Учебное пособие 2087
.pdfПример. Найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
|
|
|
|
y |
3x 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
y(0) |
1, |
|
y (0) 0. |
|
|
|
|||||||
Решение. |
Представим |
|
y |
|
|
dy |
и умножим обе части |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
dx |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
уравнения на dx . Интегрируя, получим: |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
dy 3 x2dx, y x3 |
C . |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
(x3 |
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|||||
Отсюда: dy |
C )dx, |
y |
|
|
|
C x |
C |
2 |
. |
||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Находим постоянные из системы уравнений |
|||||||||||||||||
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y(0) |
|
|
|
C1x |
C2 |
|
x |
0 |
1, |
|
|
C2 1; |
|||||
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y (0) |
C ) |
|
|
|
0, |
|
|
C 0. |
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||
Решение задачи Коши имеет вид: |
y |
x 4 |
1. |
|
|||||||||||||
4 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3*. Введем понятие о граничной (краевой) задаче.
Многие задачи физики, баллистики и других естественных и технических наук приводят к решению граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Сформулированная в п.2 задача Коши является лишь одной из важных задач теории дифференциальных уравнений, в которых ищется решение, удовлетворяющее заданным условиям. В краевых задачах условия, налагаемые на искомое решение, задаются не в одной точке (как в задаче Коши), а на концах заданного интервала [a,b] . Решение в
этом случае ищется внутри интервала, на концах которого оно обязано удовлетворять определенным условиям.
В случае дифференциального уравнения первого порядка граничные задачи, вообще говоря, ставятся не так, так как в
100
этом случае задание значения искомого решения в одной точке (при определенных условиях, сформулированных ранее) уже определяют единственную интегральную кривую. Таким образом, граничные задачи могут ставиться только для уравнений второго и более высокого порядка.
Граничные задачи не всегда имеют решение, а если решение и существует, то, весьма часто, не единственное.
Пример. Найти решение краевой задачи: y 6x ,
y (0) 0, y(1) |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Интегрируя дифференциальное |
уравнение, |
|||||||||||||
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 3x2 |
C |
|
, |
y x3 |
C x C |
2 |
. |
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
Подставим граничные условия при x |
0 |
и x |
|
|
1, имеем: |
||||||||||
|
(3x2 |
|
|
|
|
|
0 , |
C |
|
|
0; |
|
|||
y (0) |
C ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
x |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
y(1) |
(x3 |
C x |
|
C |
|
) |
|
|
1 , |
C |
2 |
0. |
|
||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
x |
1 |
|
|
|
|
||
Искомое решение краевой задачи получается |
|||||||||||||||
подстановкой |
в |
функцию |
|
|
y(x) |
найденных |
значений |
||||||||
постоянных: y |
x3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. |
Покажем, |
|
что для |
уравнения: y |
y , не |
существует решения, удовлетворяющего краевым условиям:
y(0) 1, y( |
) 2. |
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Известно, |
что |
все |
решения |
указанного |
||
дифференциального |
уравнения |
содержатся |
в формуле |
||||
y C1 cos x |
C2 sin x , |
где |
C1 |
и |
C2 |
- произвольные |
постоянные. Наша задача заключается в таком выборе этих
параметров, |
чтобы функция |
y(x) |
удовлетворяла заданным |
||||
граничным условиям. Имеем: |
|
|
|
|
|||
при x |
0 : C1 1 |
C2 |
|
0 |
1, |
C1 |
1; |
при x |
: C1 ( |
1) |
C2 |
0 |
2, |
C1 2, C 2 - любое. |
101
Поскольку записанная выше функция включает все решения уравнения, то поставленная краевая задача не имеет решения, ибо мы получили противоречивую систему
уравнений для нахождения параметров C1 |
и C2 . |
||
Однако для этого же дифференциального уравнения |
|||
краевая задача y(0) 1, |
y( ) |
1 |
имеет бесконечное |
множество решений. Действительно, в этом случае система уравнений для определения параметров имеет вид:
|
|
при x |
0 : C1 |
C2 |
0 1, |
|
C1 |
1, C 2 - любое; |
||||||
|
|
при x |
: C1 ( 1) |
C2 |
0 |
|
1, C1 |
1, C 2 - любое. |
||||||
|
|
Все |
решения |
этой |
краевой |
задачи |
дает |
формула: |
||||||
y |
cos x |
C2 sin x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения |
|
|||||||||
|
|
Найти дифференциальные |
|
уравнения |
следующих |
|||||||||
семейств кривых: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
парабол y |
ax2 |
bx |
c . |
|
Ответ: y |
0. |
|
|
|||||
2. |
окружностей (x a)2 |
( y b)2 |
1. Ответ: |
y |
(1 |
y 2 )3 2. |
||||||||
3. |
синусоид y |
Asin(x ) . |
|
Ответ: y |
y |
0. |
|
|||||||
|
|
Убедится, что следующие функции удовлетворяют |
||||||||||||
соответствующим дифференциальным уравнениям: |
|
|||||||||||||
4. |
y C eC2 x , |
|
yy ( y )2 . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
y |
|
C1 |
C2 |
, |
xy |
|
2y |
0. |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. y C1(x C2 )23 , ( y )2 2yy 0.
Из решений предшествующих задач выделить частные решения со следующими начальными условиями:
|
|
1 |
|
|
|
|
|
7. x0 1, y0 1, |
y0 |
|
. Ответ: y e x 3 . |
||||
|
|
|
|||||
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
102
8. |
x0 |
1, y0 |
0, |
y0 |
1. |
Ответ: |
y |
1 |
|
1. |
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9. |
x0 |
0, y0 |
3, |
y0 |
2. |
Ответ: |
y |
3(x 1)2 3. |
|||
10. |
Найти решение задачи Коши: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
y |
y 0, |
y(0) |
1, y (0) |
0. |
|
(см. пример в п.3).
3.2. Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши. Общее частное решение
1*. Для дифференциального уравнения n -го порядка также доказана теорема существования и единственности решения задачи Коши. Здесь не приводится доказательство этой теоремы, а лишь формулируются достаточные условия существования и единственности решения начальной задачи в упрощенной форме для уравнения, разрешенного относительно старшей производной.
Теорема (Пикара). Пусть дано уравнение
|
|
|
|
|
|
y(n) |
f (x, y, y , , y(n 1) ) |
|
|
|
(3.14) |
|||||||||
и заданы начальные условия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
y y0 , y |
y0 , , y (n 1) |
y0(n 1) |
при x |
x0 . |
|
||||||||||||
Пусть функция f (x, y, y , , y(n 1) ) |
определена в некоторой |
|||||||||||||||||||
замкнутой |
|
|
ограниченной |
области |
n - |
|
мерного |
|||||||||||||
пространства D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0(n 1) |
|
||||
|
x x0 |
|
a, |
|
|
y y0 |
|
|
b, |
|
y y0 |
|
|
b, , |
y (n 1) |
b, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
( a и |
|
b - |
заданные положительные |
числа) |
с |
точкой |
||||||||||||||
M 0 (x0 , y0 , y0 , , y0(n |
1) ) , |
|
лежащей внутри этой области и |
|||||||||||||||||
удовлетворяет в D двум условиям: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1) Функция |
f (x, y, y , , y(n 1) ) непрерывна |
по |
всем |
||||||||||||||||
аргументам и, следовательно, |
ограничена, т.е. |
существует |
103
число |
M |
0 |
|
такое, |
|
|
что |
|
|
для |
всех |
точек |
|||
M (x, y, y , , y(n |
1) ) |
D выполняется |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
f (x, y, y , , y (n 1) ) |
|
M 0 ; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2) Функция f (x, y, y , , y(n |
1) ) |
|
имеет ограниченные |
||||||||||||
частные |
производные |
по |
аргументам |
y, y , , y(n 1) , т.е. |
|||||||||||
существует |
число |
K |
|
0 такое, |
что |
для |
всех |
||||||||
M (x, y, y , , y(n |
1) ) |
D выполняется |
|
|
|
|
|
||||||||
|
f (x, y, y , , y (n 1) ) |
|
K , |
(m |
|
0,1, , n |
1). |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
y (m) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При этих условиях дифференциальное уравнение имеет единственное решение y y(x) , удовлетворяющее заданным начальным условиям. Это решение определено и непрерывно вместе с производными до n - го порядка включительно в интервале
|
|
|
|
x x0 |
|
|
h , |
|
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
min |
a, |
|
|
|
|
b |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
max K0 , |
|
y |
|
, , |
|
y (n 1) |
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из теоремы, в |
частности, |
|
следует, что если функция |
||||||||||
f (x, y, y , , y(n |
1) ) |
является |
|
многочленом |
от своих |
аргументов, то при любых начальных данных существует единственное решение уравнения с этими начальными данными.
2. Общее, частное и особое решение.
Соображения, приведенные в п.1, §3.1 для дифференциального уравнения 2-го порядка, связанные с исключением параметров C1 и C2 , позволяют и
104
дифференциальное уравнение (3.14) или (3.1) рассматривать
как результат исключения n произвольных постоянных |
из |
||
уравнения семейства функций |
|
|
|
y |
(x, C1, C2 , , Cn ) |
(3.15) |
|
путем n кратного дифференцирования уравнения |
(3.15) |
с |
последующим исключением параметров из полученной системы n 1 уравнений.
Таким образом, можно считать, что общее решение дифференциального уравнения n - го порядка должно содержать n независимых параметров C1, C2 , , Cn .
Общим решением дифференциального уравнения n - |
го |
|
порядка называется функция вида (3.14), зависящая от |
n |
|
независимых |
переменных, из которого при соответству- |
ющих значениях этих параметров могут быть получены все решения уравнения, кроме особых.
Приведем более подробное определение*, в котором “расшифрованы” все условия, содержащиеся в выше приведенном.
Пусть D - область в каждой точке которой задача Коши для уравнения (3.14) имеет единственное решение.
Функция (3.15), где C1, C2 , , Cn |
- произвольные постоянные, |
||||
называется общим решением уравнения (3.14) в области |
D , |
||||
если: |
|
|
|
|
|
1) |
функция имеет непрерывные частные производные |
||||
по x до n -го порядка включительно; |
|
|
|||
2) |
для любой |
точки |
M 0 (x0 , y0 , y0 , , y0(n |
1) ) |
D |
система n уравнений |
|
|
|
|
|
|
y0 |
(x0 , C1, C2 , , Cn ) , |
|
|
|
|
y0 |
(x0 , C1, C2 , , Cn ) , |
(3.16) |
y0(n 1) (n 1) (x0 , C1, C2 , , Cn )
единственным образом разрешима относительно C1, , Cn :
105
C10 1(x0 , y0 , y0 , , y0(n 1) ) ,
C20 |
2 (x0 , y0 , y0 , , y0(n 1) ) , |
(3.17) |
Cn0 n (x0 , y0 , y0 , , y0(n 1) ) ;
3)функция (x, C10 , , Cn0 ) является решением
уравнения (3.14) при любых значениях произвольных
постоянных C0 , ,C0 , когда точка M |
0 |
(x |
0 |
, y |
0 |
, y |
0 |
, , y (n 1) ) |
|
1 |
n |
|
|
|
0 |
||||
принадлежит области D . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Если в формуле общего решения (3.15) роль |
|||||||||
произвольных постоянных C1, , Cn |
|
играют начальные |
|||||||
значения y0 , y0 , , y0(n 1) искомой функции y(x) |
и ее первых |
||||||||
n 1 производных |
y (x), , y(n 1) (x) |
|
при |
|
некотором |
||||
фиксированном значении аргумента x |
x0 , то формула (3.15), |
||||||||
принимающая вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
(x, x0 ; y0 , y0 , , y0(n 1) ) , |
|
|
|
(3.18) |
называется общим решением в форме Коши.
Интегрируя уравнение (3.14) редко удается получить решение, зависящее от n произвольных параметров, в виде (3.15). В большинстве случаев n - параметрическое семейство интегральных кривых получается в неявном виде (в виде, не разрешенном относительно неизвестной функции y ):
Ф(x, y, C1, C2 , , Cn ) 0 . |
(3.19) |
Такая форма решения называется общим интегралом |
|
уравнения. |
|
Частным решением дифференциального |
уравнения |
(3.14) называются решения, полученные из общего решения при частных числовых значениях произвольных постоянных C1, , Cn , включая случай, когда значения этих констант
106
равны : y (x, C10 , , Cn0 ) .
Аналогично вводится понятие частного интеграла – это решение в неявном виде, полученное из общего интеграла
(3.19) |
при частных значениях |
параметров |
C |
C 0 |
, , |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
Cn |
Cn0 : |
|
|
|
|
|
|
|
Ф(x, y, C10 , , Cn0 ) 0 . |
|
|
(3.20) |
|
Особым |
решением* |
называется такое |
решение |
уравнения, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши.
Уравнение n го порядка (3.14) может иметь семейство особых решений, зависящее от произвольных постоянных,
число которых может доходить до n |
1. |
||||
Пример. |
Найти решения дифференциального уравнения |
||||
|
|
|
|
|
|
второго порядка y 2 |
y . |
|
|
||
Решение. |
Введем |
новую |
неизвестную функцию |
||
z(x) y (x) . |
Отсюда |
y |
z . Выраженное через новую |
функцию дифференциальное уравнение будет эквивалентно системе уравнений с разделяющимися переменными:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 z , |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
z. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из первого уравнения системы получим: |
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C )2 |
|
|
|
||
|
|
dx (z 0) |
, z x C , |
z (x |
при |
x |
C . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Другим решением этого уравнения является функция z 0.
Подставим найденные функции во второе уравнение. Получим совокупность уравнений
107
dy |
(x C )2 |
, |
|
||
|
||
dx |
1 |
|
|
|
dy |
0. |
|
|
||
dx |
||
|
Интегрируя эти уравнения, будем иметь:
y |
1 |
(x C )3 |
C |
|
(x C ); y C. |
|
2 |
||||
|
3 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, семейство решений y C не получается из общего решения уравнения ни при каких значениях постоянных C1 и C2 . Каждая из линий этого семейства
является особым решением уравнения.
Итак, для данного дифференциального уравнения получено общее решение – двухпараметрическое семейство интегральных кривых, а также построены особые решения.
Пример. Для дифференциального уравнения, заданного
впредыдущем примере, найти частное решение,
удовлетворяющее начальным условиям: y(0) 1, y (0) 0.
Решение. Из общего решения уравнения и его производной получим систему уравнений для нахождения постоянных C1 и C2 :
y(0) |
1 |
(x |
C )3 |
C |
|
|
1 |
|
|
|||
|
2 |
|
C3 |
|
||||||||
|
|
3 |
|
1 |
|
|
x 0, |
|
|
C2 1, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
dy(0) |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
||
(x |
C )2 ) |
|
|
|
|
C 2 |
0; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
dx |
|
|
1 |
|
x 0; |
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 0, C2 1.
Подставляя найденные постоянные в формулу для общего решения, получим частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
|
x3 |
||
y |
|
1. |
|
3 |
|||
|
|
108
3.3. Уравнения высших порядков, интегрируемые в квадратурах. Уравнения, допускающие понижения порядка
1. Из того, что дифференциальное уравнение n -го порядка (3.14) имеет решение, вовсе не следует, что решение выражается в квадратурах. Это замечание относится даже к уравнениям первого порядка. В этом параграфе будут указаны некоторые виды уравнений n -го порядка, общий интеграл которых, (или общее решение) можно найти при помощи квадратур.
Интегрирование таких уравнений будет осуществляться сведением к уравнениям низшего порядка. При такой процедуре порядки промежуточных дифференциальных уравнений постепенно понижаются, а число входящих в них параметров C1, C2 , (“произвольных постоянных”) – увеличивается. Интегрирование уравнения будет закончено когда получается общий интеграл Ф(x, y, C1 , , Cn ) 0 , не
содержащий производных искомой функции и включающий n произвольных постоянных.
Ниже будем рассматривать неполные уравнения, т.е. уравнения вида (3.14) но такие, в которых функция, стоящая в правой части, зависит только от некоторых аргументов.
2. Уравнение, содержащее старшую производную неизвестной функции и заданную функцию от x .
а)* Рассмотрим решение уравнения (3.14) в том случае,
когда в правой части функция зависит только от x , |
то есть |
||
уравнения вида |
|
|
|
|
y(n) |
(x) , |
(3.21) |
где, функция |
(x) непрерывна в некотором интервале (a,b) . |
||
Представляя |
производную |
в форме y(n) y(n 1) , |
можно |
записать уравнение (3.21) так:
dy(n 1) (x), dx
109