Студенческая олимпиада вгту, 2010 год
1.
На плоскости заданы две точки
,
и взята точка
на кривой
Какое наибольшее значение может иметь
площадь
?
Найти координаты точки С.
(3 балла)
2.
В трехмерном пространстве указать все
пары векторов
и
,
при которых система
имеет
решения, и найти эти решения (здесь
-
скалярное произведение,
-
векторное произведение).
(4 балла)
3.
Пусть Р - точка, лежащая на гиперболе
,
а Q-
точка эллипса
Доказать, что расстояние от Р до Q
не меньше 1.
(3 балла)
4.
Доказать, что
(3 балла)
5.
Найти
(3 балла)
6.
Непрерывная функция
выпукла вниз и
Доказать, что
возрастает при
(2 балла)
7.Найти и , если (2 балла)
8.
Вычислить
(2 балла)
9.
Найти функцию
,
удовлетворяющую условиям
(2 балла)
10.
Найти все значения
,
при которых существует хотя бы одно
,
удовлетворяющее условиям:
и
(3 балла)
11.Имеется n целых чисел. Доказать, что среди них найдутся несколько (или может быть одно), сумма которых делится на n. (3 балла)
12.
Найти общие корни уравнений
и
(2 балла)
Победители:
1 место Чернышов Сергей Александрович, РТФ, ИБ-071;
2 место Дурнев Сергей, ФАЭМ, ЭП-091;
3 место Спажакин Михаил Игоревич, РТФ, РТ-091.
Студенческая олимпиада вгту, 2011
1.Вычислить
определитель
,
где
-
корни уравнения
(выразить
через коэффициенты уравнения) .
(2
балла)
2.
Четырехугольник АВСD
(АВСD)
вписан в окружность радиуса 1. Известно,
что центр окружности лежит в точке
пересечения диагоналей. М
-
произвольная точка окружности.
Найти длину вектора
.
(3 балла)
3. Две вершины треугольника фиксированы, а третья движется так, что один из углов при основании остается вдвое больше другого. Какую линию описывает третья вершина?
(3 балла)
4.
Точка
движется по окружности
.
Какие значения может принимать модуль
?
(4 балла)
5.
Найти
и
,
если
(2
балла)
6.С
помощью матрицы
образуется
последовательность:
.
Найти предел отношения координат вектора
при
при условии , что он существует.
(3балла)
7. Найти n
(n
N)
из уравнения
,
где [x]
целая часть числа х,
т.е. наибольшее целое число, не превосходящее
х.
(2 балла)
8.
Числа x,
y
удовлетворяют неравенству
Какие значения может принимать выражение
?
(4 балла)
9.
Известно, что
.
Найти
.
(1 балл)
10. Даны n+1 различных натуральных чисел, меньших 2n. Доказать, что из них можно выбрать три таких числа, что одно из них равно сумме двух других. (3 балла)
Победители:
1 место Дурнев Сергей Александрович, ФАЭМ, ЭП-091;
2 место Бокачев Алексей Олегович, РТФ, ИБ-101;
3 место Печенкин Арсений Анатольевич, ФАЭМ, ВМ-091.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Беркович Ф.Д. Задачи студенческих олимпиад с указаниями и решениями/ Ф.Д. Беркович, В.С. Федий, В.И. Шлыков.- Ростов н/Д: Феникс, 2008. - 171 с.
2. Рожков В.И. Сборник задач математических / В.И. Рожков, Г.Д. Курдеванидзе, Н.Г. Панфилов.- М.: Изд-во УДН, 1987.-28 с.
3. Садовничий В.А. Задачи студенческих математических олимпиад/В.А. Садовничий, А.А, Григорьян, С.В. Конягин.-М.: Изд-во МГУ, 1087.-310 с.
4. Зарубежные математические олимпиады/С.В. Конягин, Г.А. Тоноян, И.Ф. Шарыгин и др.; Под ред. И.Н.Сергеева.-М.:Наука, 1987.- 416с.
5. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость/ Л.Д. Кудрявцев, А.Д.Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин.-М.: Наука,1984.-592 с.
6. Васильев Н.Б. Задачи Всесоюзных математических олимпиад/Н.Б. Васильев, А.А. Егоров.-М.: Наука, 1988.-288с.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение……………………………………………………...1
Задачи………………………………………………………....2
Олимпиады…………………………………………………..38
Библиографический список………………………………...54
ЗАДАЧИ СТУДЕНЧЕСКИХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ОЛИМПИАД ВГТУ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для самостоятельной работы студентов по математике для
всех специальностей очной формы обучения
Составители:
Фурсова Светлана Афанасьевна
Глушко Елена Георгиевна
В авторской редакции
Компьютерный набор Е. Г. Глушко
Подписано к изданию 15. 06. 2011.
Уч. - изд. л. 3,4.
ФГБОУВПО «Воронежский государственный
технический университет»