Вопросы программы к контрольной №2

Раздел IV. Введение в математический анализ

1. Понятие функции. Область определения и область значений. График функции. Возрастание и убывание функции, периодические функции.

2. Способы задания: а) аналитический (явный, неявный); б) табличный; в) графический.

3. Понятие обратной функции.

4. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

5. Предел числовой последовательности и переменной величины.

6. Понятие о пределе функции в точке .

7. Основные правила нахождения пределов: предел суммы, произведения и частного переменных величин, имеющих пределы.

8. Понятие неопределенности. Раскрытие неопределенности типа или .

9. Признаки существования предела: теорема о промежуточной переменной; теорема о монотонной ограниченной переменной.

10. Первый замечательный предел (с выводом).

11. Второй замечательный предел и число (без вывода).

12. Следствия из первого и второго замечательных пределов.

13. Односторонние пределы функции в точке. Связь с обычным пределом.

14. Определение непрерывности функции в точке и на интервале. Точки разрыва. Иллюстрация на графике.

15. Определение непрерывности на языке односторонних пределов. Точки разрыва и их классификация.

16. Понятие сложной функции. Непрерывность сложной функции, составленной из непрерывных.

17. Свойства непрерывных на отрезке функций.

Литература: [2, гл. I, §1-6, упр. 1-6, §7, упр. 8-10, 12, 14, 16, 18, 2, 29, 34, 39, 40; §8, упр. 7 §9 , гл. II, §§1-5, упр. 1, 4, 6, 8-14, 18, 19, §6, упр. 31-33, 35, 37-40; §§7,8, упр. 41-44, 46, 48, 49; §9, упр. 2, 3, 21-23, 25-30, 45, 47, 57, 59; §§10, 11, упр. 60-62], [3, гл. VI, §2, §3, §§4,6], [5, §§1.4-1.11, 3.1], [6, гл 5, стр. 140-170].

Раздел V. Дифференциальное исчисление функции одной переменной и его применение

1. Определение производной функции в точке. Ее геометрический и физический смысл.

2. Правила дифференцирования: производная суммы и разности функций; производная произведения функций; производная частного функций; производная константы; производная произведения функции на число; правило нахождения производной сложной функции.

3. Таблица производных основных элементарных функций.

4. Вторая производная и ее механический смысл. Производные высших порядков.

5. Дифференциал функции в точке и его связь с приращением функции (два основных свойства дифференциала). Формула вычисления дифференциала функции через ее производную и дифференциал (приращение) аргумента. Символическая запись производной в виде отношения дифференциалов. Применение дифференциала для приближенного вычисления значений функции.

6. Формула Лагранжа (формула конечных приращений).

7. Формула Коши. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей

8. Представление функций , , , , по формуле Тейлора в окрестности нуля.

9. Приложения формулы Тейлора для приближенного вычисления значений функции.

10. Возрастание и убывание функции на интервале. Связь со знаком первой производной.

11. Точки максимума и минимума (точки экстремума). Необходимое условие экстремума кусочно-дифференцируемой функции. Критические точки функции. Постоянство знака производной кусочно-дифференцируемой функции на интервале между соседними критическими точками.

12. Проверка критической точки на существование в ней экстремума с помощью знака первой производной. Достаточный признак экстремума, основанный на знаке первой производной.

13. Проверка стационарной точки на существование в ней экстремума с помощью знака второй производной. Достаточный признак экстремума, основанный на знаке второй производной.

14. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной и кусочно-дифференцируемой функции на отрезке.

15. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Связь направления выпуклости графика функции со знаком второй производной.

16. Понятие асимптоты графика функции. Вертикальные асимптоты и их отыскание.

17. Наклонные асимптоты и их отыскание.

18. Общая схема исследования функции заданной формулой: область определения; исследование поведения функции на границе ее области определения (предел функции на границе, асимптоты); нахождение первой производной; определение с ее помощью критических точек, интервалов возрастания и убывания функции и точек экстремума; нахождение второй производной; определение с ее помощью интервалов выпуклости и вогнутости графика функции и точек перегиба. Построение графика функции по результатам исследования.

Литература : [2, глава III, задачи 1, 3, 4, 7, 10, 15, 16, 20-22, 40, 45, 71, 50-80, 116, 120, 137, 222-227; глава V, задачи 3, 14, 22, 27, 32, 34, 40, 52, 54, 62, 67-71, 75, 78, 84, 95, 103]; [3, глава VII, задачи 739-765, 768-770, 945-948, 975-977, 980, 1015-1020, 1053].

Определение варианта

Для определения номера своего варианта возьмите двузначное число, на которое оканчивается номер вашего шифра (номер вашей зачетной книжки). Если оно не превосходит 20, то это номер вашего варианта. В противном случае вычитайте из этого числа 20 до тех пор, пока остаток не станет меньше 21. Тогда этот остаток и есть номер вашего варианта.

Условие задачи состоит из общей для всех вариантов формулировки и двадцати вариантов конкретных данных. Именно для этих данных вам надлежит выполнить решение своего варианта.

При оформлении контрольной работы условия задач следует переписывать полностью. Каждая контрольная работа выполняется в отдельной тетради с полями и сдается (отсылается) для проверки в установленное деканатом время.