Учебное пособие 449

10A 1, 5B 2A 2, откуда A 1/10, B 9/25.

									1							9			x
Следовательно, частное решение будет y x													x					e		.
									10					25
		6x		x			1						9				x
Общее решение	y C1e		C2e		+x					x				e				.
							10						25

2.Пусть правая часть уравнения имеет вид f (x) e x (P(x)cos x Q(x)sin x),

где P(x), Q(x) - многочлены от х. Тогда форма частного решения определяется следующим образом:

а) если + i не является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения (1) следует искать в

	x	(U(x)cos x V(x)sin x),
виде y e
где	U(x), V(x) -		многочлены,	степень которых равна
наивысшей степени многочленовP(x),				Q(x) ;
б) если		+ i	является корнем характеристического

уравнения, то частное решение уравнения (1) следует искать в виде y xe x[U(x)cos x V(x)sin x].

Пример 15. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения

y 4y cos2x.
Решение. Общее решение будет иметь вид
	y y y .

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения.

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни

		k2 4 0,	k1 2i,	k2 2i.
Общее		решение	соответствующего		однородного
уравнения		C1 cos2x C2 sin2x.
	y
			29

Правая часть данного неоднородного уравнения cos2x ,

очевидно, что i =2 i						является	корнем характеристического
уравнения, частное решение будем искать в форме
						где А и	В – неизвестные коэффициен-
y x(Acosx Bsin x),
ты.
Найдем производные y :
		2x( Asin2x Bcos2x) (Acos2x Bsin2x),
y
		4x( Acos2x Bsin2x) 4( Asin2x Bcos2x).
y
Подставляя					выражения				заданное
							y и производных в
уравнение и приравнивая коэффициенты при								cos2x	и sin2x ,
получим два уравнения для определения А и В:
4B 1,				4A 0.
Откуда				A	0,	B 1/4. Следовательно,		частное реше-
		1	xsinx. Общее решение будет иметь вид
ние y		4

y C1 cos2x C2 sin2x+ 1 xsin x. 4

Пример 16. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения

y y 3e2x cos x.

Решение. Общее решение будет иметь вид y y y . Найдем общее решение соответствующего однородного

уравнения. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни

		k2 1 0,	k1 1,	k2 1.
Общее		решение	соответствующего		однородного
уравнения		C1ex C2e x .
	y

30

Правая часть данного неоднородного уравнения имеет

вид f (x) e x (M cos x N sin x) , в данном случае
2, 1,M 3,N 0. Так как число + i =2 + i	не является

корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в форме y e2x (Acosx Bsin x),

Найдем производные y :

y 2e2x (Acos x Bsin x) e2x ( Asin x Bcosx), y 4e2x (Acosx Bsin x) 4e2x ( Asin x Bcosx)

e2x ( Acosx Bsinx).

Подставим выражения y и производных в заданное уравнение,

получим после приведения подобных членов

(2A 4B)e2x cos x ( 4A 2B)e2x sin x 3e2x cos x.

Сократим на e2x и приравняем коэффициенты при cos x и

sin x , получим два уравнения для определения А и В:

	2A 4B 3,		4A 2B 0,
откуда	A 3/10,	B 3/5. Запишем частное решение

		2x	3			3
	y e				cosx			sin x . Общее решение будет иметь вид
			10			5
									3		3
					y C1ex C				2e x e2x		cos x		sin x .
									10		5
		Пример 17. Найти частное решение линейного
	неоднородного					уравнения, удовлетворяющее начальным

условиям. y(0) 1, y (0) 2.

y y 2y cos x 3sin x.

31

Решение. Найдем вначале общее решение, которое будет

иметь вид y y				Чтобы	найти общее			решение
			y .
соответствующего			однородного уравнения				,	составим
						y
характеристическое уравнение и найдем его корни
k2 k 2 0,				k1 1,	k2 2.

Общее решение соответствующего однородного уравнения

y C1ex C2e 2x.

Правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид f (x) e x (M cos x N sin x) ,

в данном случае 0, 1, i i,M 1, N 3. Так как

число + i = i не является корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в форме

y (Acosx Bsin x), y Asin x Bcosx, y Acosx Bsin x.

Подставим выражения y и производных в заданное уравнение,

получим после приведения подобных членов

(B 3A)cos x ( A 3B)sin x cos x 3sin x.

Приравняем коэффициенты при cos x и sin x , получим два

уравнения для определения А и В:

B 3A 1,

3B A 3,

32

откуда A 0, B 1. Следовательно, частное

решение y sin x. Общее решение будет иметь вид
							y C1ex C2e 2x sin x .
Найдем С1,						С2, используя начальные условия
C		e	0 C	2		e0 sin0 1;		или		C1 C	2 1;
	1					e0	cos0 2,				1 2.
C	e0		2C		2				C1 2C2
1
Отсюда С1=1,							С2=0. Частное решение y ex sin x .

33

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица интегралов

1. xadx xa 1 c a 1 ; a 1

2.				1			c;
	xdx
	2				x

3. dx 1 c ; x2 x

4. dxx ln x c ;

	5. axdx	ax	c a 0;a 1 ;
		ln a

6.exdx ex c;

7.sin xdx cosx c;

8.cosxdx sin x c;

9.cosdx2 x tgx c;

10.

dx

ctgx c ;

2

x

sin

11.

dx

arcsin x c ;

1 x2

12.

dx

arcsin

x

c;

a2 x2

a

13.

dx

arctgx c;

1 x

2

14.

dx

1

arctg

x

c;

a

2

2

a

x

a

34

15.

dx

ln

x

x2 a2

c;

x2 a2

16.

dx

1

ln

x a

c;

x

2

2

2a

x a

a

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления / Н.С. Пискунов. М.: Интеграл-Пресс, 2003. Т. 1.

2.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. пособие для втузов: в 2 т. / Н.С. Пискунов. М.: Интеграл-Пресс, 2002. Т. 2.

3.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для студентов втузов /П.Е. Данко, А.Г. Попов Т.Я. Кожевникова. М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2003. Ч. 1.

4.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для студентов втузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2003. Ч. 2.

5.Задачи и упражнения по математическому анализу / под ред. Б.П. Демидовича. М.: Наука, 1978.

35

СОДЕРЖАНИЕ

Общие рекомендации студенту-заочнику к изучению дисциплины «Математика»…..…………………..……..……….1

Программа дисциплины «Математика» (второй семестр) …...3 Правила выполнения и оформления контрольных работ..........4

Вопросы для самопроверки к контрольной работе № 2……….5 Задачи для контрольных заданий……………………….............7

Примеры решения задач к контрольной работе № 2 …….…...16 Приложение…………………………………………………….. 34 Библиографический список……………………….................. ..35

36

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

к контрольной работе № 2 по дисциплине «Математика» для студентов направлений подготовки бакалавров

15.03.05«Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств»,

15.03.01«Машиностроение»,

13.03.01«Теплоэнергетика и теплотехника»,

12.03.04«Биотехнические системы и технологии»

(все профили) заочной формы обучения

Составители: Горбунов Валерий Викторович Костина Татьяна Ивановна Кузнецова Валентина Ивановна Соколова Ольга Анатольевна

В авторской редакции

Компьютерный набор О.А. Соколовой

Подписано в печать 15.09.2017.

Формат 60x84/16. Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. 2,4. Уч.-изд. л. 2,2. Тираж 110 экз. “С” 17.

Зак. №

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»

394026 Воронеж, Московский просп., 14

Участок оперативной полиграфии издательства ВГТУ

37