1.2. Основные понятия

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и ее производные различных порядков.

Порядком дифференциального уравнения называется поря-

док старшей производной, входящей в это уравнение.

Дифференциальное уравнение -го порядка в общем виде записывается так:

Решением дифференциального уравнения называется любая функция , обращающая это уравнение в тождество.

Решение , заданное в неявном виде, называется интегралом дифференциального уравнения.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общим решением дифференциального уравнения -го порядка называется функция , зависящая от и произвольных независимых постоянных обращающая это уравнение в тождество.

Общее решение, заданное в неявном виде , называется общим интегралом.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, которое получается из общего, если придать определенные значения произвольным постоянным, т.е. решение вида: , где - фиксированные числа.

Частным интегралом называется интеграл, полученный из общего путем фиксирования произвольных постоянных: , где - фиксированные числа.

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка

(1.1)

Если это уравнение разрешимо относительно , то

или (1.2)

Уравнение (1.2) можно записать в виде

. (1.3)

Общим решением уравнения (1.1) называется функция

(1.4)

от и произвольной постоянной , обращающая это уравнение в тождество.

Общее решение, заданное в неявном виде

(1.5)

называется общим интегралом.

Геометрически общее решение (и общий интеграл) представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости, зависящих от одного параметра .

Частным решением уравнения (1.1) называется решение, полученное из общего решения (1.4) при фиксированном значении :

, (1.6)

где - фиксированное число.

Частным интегралом уравнения (1.1) называется интеграл, полученной из общего интеграла (1.5) при фиксированном значении :

. (1.7)

Задача Коши. Найти решение дифференциального уравнения (1.1), удовлетворяющее заданным начальным условиям: при .

Другими словами: найти интегральную кривую уравнения (1.1), проходящую через данную точку

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.

Пусть в дифференциальном уравнении функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области плоскости . Тогда для любой точки существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному усло-

вию