 -1/2 -1/3) - (- 4 -1/2+8/3) = 4,5 (кв.ед)

Пример 9. Даны: функция

z =

х2 + ху +

у2 ,

точка

A(1,2),

и вектор

= 2 i

. Требуется найти: 1) направление

а

j

наибольшего возрастания функции

z (

т.е. grad z )

в точке А

и скорость ее изменения в этом направлении;

2) производную

23

функции z в точке А по направлению вектора а; 3) экстре-
мум функции z = f (x,y).
Решение. 1) Градиент функции z имеет вид
			grad z = =zx i+zy					.
							j
Вычислим частные производные в точке А. Имеем
zx = 2х + у;	zx		A = 4;	zy = 2у + х;				zy		A= 5.
Таким образом, grad z = 4i+ 5						, а скорость изменения
					j

функции в этом направлении равна grad z =

42 52

41.

2) Производная по направлению вектора определяется по

z

формуле

zx cos zy sin ,

где

угол, образованный

а

вектором

а

с

осью

ОХ.

Тогда

cos

ах

ax

2

2

.

а

a2 a2

4 1

5

x

y

Используя значения производных в точке

А, найденные

ранее, получим

z

3

2

5

1

11

.

а

5

5

5

3) Найдем точки возможного экстремума. Для этого решим систему уравнений

z'

z'

x

y

	0,	2x		y		0,
				2y		0.
	0.	x

Полдучаем x = 0, y = 0. Следовательно, точка O(0,0) –

точка возможного экстремума.
Далее,		z"xx 2,	z"xy 1,	z"yy 2,
z"xxz"yy (z"xy)2		3.	Так как 3 0,	z"xx 2 0,
		O(0,0)

то в точке O(0,0) данная функция имеет минимум.

24

Пример 10. Найти общее решение дифференциального-

уравнения у = tg x tgy.
Решение. Полагая у =	dy	, получим	dy	= tg x tg y . Раз-
			dx
	dx

деляя переменные, приходим к уравнению сtg у dy = tg x dx. Интегрируем:

сtg у dy= tg x dx, или ln

sin y

= – ln

cosx

+ln c.

(Постоянная интегрирования обозначена ln c ). Отсюда нахо-

дим sin y =c/cos x или sin y cos x =c

- общее решение уравне-

ния.

Пример 11. Найти общее решение дифференциального

уравнения с разделяющимися переменными.

(1+х2)dy +ydx=0.

dy

Решение.

Преобразуем уравнение к виду

= –

у

dх

dy

= –

dx

у

. Интегрируя получим

, или ln

=

1 x2

у

1 x2

= – arctg x + c. Общее решение можно записать в виде

y ес arctgx.

Пример 12. Найти частное решение линейного диффе-

ренциального уравнения первого порядка у −

2y

=(х 1)3 ,

х 1

удовлетворяющее начальному условию у (0) = 1.

Решение.

Решение уравнения ищем в виде произведения

двух функций y = u(x) v(x), вычисляя производную, получим

у
		=u (x)v(x) v (x)u(x).
		После подстановки в уравнение, запишем
					2uv		3
			u v v u			==(х 1)		или

х 1

25

2v

) =(х 1)

3

.

u v u(v

v(x)

х 1

Выберем функцию

такой, чтобы выполнялось усло-

вие v

2v

=0. Разделяя переменные в этом уравнении, на-

х 1

ходим

dv

2v

или

dv

2dx

. После интегрирования обеих

х 1

dx

v

х 1

+ с, т.к. доста-

частей равенства, получим ln

v

=

2 ln

x 1

точно найти

хотя бы

одно решение

отличное от нуля, то по-

ложим

с = 0. Тогда

v(x)

=(х 1)2. Подставляя найденное

значение

v(x)

в

исходное

уравнение и учитывая, что

2v

2

3

du

v

=0,

запишем

1)

=(х 1)

или

x 1,

u (х

х 1

1

dx

откуда

после интегрирования

получим

u(х)

(х 1)2 c.

Окончательно общее решение запишется

2

y = u(x) v(x)

1

(х 1)4 c(х 1)2 .

2

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному

условию

у (0) = 1. у (0)

1

c =

1. Откуда

с

1

, тогда ча-

2

1

1

2

стное решение запишется

у

(х

4

(х

2

.

1)

1)

2

2

Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Пусть имеем уравнение

y py qy f (x),

(7)

где p и q - действительные числа.

26

Для уравнения с постоянными коэффициентами в некоторых случаях частное решение можно найти, не прибегая

кинтегрированию.

1.Пусть правая часть уравнения (7) представляет собой произведение показательной функции на многочлен, т.е.

имеет вид

f x P (x)e x ,

где P (x) - многочлен n –й степе-

n

n

ни. Тогда возможны случаи:

а) Число не является корнем

характеристического

уравнения

k2 pk q 0.В

этом

случае

частное

решение

нужно искать в виде

x

(A0 x

n

A1x

n 1

x

.

(8)

y Qn (x)e

.. An )e

гдеQn (x) - многочлен

степени

n

с неизвестными

коэффициентами. Подставляя выписанное решение в уравнение (7) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему n+1 уравнений для определения неизвестных коэффициентов A0, A1, A2 ,...,An .

б) Число есть корень характеристического уравнения кратности r. Частное решение нужно искать в виде

y xrQn (x)e x .

Пример 13. Найти общее решение уравнения. y 9y (x2 1)e3x.

Решение. Общее решение будет иметь вид y y y . Найдем общее решение соответствующего однородного

уравнения. Составим характеристическое уравнение и найдем

его корни		k2 9 0,	k1,2	3i.
Тогда общее решение соответствующего однородного
уравнения		C1 cos3x C2 sin3x .
	y
Правая		часть данного		неоднородного уравнения

(x2 1)e3x имеет видP2 (x)e3x . Так как коэффициент 3 в показателе степени не является корнем характеристического урав-

27

нения, то частное решение будем искать в форме y Q2 (x)e3x ,

т.е. положим y (Ax2 Bx C)e3x . Подставляя это выражение в заданное уравнение, будем иметь

[9(Ax2 Bx C) 6(2Ax B) 2A 9(Ax2 Bx C)]e3x (x2 1)e3x .

Сокращая на e3x и приравнивая коэффициенты при одинако-
вых степенях х, получим
18A	1, 12A 18B 0,			2A 6B 18C 1,
откуда A 1/18,	B 1/27.,	C 5/	81.	Следовательно, ча-

		1			2	1		5				3x
стное решение будет y				x				x			e		.
		18
						27		81

1

2

1

5

3x

Общее решение y C1 cos3x C2 sin3x

x

x

e

.

18

27

81

Пример 14. Найти общее решение уравнения.

y 7y 6y (x 2)ex .

Решение. Общее решение будет иметь вид

y y

y .

Общее

решение соответствующего

однородного

уравнения

C1e6x C2ex.

y

Правая часть данного неоднородного уравнения (x 2)ex

имеет видP1(x)e1x . Так как коэффициент 1 в показателе степени является простым корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в форме y x(Ax B)ex . Подставляя это выражение в заданное уравнение, будем иметь

[(Ax2 Bx) (4Ax 2B) 2A 7(Ax2 Bx) 7(2Ax B) 6(Ax2 Bx)]ex

(x 2)ex.

или ( 10Ax 5B 2A)ex (x 2)ex.

Сокращая на ex и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим

28