Учебное пособие 2087
.pdf1) |
Правая часть |
имеет |
вид |
f (x) Pn (x), |
где |
|||||||
P (x) |
a xn |
a xn 1 ... |
a |
1 |
x |
a |
|
многочлен степени п. |
||||
n |
0 |
|
|
1 |
|
n |
|
n |
|
|
|
|
Тогда |
|
частное |
решение |
~ |
можно искать в |
виде |
||||||
|
y |
|||||||||||
~ |
|
r |
, |
где Qn (x) |
многочлен той же степени, что и |
|||||||
y Qn (x)x |
|
|||||||||||
Pn (x) , |
а r |
|
|
число |
корней |
характеристического уравнения, |
равных нулю.
Пример 4. Найти общее решение уравнения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2y |
|
|
y |
x |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Общее решение соответствующего однородного |
|||||||||||||||||||||
уравнения имеет вид |
|
Y |
(C |
C |
2 |
x)ex |
(см. пример 2). Так как |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
правая часть уравнения |
многочлен первой степени и ни один |
|||||||||||||||||||||
из |
корней характеристического |
уравнения |
k 2 |
2k 1 0 не |
||||||||||||||||||
равен нулю ( k2 |
|
|
k1 |
|
1), то частное решение ищем в виде |
|||||||||||||||||
~ |
( Ax |
B)x |
0 |
Ax |
|
B, |
где |
А |
|
и |
В |
|
|
неизвестные |
||||||||
y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
коэффициенты. |
|
Дифференцируя |
дважды |
|
~ |
Ax |
B |
и |
||||||||||||||
|
|
y |
||||||||||||||||||||
|
|
|
~ ~ |
и |
~ |
|
в данное уравнение, найдем |
|
|
|
||||||||||||
подставляя y, y |
y |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2A Ax B x 1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в |
|||||||||||||||||||||
обеих частях равенства: |
A |
1, |
|
|
2 A |
|
B |
1, |
находим: |
A |
1, |
|||||||||||
B |
3. |
Итак, частное решение данного уравнения имеет вид |
||||||||||||||||||||
~ |
x |
3, а его общее решение y |
|
|
(C1 |
C2 x)e |
x |
(x |
3). |
|
|
|||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2) |
Правая часть имеет вид |
|
f (x) |
e |
x P (x), |
где P (x) |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
многочлен степени п. Тогда частное решение |
~ |
следует искать |
||||||||||||||||||||
y |
||||||||||||||||||||||
в виде |
~ |
Qn (x)x |
r |
e |
x |
, где Qn (x) |
|
многочлен той же степени, |
||||||||||||||
y |
|
|
|
|||||||||||||||||||
что и Pn (x) , а r |
число корней характеристического уравнения |
|||||||||||||||||||||
равных |
|
. Если |
|
|
|
|
0 , |
то |
f (x) |
|
Pn (x) , т. |
е. |
имеет место |
|||||||||
случай 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пример 5. Найти общее решение уравнения |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
4 y |
3y |
xex . |
|
|
|
|
|
|
140
Решение. |
Характеристическое |
уравнение k 2 4k 3 |
0 |
|||||||
имеет |
корни |
k1 |
1, |
k2 |
3. Значит, общее решение |
|||||
соответствующего |
однородного |
уравнения |
имеет |
вид |
||||||
Y C ex |
C |
2 |
e3x . |
В |
правой |
части этого |
уравнения |
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
произведение многочлена первой степени на показательную
функцию e x при 1. Так как среди корней характеристического уравнения имеется только один корень k1 1, то r = 1. В данном случае Pn (x) x многочлен
первой степени. Поэтому частное решение данного уравнения
|
|
|
|
~ |
|
|
( Ax |
|
B)xe |
x |
|
( Ax |
2 |
Bx)e |
x |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
ищем в виде y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4Ax 2A 2B x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в |
|||||||||||||||||||||||||||||
обеих |
частях |
равенства: |
|
|
|
4 A |
1 , |
|
|
2A |
|
|
2B |
|
0 , |
находим: |
||||||||||||||
A |
|
1 |
, B |
1 |
. |
Подставляя найденные значения |
A и В в |
|||||||||||||||||||||||
4 |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
выражение |
для |
|
|
, |
получаем |
частное |
|
|
решение |
данного |
||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
уравнения |
~ |
1 |
|
|
2 |
|
x |
; общее решение имеет вид |
|
|||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
(x |
|
x)e |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
3x |
1 |
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
y y Y C1e |
|
|
C2e |
|
|
|
(x |
|
|
|
x)e |
|
. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3) Правая часть имеет вид |
f (x) |
|
a cos x |
b sin |
x, где |
||||||||||||||||||||||||
a , |
b и |
|
известные числа. Тогда частное решение |
~ |
||||||||||||||||||||||||||
|
y надо |
|||||||||||||||||||||||||||||
искать |
в |
виде |
|
|
~ |
( A cos |
|
x |
B sin |
|
x)x |
r |
, |
где |
|
A |
и |
B |
||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
неизвестные коэффициенты, |
a |
r |
|
число корней характери- |
||||||||||||||||||||||||||
стического уравнения, равных i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Пример |
|
|
6. |
Найти |
|
общее |
|
|
решение |
уравнения |
|||||||||||||||||||
y |
y |
sin x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Решение. Характеристическое уравнение k 2 |
1 |
0 имеет |
|||||||||||||||||||||||||||
корни |
k1 i , |
|
|
|
k2 |
i . |
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
общее |
решение |
|||||||||||||||
соответствующего |
|
|
|
|
|
|
однородного |
|
|
|
|
|
уравнения |
141
Y |
C1 cos x |
C2 sin x . |
|
В |
правой |
|
части |
равенства |
||||||||||||||||||||||
тригонометрическая функция sin x , |
т. е. |
a |
|
|
|
0, b |
1, |
|
|
1. Так |
||||||||||||||||||||
как i |
i |
корень характеристического уравнения, то r = 1 и |
||||||||||||||||||||||||||||
частное решение надо искать в виде |
~ |
|
(Acos x |
Bsin x)x . |
||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2( |
|
|
Asin x |
B cos x) |
sin x , |
|
|
|
|
|
||||||||||||
откуда |
A |
|
1 |
, |
B |
|
|
0 . Таким образом, |
|
|
|
частное |
решение |
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
~ |
1 |
x cos x; общее решение уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
y |
y |
|
Y |
|
|
C1 cos x |
C2 sin x |
|
|
|
|
|
|
x cos x. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Пример 7. Найти общее решение уравнения |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
y |
sin 2x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Данное уравнение отличается от предыдущего |
|||||||||||||||||||||||||||||
только тем, |
что |
|
|
|
|
2 . Так как i |
|
i2 |
|
не является корнем |
||||||||||||||||||||
характеристического уравнения, |
то |
r |
|
0 |
|
|
и частное решение |
|||||||||||||||||||||||
следует искать в виде |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
y Acos2x B sin 2x. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3Acos2x 3B sin 2x |
|
sin 2x, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
1 |
, т.е. частное |
решение |
~ |
1 |
|
|||||||||||||||||||
A |
0, B |
|
|
|
y |
|
|
sin 2x, |
||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||
общее решение уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
y |
y |
|
Y |
|
|
C1 cos x |
C2 sin x |
|
|
|
|
|
|
sin 2x. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4) |
Правая часть имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
f (x) |
|
e |
|
x P (x) cos |
x |
P |
|
(x) sin x , |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Pn (x) |
многочлен степени n, а Pm (x) |
|
|
|
|
|
многочлен степени |
|||||||||||||||||||||||
т. Тогда частное решение следует искать в виде |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
~ |
x |
r |
e |
x |
Q1(x) cos |
x Q2 (x) sin |
x , |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
142 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Q1(x) и Q2 (x) |
|
|
многочлены степени s, |
s |
max n, m , а r |
||||||||||||||||||||||||||
число корней характеристического уравнения, равных |
|
|
i . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Пример 8. Найти общее решение уравнения |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
y |
|
|
3e2x cos x. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Решение. Здесь характеристическое уравнение |
k 2 |
1 |
0 |
||||||||||||||||||||||||||
имеет |
корни |
|
k1 |
|
1, k2 |
|
1. |
|
|
Общее |
решение однородного |
||||||||||||||||||||
уравнения таково: Y |
C ex |
|
C e x. В правой части уравнения |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
произведение многочлена нулевой степени, показательной и |
||||||||||||||||||||||||||||||
тригонометрической функций, так что Pn (x) |
|
3, Pm (x) |
|
0, |
s = |
||||||||||||||||||||||||||
0. |
|
|
Число |
|
|
|
|
|
|
i |
|
2 |
|
|
i1 |
|
|
не |
является |
|
корнем |
||||||||||
характеристического уравнения, |
поэтому |
r = 0, и частное |
|||||||||||||||||||||||||||||
решение ищем в виде |
~ |
|
e |
2x |
(Acos x |
B sin x). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(2A 4B) cos x (2B |
4A) sin x |
3cos x. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
Приравнивая коэффициенты при cos x и sin x , находим |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2A |
4B |
|
3, |
|
|
|
|
4A 2B 0, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
откуда |
|
A |
3 |
|
, |
B |
|
3 |
. |
|
Таким |
|
образом, |
частное |
решение |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
~ |
|
2x |
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
а общее решение уравнения |
|
|
|
|||||||||||||
y |
e |
|
|
|
cos x |
|
sin x , |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
10 |
5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
2x |
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
||||
|
|
|
y |
y |
Y |
e |
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
sin x |
C1e |
|
C2e |
|
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
10 |
5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 9. По данным корням характеристического уравнения и правой части f (x) записать частное решение у линейного неоднородного уравнения:
а) k1 |
3 i2, k2 |
3 i2, |
|
б) k1 |
k2 |
3, f (x) 2xe |
|
в) k1 |
1, k2 |
3, |
f (x) |
f (x) |
8e3x sin 2x; |
3x sin x; |
|
ex (1 |
x) cos3x; |
143
г) |
k |
1 |
i2, |
k |
2 |
1 |
i2, |
f (x) |
ex (cos2x |
3sin 2x); |
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) k |
2 |
i |
1 |
, |
k |
|
2 i |
1 |
, |
f (x) |
e2x (x3 |
1) cos |
x |
|
x sin |
x |
. |
||||||
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Решение. а) Имеем: |
|
|
3, |
2 , |
Pn (x) 0, |
Pm (x) 8, |
|||||||||||||||
s |
0 . |
Так |
|
как |
число |
|
|
i |
|
3 i2 |
корень |
||||||||||||
характеристического уравнения, то r = 1. |
Поэтому |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
xe |
3x |
Acos2x B sin 2x ; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
б) |
имеем: |
|
|
3, |
|
|
|
|
1, |
Pn (x) 0, |
Pm (x) |
2х, m 1, |
|||||||||
s |
1. |
|
Число |
|
|
i |
|
|
|
|
3 |
i |
не |
|
является |
корнем |
характеристического уравнения, поэтому r = 0. Следовательно,
|
~ |
e |
3x |
[( Ax |
B) cos x |
(Cx D) sin x]; |
|
|
|
|||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
||||||||||||
в) |
имеем: |
|
|
1, |
3 , Pn ( x) |
1 |
x, Pm (x) |
0, |
n |
1, |
||||||||
s 1. Так как |
число |
i |
1 i3 не является корнем |
|||||||||||||||
характеристического уравнения, то r = 0. Поэтому |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
~ |
e |
x |
[( Ax |
B) cos3x |
|
(Cx |
D) sin3x]. |
|
|
|||||||
|
|
y |
|
|
|
|
||||||||||||
г) имеем: |
|
|
1, |
2 , Pn (x) |
1, |
Pm (x) |
3, |
s |
0 . |
|||||||||
Число |
i |
1 |
i2 |
|
корень характеристического уравнения, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
xe |
x |
Acos2x |
B sin 2x ; |
|
|||||
поэтому r = 1. Следовательно, y |
|
|
||||||||||||||||
д) |
имеем: |
|
|
|
2, |
|
1 |
, |
P (x) |
(x3 |
1), |
P (x) |
x, |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
n |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n 3, |
m 1, |
|
s |
|
3 . |
Число |
|
i |
2 i |
1 |
|
|
корень |
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
характеристического уравнения, значит, r = 1. Следовательно,
~ |
2x |
|
3 |
|
2 |
|
x |
|
3 |
|
2 |
|
x |
|
y xe |
|
Ax |
|
Bx |
|
Cx D) cos |
|
(Ex |
|
Fx |
|
Gx H ) sin |
|
. |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
В заключение сформулируем теорему, которую часто применяют при решении линейных неоднородных уравнений, в правой части которых сумма нескольких слагаемых.
Теорема 8. Если |
~ |
решение уравнения |
y1 |
144
~ |
|
|
|
|
|
|
y |
py |
|
qy |
|
f1(x), |
|
|
|
|
|
(4.15) |
||||||
решение уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
а y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
~ |
|
~ |
|
y |
py |
|
qy |
|
f2 (x), |
|
|
|
|
|
(4.16) |
|||||||
|
|
|
является решением уравнения |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
то сумма y1 |
+ y2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
py |
|
|
qy |
f1(x) + f2 (x). |
|
|
(4.17) |
||||||||||
|
Пример 10. Найти общее решение уравнения |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
2y |
|
y |
sin x |
e |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Решение. |
Характеристическое уравнение |
k 2 |
2k |
1 |
0 |
||||||||||||||||||
имеет |
корни |
|
k1 |
k2 |
|
1, |
поэтому |
|
общее |
решение |
||||||||||||||
соответствующего однородного уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
Y C e x |
C |
2 |
xex |
|
e x (C C |
2 |
x). |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Так как правая часть уравнения состоит из суммы двух |
|||||||||||||||||||||||
функций sin x |
и e x , то в соответствии с теоремой 8 частное |
|||||||||||||||||||||||
решение данного уравнения можно искать в виде |
~ |
~ |
~ |
, |
||||||||||||||||||||
y |
y1 |
y2 |
||||||||||||||||||||||
~ |
частное решение уравнения y |
2y |
y |
|
|
|
~ |
|
||||||||||||||||
где y1 |
sin x , а y2 |
|
||||||||||||||||||||||
частное решение уравнения y |
2y |
y |
e x . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
. Так как число i |
i |
|||||||
|
Сначала найдем частное решение y1 |
|||||||||||||||||||||||
не является корнем характеристического уравнения |
|
( r |
0 ), |
|||||||||||||||||||||
то |
частное |
|
|
решение |
|
|
~ |
|
будем |
|
искать |
в |
виде |
|||||||||||
|
|
|
|
y1 , |
|
|
||||||||||||||||||
~ |
Asin x |
B cos x . |
Подставляя |
~ |
~ |
|
|
~ |
в |
уравнение |
||||||||||||||
y1 |
y1 , |
y1 и |
y1 |
|||||||||||||||||||||
y |
2y |
y |
sin x |
и |
сравнивая |
коэффициенты |
при |
sin x |
и |
|||||||||||||||
cos x , получаем |
|
2A |
0,2B |
1, |
откуда |
|
A |
0 , |
B |
1 |
|
и, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следовательно, |
~ |
1 |
|
cos x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Теперь найдем частное решение |
. Будем его искать в |
||||||||||||||||||||||
|
y2 |
|||||||||||||||||||||||
виде |
~ |
Ae |
x |
, |
так |
как число |
|
1 |
не |
является |
корнем |
|||||||||||||
y2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
характеристического уравнения. |
Подставляя |
~ |
~ |
|
и |
~ |
в |
|||||||||||||||||
y2 |
, y2 |
y2 |
145
уравнение |
|
y |
2y |
y e x , |
имeeм |
|
A |
|
|
|
|
|
1 |
. |
Следовательно, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
~ |
1 |
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
2 |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Таким |
образом, |
частное |
|
решение |
|
|
данного |
|
|
уравнения |
|||||||||||||||||||||||||||||
имеет вид |
~ |
~ |
|
|
~ |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
а общее решение этого |
|||||||||||||||||||||||||
|
y |
y1 |
|
y2 |
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
e |
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
уравнения |
|
|
~ |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
y |
y |
|
Y |
|
|
cos x |
|
|
|
e |
|
|
|
C1e |
|
|
|
|
|
|
|
C2 xe |
|
. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решить уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. |
y |
|
|
5y |
|
4y |
|
0. |
|
Ответ: |
y |
|
C e x |
|
C |
2 |
e4x . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
y |
|
|
6y |
|
9y |
|
0. |
|
Ответ: |
y |
|
e3x (C1 |
|
|
|
|
C2 x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3. |
y |
|
|
8y |
|
25y |
0. |
Ответ: |
y |
|
e 4x (C cos 3x |
|
C |
|
sin x). |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
4. |
y |
|
|
3y |
|
2y |
|
0. |
|
Ответ: |
y |
|
C e x |
C |
2 |
e2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
y |
|
|
4y |
|
4y |
|
0. |
|
Ответ: |
|
y |
|
e2x |
|
C |
|
|
|
|
|
C |
2 |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. |
y |
|
|
2y |
|
2y |
|
0. |
|
Ответ: |
|
y |
|
ex (C cos x |
C |
|
sin x). |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
y |
|
|
4y |
|
3y |
|
0. |
|
Ответ: |
y |
|
C e x |
C |
2 |
e3x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. |
y |
|
|
4y |
|
0. |
|
|
|
|
Ответ: |
|
y |
|
C e2 x |
|
|
C |
2 |
e 2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9. |
y |
|
|
4y |
|
0. |
|
|
|
|
Ответ: |
|
y |
|
C |
|
C |
2 |
e 4x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
y |
3y |
2y |
|
0. |
Ответ: |
|
y |
|
C e 2x |
|
|
|
|
|
C |
2 |
e x . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
y |
|
2ay |
a 2 y |
|
0. |
Ответ: |
|
y |
|
(C x |
C )e ax . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
12. |
y |
|
2y |
5y |
|
0. |
Ответ: |
|
y |
|
e x (C cos 2x |
C |
2 |
sin 2x) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
13. |
y |
|
y |
|
0. |
|
|
|
|
Ответ: |
y |
|
C e x |
C |
|
2 |
e x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
14. |
y |
|
y |
|
0. |
|
|
|
|
Ответ: |
|
y |
|
C1cos x C2 sin x. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
15. |
y |
|
2 y |
y |
|
e |
x |
. |
Ответ: |
|
y |
|
(C x |
C |
|
|
|
)e |
x |
|
|
1 |
e |
x |
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
146
16. |
y 3y 2 y e x . Ответ: |
y C e2x |
(C |
2 |
x)e x . |
|
|
1 |
|
|
17. |
y |
y |
2 y |
6x2 . |
Ответ: |
y |
C ex |
|
|
|
|
C e 2x |
3(x2 |
x |
1.5). |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
18. |
y |
3y |
9x. |
|
|
Ответ: |
y |
|
|
|
C |
|
|
|
C |
|
|
e |
|
|
3x |
3 |
|
x |
2 |
|
|
|
x. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
19. |
y |
2 y |
xe |
|
Ответ: |
y |
C ex |
2 |
|
|
|
|
|
C |
2 |
e x |
2 |
|
|
|
(x |
|
2)e x . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
20. |
y |
4 y |
8x3. |
|
|
Ответ: |
y |
|
C e2x |
|
|
|
|
C |
2 |
e 2x |
|
|
|
2x3 |
|
3x. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
21. |
y |
5y |
6y 13sin3x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Ответ: |
|
y |
C e2x |
|
|
|
|
C |
|
e3x |
|
|
|
|
1 |
5cos3x |
sin3x . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
22. |
y |
y |
2,5y |
25cos2x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Ответ: |
y e |
x / 2 |
C cos |
3x |
|
C |
|
|
|
sin |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
6 cos2x |
|
|
|
8sin 2x. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
23. |
y |
4y |
3sin 2x. Ответ: y |
C |
cos 2x |
|
|
|
C |
|
|
|
sin 2x |
|
|
3 |
|
x cos 2x. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
24. |
y |
4y |
sin 2x. |
Ответ: |
y |
C cos2x |
|
|
|
C |
|
|
|
sin 2x |
|
|
|
1 |
x cos2x. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
25. |
y |
y |
x cosx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: y |
|
C cos x C |
|
|
sin x |
|
|
|
|
1 |
|
x cos x |
|
1 |
x |
2 |
sin x. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
26. |
y |
2 y |
3y |
e |
x cos x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ex (C 1 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: |
y |
|
2x |
C2 sin |
|
|
|
|
2x) |
|
|
|
(5 cos x |
|
|
|
|
|
|
4 sin x). |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
27. |
y |
3y |
10y |
sin x |
|
3cos x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Ответ: |
y |
|
C e5x |
C |
|
|
|
e 2x |
|
|
|
2 |
sin x |
|
|
|
9 |
cos x. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
39 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
28. |
y |
3y |
2 y |
e3x (x2 x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
x |
|
|
2x |
|
1 |
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
y |
|
C1e |
|
|
C2e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
(C1 cos x |
|
|
|
C2 sin x). |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
29. |
y |
2 y |
2 y |
ex (2 cos x |
4x sin x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
147
30.y
31.y
32.y
33.y
34.y
35.y
36.y
37.y
38.y
39.y
40.y
41.y
Ответ: y
4 y ex ( 4x
|
|
Ответ: |
y |
|
y |
x |
2e x . |
|
|
2 y |
|
y |
3e x |
|
|
|
Ответ: |
y |
|
6 y |
8y |
e x |
|
|
|
|
Ответ: |
y |
|
e x (C cos x |
C |
sin x) |
|
x2ex cos x. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) cos x |
(2x |
6) sin x . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
C e2x |
|
|
C e 2x |
|
|
ex (x cos x sin x). |
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Ответ: y |
C cos x |
|
C |
2 |
sin x x e x . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
|
e |
x |
x |
2 |
x 3 e |
x |
(C x C ). |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
e2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
e |
x |
|
1 |
xe |
2x |
C e |
2x |
C |
|
e |
4x |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 y |
x |
e 4x . Ответ: |
|
4 y |
e2x |
3e 2x .Ответ: |
|
9y |
4sin3x |
x. Ответ: |
|
3y |
x3 |
2. Ответ: y |
|
3y |
1. |
|
Ответ: |
y |
x cosx. |
Ответ: y |
|
y |
xex . |
|
Ответ: |
y |
e 4x |
C |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
C |
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y e2x C |
|
|
|
x |
|
|
e 2x C |
|
|
|
|
|
|
3 |
x . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y |
C sin3x |
|
|
|
|
C |
|
|
|
2 |
x |
cos3x |
|
|
x |
. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
C C |
|
|
e3x |
|
|
|
x4 |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
20 |
x. |
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
9 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
y |
C |
|
C |
|
|
e 3x |
|
|
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
C |
|
|
x 2 |
sin x |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
cos x. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y |
C |
|
|
C |
|
|
e |
x |
|
|
e |
x |
|
|
|
x |
3 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y xsin x. Ответ: y C |
C |
|
e x |
1 |
x |
sin x |
x 1 |
cos x. |
2 |
|
|
||||||
1 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
148
5. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
5.1.Нормальные системы дифференциальных уравнений
1.Понятие о нормальной системе. Линейные системы. Автономные системы.
Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений содержит n неизвестных функций одного переменного и состоит из n уравнений первого порядка, каждое из которых содержит производную только одной из функций и разрешено относительно этой производной:
|
dy1 |
|
|
f1(x, y1, y2 , , yn ), |
|
|||
|
dx |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy2 |
|
|
f 2 (x, y1 |
, y2 |
, , yn ), |
|
|
|
dx |
|
|
|
(5.1) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|||||||
|
dyn |
|
|
f n (x, y1 |
, y2 |
, , yn ); |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где y1, y2 ,..., yn - |
|
|
|
искомые |
функции от |
независимой |
||
переменной x, f1,..., |
f n - заданные |
функции, |
зависящие от |
(n 1) переменных. Число уравнений, входящих в систему (5.1), называется порядком этой системы. То есть, согласно этому определению, система (5.1) есть система n - го порядка.
К нормальному виду может быть приведена система уравнений высших порядков, каждое из которых разрешено относительно старшей производной. Для этого должны быть введены дополнительные функции, как в рассмотренном ниже примере.
Уравнение движения материальной точки массы m под
|
|
|
d |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
r |
|
|
||
действием силы F t, |
|
, |
|
имеет вид: |
|||||
r |
|||||||||
dt |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
(5.2) |
||
m |
|
F t, |
|
, |
|
, |
|||||||
|
|
|
r |
|
|
|
|||||||
dt 2 |
|
dt |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
149