Учебное пособие 571
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»
Кафедра физики
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к практическим занятиям по теме «Электростатика» дисциплины «Физика»
для студентов всех технических направлений и специальностей очной формы обучения
Воронеж 2018
УДК 537.2 ББК 22.33
Составители: канд. физ.-мат. наук Н.В. Агапитова, д-р физ.-мат. наук А.В. Бугаков
Методические указания к практическим занятиям по теме «Электростатика» дисциплины «Физика» для студентов всех технических направлений и специальностей очной формы обучения / ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»; сост.: Н.В. Агапитова, А.В. Бугаков.
Воронеж, 2018. 49 с.
Методические указания содержат основные теоретические положения электростатики, примеры решения типовых задач с подробными пояснениями и задачи для самостоятельного решения. Методические указания помогут активизировать самостоятельную работу студентов по данной фундаментальной теме курса общей физики.
Методические указания подготовлены в электронном виде и содержатся в файле МУ_Электростатика.pdf.
Ил. 22. Библиогр.: 5 назв.
УДК 537.2 ББК 22.33
Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. Е.В. Шведов
Издается по решению учебно-методического совета Воронежского государственного технического университета
2
ВВЕДЕНИЕ
Решение задач по различным разделам является необходимой составляющей изучения курса физики и условием выработки у студентов приёмов и навыков, помогающих им в дальнейшем решать конкретные инженерные задачи.
Электростатика – одна из фундаментальных тем физического практикума, имеющих большое значение для изучения последующих разделов физики, а также различных технических дисциплин.
Использование предлагаемых методических материалов позволит студенту в процессе индивидуальной работы усвоить материал и облегчить его понимание, сделать работу студента более комфортной и результативной.
Методические указания содержат основные теоретические положения электростатики, примеры решения типовых задач с подробными пояснениями, сборник подобных задач с ответами для самостоятельного решения, а также возможный набор вариантов для использования на практических занятиях и при отчете соответствующих тем.
Методические указания предназначены для студентов всех технических направлений и специальностей очной формы обучения.
3
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Закон Кулона
F 1 q1q2 , 4 0 r2
где F – сила взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2; r - расстояние между зарядами, - диэлектрическая проницаемость среды; 0 - электрическая постоянная:
|
|
= |
1 |
/ м=8,85 10 12 / м. |
|
0 |
4 9 109 |
||||
|
|
|
Закон сохранения заряда
n
qi const ,
i 1
n
где qi алгебраическая сумма зарядов, входящих в изоли-
i 1
рованную систему; n - число зарядов.
Напряженность электрического поля
|
F |
|
|
E |
|
, |
|
q |
|||
|
|
гдеF - сила, действующая на точечный положительный заряд q, помещенный в данную точку поля.
Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом q, на расстоянии r от заряда
E |
1 |
|
q |
. |
4 |
|
|||
|
|
r2 |
||
0 |
|
|
|
Теорема Гаусса: поток ФЕ вектора напряженности E через любую замкнутую поверхность, охватывающую заряды q1 , q2 ,…, qn :
|
|
1 |
n |
|
ФЕ= |
Ends |
qi , |
||
|
||||
|
|
0 i 1 |
4
n
где qi - алгебраическая сумма зарядов, заключенных внут-
i 1
ри замкнутой поверхности; n - число зарядов.
Принцип суперпозиции (наложения) электрических
полей:
E E1 E2 ... En ,
где E - напряженность результирующего поля, созданного n точечными зарядами.
dq , dq , dq , где , , - соответствен- dl ds dV
но линейная, поверхностная и объемная плотность заряда.
Электрическое смещение D связано с напряженно-
стью E электрического поля в изотропном диэлектрике соотношением
D0E .
Теорема Гаусса для вектора D: поток ФD вектора электрического смещения сквозь любую замкнутую поверх-
ность, охватывающую заряды q1 , q2 ,…, qn :
n
ФD= Dnd s qi ,
i 1
где n - число зарядов (со своим знаком), заключенных внутри замкнутой поверхности.
Потенциал электрического поля – величина, равная отношению потенциальной энергии точечного положительного заряда, помещенного в данную точку поля, к этому заряду:
, q
или потенциал электрического поля есть величина, равная отношению работы сил поля по перемещению точечного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность к величине этого заряда:
5
. q
Потенциал электрического поля, создаваемого точечным зарядом q на расстоянии r от заряда:
q . 4 0 r
Потенциал электрического поля, созданного системой n точечных зарядов, в данной точке равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых отдельными зарядами:
n
i .
i1
Потенциал связан с напряженностью электрического поля соотношением
Egrad .
Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точечного заряда q из одной точки поля, имеющей
потенциал 1 , в другую, имеющую потенциал 2 :
q( 1 2) или q Eedl ,
L
где Ee - проекция вектора напряженности E на направление перемещения; dl - перемещение.
Произведение заряда q диполя на его плечо l назы-
вается электрическим моментом диполя:
q l .
Поляризованность диэлектрика
|
1 |
N |
|
|
|
i , |
|
V |
|||
|
i 1 |
где i - электрический момент отдельной молекулы, N - чис-
ло молекул, содержащихся в объеме V .
Связь поляризованности с напряженностью E среднего макроскопического поля в в изотропном диэлектрике
6
0E,
где - диэлектрическая восприимчивость; 0 - электрическая постоянная.
Связь диэлектрической проницаемости с диэлектрической восприимчивостью :
1 .
Напряженность E среднего макроскопического поля
вдиэлектрике связана с напряженностью E0 внешнего поля
соотношением
E E0 / и E E0 / 0 .
Механический момент сил, действующий на диполь с электрическим моментом p , помещенный в электрическое
поле с напряженностью E:
pE .
Электрическая ёмкость конденсатора
Сq ,
где q - заряд, сообщенный конденсатору; - изменение потенциала, вызванное этим зарядом.
Электрическая ёмкость уединённой проводящей сферы радиусом R , находящейся в бесконечной среде с диэлектрической проницаемостью :
C 4 0 R .
Если сфера полая и заполнена диэлектриком, то электроёмкость её от этого не изменяется.
Электрическая ёмкость плоского конденсатора
С0S ,
d
где S – площадь пластин (каждой из пластин); d - расстояние между ними; - диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами.
7
Электрическая ёмкость С последовательно соединённых конденсаторов
1 .
Сi 1 Ci
Электрическая ёмкость C параллельно соединённых n конденсаторов n
n
CCi .
i1
Энергия W взаимодействия системы точечных заря-
дов q1 , q2 , …, qn определяется работой, которую эта система
зарядов может совершить при удалении их относительно друг друга в бесконечность, и выражается формулой
W1 n qi i ,
2 i 1
где i - потенциал поля, создаваемого всеми (n 1) зарядами
(за исключением i-го) в точке, где расположен заряд qi .
Энергия заряженного конденсатора может быть определена по одной из следующих формул:
W |
qU |
, W |
|
CU2 |
W |
q2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
, |
|
|
, |
|
||||||
2 |
|
2 |
2C |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в случае плоского конденсатора энергия равна |
|
|
||||||||||||
W |
|
SU2 |
|
E2Sd |
|
2Sd |
, |
|||||||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2d |
2 |
|
2 0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где S - площадь каждой пластины конденсатора, - поверх- |
||||||||||||||
ностная плотность заряда на пластинах, |
U - |
|
разность потен- |
циалов между пластинами, d - расстояние между ними.Объёмная плотность энергии электрического поля
w 0 E2 ED .
22
Сила притяжения между пластинами плоского конденсатора
8
F |
E2s |
|
|
SU2 |
|
2s |
. |
0 |
0 |
|
|
||||
2 |
|
2d2 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1.1. Взаимодействие зарядов
Задача 1.1. Три одинаковых положительных заряда q1 = q2 = = q3 = 1 нКл расположены по вершинам равностороннего треугольника (рис. 1.1). Какой отрицательный заряд q0 нужно поместить в центре треугольника, чтобы сила притяжения с его стороны уравновесила силы взаимного отталкивания зарядов, находящихся в вершинах?
Дано: |
Решение |
||||
q1 = q2 = q3 = |
Все |
три |
|||
= 1 нКл = |
|||||
= 10-9 Кл |
заряда, располо- |
||||
q0 - ? |
|
|
Рис. 1.1 |
|
|
женных по |
вер- |
||||
|
|||||
|
шинам треугольника, находятся в одинако- |
||||
|
вых условиях. Поэтому для решения задачи достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы один из этих трех зарядов, например q1 , находился в равновесии. В соответствии с принципом суперпозиции на любой заряд действует каждый из других зарядов независимо
от остальных.F2 , F3 , F0 - силы, с которыми соответственно действуют на заряд q1 заряды q2 , q3 , q0 ; F2,3 - равнодейст-
вующая сил F2 и F3 (рис. 1.1).
F2 F3 F0 F2,3 F0 0 |
(1) |
Для равновесия необходимо, чтобы |
|
F2,3 F0 . |
(2) |
9
F2 F3 , так как треугольник равносторонний и заряды равны: q2 q3 . Из геометрических построений в равностороннем тре-
угольнике |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
r |
|
|
, r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2cos30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F2,3 |
||||||||||||||||||||||
Используя свойства ромба, равнодействующую |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
можно определить как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
F |
2F cos30 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 0 |
a2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
23 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Сила взаимодействия зарядов q1 и q0 равна |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
q |
|
q0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
q0 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
4 0 |
|
r2 |
|
|
4 0 |
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Подставив выражения F0 и F2,3 |
|
в (2), получим |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
q0 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 0 |
|
|
a2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 0 |
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Подставив в (3) значение q, найдем |
|
q0 |
|
0,58 нКл. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Равновесие системы зарядов будет неустойчивым. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: q0 0,58 нКл. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Задача 1.2. Тонкий прямой стержень длиной l |
|
|
|
= 15 см равно- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
мерно заряжен с линейной плотностью |
0,10 |
мКл/м. |
На |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
продолжении оси стержня на расстоянии |
|
|
|
|
a 10 |
см от бли- |
жайшего конца находится точечный заряд q0 = 10 нКл. Определить силу взаимодействия стержня и заряда.
10