Учебное пособие 571

9 109 10 9 2 10 9	1			4,5		9		4,5	= 75 (В)
				0,06		0,06
0,06							0,06
Потенциал в точке 2: 2			Erdr.
			r2

Er терпит разрыв при r R, поэтому данный интеграл необходимо разбить на два интеграла:

									R2													R2		kq									k q q					2
2 Erdr Er2 dr Er3 dr																									1			dr									1				dr
																								r	2												2
				r					r							R						r											R				r
				2					2								2					2												2
		kq				R2																	kq							1			r2										1						R2
				1		r 2dr k q1 q2 r 2dr																	1													k q1 q2
						r											R			2								r					R	2									r
						2
		9 109 ( 10 9)												1						1								9							9				9				1
																						9 10							( 10								2 10					)
						2
													0,05							0,06																							0,06
			4,5 0,01								9				15 150 = 135 (В).
				0,0030					0,06
						Потенциал в точке 3:
									k q q																																									1				r3
3 Er3 dr														1			2			dr k		q1		q2 r 2dr k q1																		q2
														2
				r					r						r																r															r
				3					3																				3
		k q1 q2								9 109 10 9 2 10 9																		= 100 (В)
																	0,09
						r3

Ответ: 1 = 75 В, 2 = 135 В, 3 = 100 В.

Задача 1.8. На металлической сфере радиусом 15 см находится заряд q = 2 нКл. Определить напряженность и потенциал электрического поля: 1) на расстоянии r1 = 10 см от центра сферы; 2) на поверхности сферы; 3) на расстоянии r2 = 20 см от центра сферы. Построить графики зависимостей E(r), (r).

21

Дано:

R = 15 см = 0,15 м q = 2 нКл = 2.10-9 Кл

r1 = 10 см = 0,1 м r2 = 20 см = 0,2 м

E1, E2, E - ?

1, 2, - ?

Гаусса:

Решение:

Точки, в которых требуется найти напряжённость и потенциал электрического поля, лежат в трёх областях: r1 < R, r = R и r2 R. Для определения напряженности в соответствующих областях воспользуемся теоремой

sEnds q/ 0 .

Так как внутри сферы зарядов нет, то при r1 R

s	Ends 0,	(1)
1

где s1 - сферическая поверхность радиусом r1 ; En - нормаль-

ная составляющая напряжённости электрического поля.

Из соображений симметрии нормальная составляющая En должна быть равна самой напряжённости и постоянна для всех точек сферы, то есть En E1 const . Поэтому её можно вынести за знак интеграла. Равенство (1) примет вид

E1ds 0.

s1

Так как площадь сферы не равна нулю, то E1 0, т. е. напряжённость поля во всех точках, удовлетворяющих условию r1 R, будет равна нулю.

При r R (поверхность сферы S 4 R2 ) заряд равен q по условию задачи, тогда согласно теореме Гаусса можно записать равенство:

	EndS	q	.
S		0

Так как En E const , то из условий симметрии следует

E SdS	q	, или	E . S	q	, откуда
	0			0

22

				E			q							q				.				(2)
						0S						4 0R2
Аналогично, при r2 R														q
					S2		EhdS								,
														0
										q									q
где S		4 r2	, тогда E		4 r		2						,	E								.
																			4	r2
	2	2		2	2						0				2
																				0	2

Потенциал электрического поля, создаваемого металлической сферой радиусом R, несущей заряд q, на расстоянии r от центра сферы равен:

внутри сферы E = 0, потенциал одинаков и равен потенциалу

на поверхности сферы r R

q

;

4 0R

на поверхности сферы r R

q

;

4 0R

вне сферы r R

q

.

4 0r

Следовательно,

q

;

q

.

4

R

1

2

4

0

r

0

2

Подставив числовые значения, получим:

E1 0;			E2			2 10 9			450 (В/м);
					4 3,14 8,85 10 12 0,04
E					2 10 9		800 (В/м);
		4 3,14 8,85 10 12
						0,0225
					2 10	9
1								200 (В);
				4 3,14 8,85 10 12 0,15

210 9

2 4 3,14 8,85 10 12 0,2 . 90 (В);

Графики зависимостей E(r), (r) представлены соответственно на рис. 1.8 и рис. 1.9.

23

Рис. 1.8 Рис. 1.9

Ответ:E1 0, E = 800 В/м, E2 = 450 В/м; 1 = = 200 В,2 = 90 В.

Задача 1.9. Электрическое поле создано бесконечно длинным равномерно заряженным с поверхностной плотностью заряда= 0,1 мкКл/м2 цилиндром радиусом R = 5 cм. Определить изменение потенциальной энергии однозарядного положительного иона при перемещении его из точки 1 в точку 2 (рис

1.10).

	Дано:			Решение
= 0,1 мкКл/м2 =
=10-7 Кл/м2			По теореме		Гаусса
R = 5 cм= 0,05 м		рассчитаем		напряжен-
r1	= 3R	ность поля цилиндра: ок-
r2	= 2R	ружим	заряженный ци-
q = e = 1,6.10-19 Кл		линдр	коаксиальным
	U2 U1 ?	вспомогательным			цилин-
		дром высоты		h и радиу-

сом r R (рис. 1.10). Запишем поток вектора E Рис. 1.10 через этот цилиндр и приравняем его к заряду внутри цилиндра: q 2 Rh.

По теореме Гаусса E 2 rh 2 Rh , откуда после со-

0

кращения на 2 h получим

E	R	.	(1)

0r

24

Далее, используя связь напряжённости с разностью потенциалов, найдём

2

2

Edr

2R

R

dr

R

2R

dr

R

lnr

2R

R

ln

2R

1

r

r

3R

0

0

0

0

1

3R

3R

3R

R ln 3.

0 2

Тогда изменение потенциальной энергии однозарядного положительного иона при перемещении его из точки 1 в точку 2 равно

U		U		e				e R	ln	3		1,6 10 19 10 7 5 10 2	ln	3
								0				8,85 10 12
	2		1		2	1			2				2

366,4 10 19 Дж 229(эВ).

Ответ: 229 эВ.

1.5. Диэлектрики

Задача 1.10. Диполь с электрическим моментом P =100 нК.м свободно установился в однородном электрическом поле напряжённостью E = 10 кВ/м. Определить изменение потенциальной энергии диполя при повороте его на угол 60 (рис. 1.11).

Дано:		Решение
P =100 нКл . м =		На диполь с
= 10-10 Кл . м	электрическим		мо-
E = 10 кВ/м =	ментом Р в однород-
= 104 В/м	ном	электрическом
60 = /3	поле	действует	мо-
U2 – U1 - ?			Рис 1.11
мент М пары сил М Р,Е .. В равновес-

25

ном положении диполя векторы Р и Е параллельны и одинаково направлены. Элементарная работа внешних сил при повороте диполя на угол α:

dА Мd pEsin d ,

аполная работа при повороте на угол от 0 0 до α:

A pEsin d PE sin d PEcos 0 PEcos 0

0		0
PEcos0 PEcos			1	PE.
3		2

Изменение потенциальной энергии диполя при повороте его из равновесного положения на угол равно работе внешних сил над диполем:

U2	U1	А	1	PE	1	10 10 104 5 10 7 Дж .
		2		2

Ответ: 5.10-7 Дж.

Задача 1.11. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено стеклом 7 . Расстояние между пластинами d = 5 мм, разность потенциалов U = 1 кВ. Определить: 1) напряжённость поля в стекле; 2) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора; 3) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле.

Дано:			Решение
= 7	Так как электрическое поле между
d = 5 мм =	пластинами плоского конденсатора однород-
= 5.10-3 м	ное, то				U
U = 1 кВ =	U Ed , E
= 103 В						.	(1)
					d
E ?	С другой стороны, напряжённость поля равна
?	E			и 0E.			(2)
?
		0
	Для определения					поверхностной

плотности связанных зарядов на стекле воспользуемся тем, 26

что поверхностная плотность связанных зарядов равна поляризованности P :

		P D 0E ,
где	D 0 E - вектор электрического смещения для электри-
чески изотропной среды. Следовательно,
		0E 0E 1 0E.	(3)
	Подставив числовые значения в выражения (1), (2), (3),
найдём:
E	103	= 200 (кВ/м),
	5 10 3
	7 8,85 10 12 200 103 = 12,39 (мКл/м2),
7 1 8,85 10 12 200 103 = 10,6 (мКл/м2).
Ответ: E = 200 кВ/м; = 12,4 мКл/м2;			= 10,6 мКл/м2.

Задача 1.12. Между пластинами плоского конденсатора помещено два слоя диэлектрика – слюдяная пластина 1 7

толщиной d1 = 1 мм и парафин 2 2 толщиной d2 = 0,5 мм. Определить: 1) напряжённость электрических полей в слоях диэлектрика; 2) электрическое смещение, если разность потенциалов между пластинами конденсатора U = 500 В.

Дано:

d1 = 1 мм = = 10-3 м

1 = 7

d2 = 0,5 мм = = 0,5.10-3 м

2 = 2

U = 500 В

E1 ?

E2 ?

D ?

Решение

Плоский конденсатор с двумя слоями диэлектриков можно рассматривать как два конденсатора, соединённых последовательно, тогда

U U1 U2 , U E1d1 E2d2.

(1)

Электрическое смещение равно

		D 0 1E1			0 2E2.					(2)
Выразим E2 из выражений (1) и (2):
E	2		U E1d1		и E	2		1E1	.	(3)
			d2					2

27

Рис 1.12

Дано:

C1 C3 C

C2 C4

C5 2C

Сб ?

Тогда E1			2U			.	(4)
		2	d d		2
			1	1

Вычислив напряжённость электрического поля в первом диэлектрике, легко найти E2 и D:

E		2 500		= 182 (кВ/м), E				7 182	= 637 (кВ/м),
1	2 10	3 7 0,5 10 3				2	2
	D 8,85 10 12		7 182 103 =		11,3 (мкКл/м2).
Ответ:, ,		E1 = 182 кВ/м, E2 = 637			кВ/м, D = 11,3 мкКл/м2.

1.6. Электроёмкость

Задача 1.13. На рис. 1.12 изображена батарея конденсаторов. Определить её ёмкость, если C1 C3 C; C2 C4 C5 2C .

Решение

Данное соединение из пяти конденсаторов нельзя разложить на элементы последовательного и параллельного соединений. К такому выводу

можно прийти, если вспомнить, что для последовательного соединения двух кон-

денсаторов характерно отсутствие узлов на проводнике, соединяющем конденсаторы. С другой стороны, при параллельном соединении оба конденсатора непосредственно подключены к одним и тем же точкам цепи, поэтому на обоих проводниках, соединяющих два конденсатора, должно быть по одному узлу.

Из рис. 1.12 видно, что ни одно из этих условий не выполняется ни для одной пары конденсаторов.

Заметим, что, отключив от цепи конденсатор C5 , полу-

чим соединение, ёмкость которого легко рассчитать, поскольку это будет параллельное соединение двух ветвей: C1,C2 и

28

C3,C4 , каждая из которых есть последовательное соединение двух конденсаторов.

Чтобы выяснить роль конденсатора C5 , найдём раз-

ность потенциалов между точками a и b (рис. 1.12) после его отключения. Поскольку C1 C3 и C2 C4 , обе параллельные

ветви симметричны, поэтому потенциалы точек a и b , одинаково расположенных на ветвях, должны быть равны. Следовательно, конденсатор C5 не заряжен. Тогда ёмкость каждой из двух параллельных ветвей равна

C C	C1C2			C 2C		2C	,
	C C
1,2 3,4		2		C 2C 3
	1

а ёмкость всей батареи

4

Cб =С1,2 C3,4 3C.

4

Ответ: Cб = 3C.

Задача 1.14. Между обкладками плоского конденсатора параллельно им введена металлическая пластинка толщиной а = 8,0 мм. Определить емкость конденсатора, если площадь каждой из обкладок S = 100 см2, расстояние между ними l = 10,0

мм.

Дано:						Решение
а = 8,0 мм = 8,0·10-3 м						Емкость
S = 100 см2 = 10-2 м2				конденсатора
l = 10,0 мм = 10,0·10-3 м				найдем из опре-
				деляющей фор-
				мулы
C – ?
С		q			q	Рис. 1.13
						,
		2
1				U

29

если предварительно выразим напряжение на обкладках конденсатора как функцию заряда его обкладок.

В результате явления электростатической индукции свободные заряды в металлической пластинке, введенной в конденсатор, перераспределяются так, что напряженность электрического поля внутри пластинки станет равной нулю:

Евнутр 0. (1)

С другой стороны, индуцированные заряды распределятся по поверхностям пластинки так, что она станет подобной плоскому конденсатору СD (рис. 1.13), вставленному в данный конденсатор AB. Известно, что напряженность поля в пространстве вне плоского конденсатора равна нулю. Поэтому введение пластинки в конденсатор AB не изменит напряженности однородного поля в пространстве вне пластинки. Пусть эта напряженность равна Е. Выразим ее через заряд конденсатора на основании формул:

Евнутр

и

Евнеш

0;

0

(2)

q

Е

.

0

0S

2

Из соотношения 1 2 Eldl

с учётом формул (1) и (2) на-

1

ходим напряжение на обкладках конденсатора:

A B E(l a)

q(l a)

.

(3)

0S

Подставив в формулу

C

q

q

вместо напряже-

1 2 U

ния его значение по (3), получим:

C 0S . l a

Выполнив вычисления, найдем:

30