- •Фгбоу впо «Воронежский государственный технический университет» в.А. Шунина в.В. Пешков с.А. Кострюков элементы математического анализа, теории вероятности и статистики
- •Воронеж 2014
- • Шунина в.А., Пешков в.В., Кострюков с.А., 2014
- •Введение
- •1 Основhыe понятия математического анализа
- •1.1 Математика как часть общечеловеческой культуры. Основные этапы становления современной математики. Аксиоматический подход
- •Период элементарной математики
- •Период математики переменных величин
- •Период современной математики
- •1.2 Множества и подмножества. Операции над множествами. Мощность множества
- •Операции на множествах
- •Множества и отношения
- •Мощность множества
- •1.3 Множество действительных и комплексных чисел
- •1.4 Линейные пространства Rn. Векторы и операции над ними. Координаты вектора в заданном базисе
- •1.5 Понятие матрицы. Квадратные матрицы и их определители. Формулы крамера
- •Действия над матрицами
- •1.6 Топологические понятия. Последовательности. Предел и непрерывность функции
- •Арифметические свойства предела
- •1.7 Производная и дифференциал функции. Экстремум функции
- •Дифференциал
- •1.8 Первообразная, неопределенный и определенный интегралы. Формула ньютона – лейбница
- •Определенный интеграл и его свойства
- •1.9 Понятие о дифференциальных уравнениях. Задача коши
- •2 Элементарная теория вероятности
- •2.1 Предмет теории вероятности. Случайные события. Действия над случайными событиями.
- •Вероятностное пространство
- •2.2 Классическое определения вероятности. Комбинаторика
- •2.3 Статистическое определения вероятности. Частота и вероятность
- •2.4 Геометрическое определение вероятности
- •2.5 Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность. Независимость событий
- •Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей (вероятность произведения событий)
- •2.6 Формула полной вероятности
- •2.7 Формула Байеса
- •2.8 Схема испытаний Бернулли
- •2.9 Понятие случайной величины. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •2.10 Основные законы распределения дискретных случайных величин
- •2.11 Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •2.12 Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение
- •2.13 Зависимость двух случайных величин. Коэффициент корреляции
- •2.14 Предельные теоремы теории вероятностей
- •3 Основы математической статистики
- •3.1 Предмет математической статистики. Генеральная и выборочные совокупности
- •3.2 Эмпирическое распределение. Точечные оценки параметров распределения генеральной совокупности
- •3.3 Интервальные оценки. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения
- •3.4 Проверка статистических гипотез. Проверка гипотез о законе распределения
- •4 Принципы построения математических моделей
- •5 Исследование операций и принятие решений
- •Учебное издание
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Мощность множества
Мощность множества равна числу его элементов, если множество конечно.
Очевидно, что в то время как подсчет числа элементов возможен лишь для сравнения конечных множеств, то для сравнения бесконечных множеств нужно установить взаимно-однозначное соответствие, когда каждому элементу хX ставится в соответствие один и только один элемент уY. Если между множествами Х и Y установлено взаимно-однозначное соответствие, то говорят, что эти множества эквивалентны или равномощны: X~Y.
Таким образом, понятие эквивалентности множеств есть обобщение понятия равночисленности на случай бесконечных множеств.
Г. Кантор установил, что множества R и R2 (плоскость) равномощны. В единичном квадрате точек не больше, чем на единичном отрезке.
Павел Флоренский писал «Человек – малый мир, . Среда – большой мир... Так говорится обычно. Но ничто не мешает нам сказать и наоборот... Если и Человек, и природа бесконечны, то человек, как часть природы, может быть равномощен со своим целым, и то же должно сказать о природе, как части человека... Человек – в мире, но человек так же сложен, как и мир. Мир – в человеке, но и мир так же сложен, как человек».
1.3 Множество действительных и комплексных чисел
В основе математики лежит понятие множества. Природа элементов абстрактного множества нас не интересует. От элементов требуется только одно, чтобы они подчинялись заданной системе аксиом. Ценность формального определения состоит в том, что оно выявляет общие свойства совершенно, казалось бы, различных математических объектов. Например, числовые множества имеют одинаковые алгебраические свойства. Напомним эти множества.
Натуральные числа. Леопольд Кронекер когда-то произнес: «Натуральное число создал господь Бог, все прочие – дело рук человеческих». Натуральный ряд – это числа 1, 2, 3 и т.д. до бесконечности. Обозначение натурального ряда: .
Целые числа – это числа вида n, –n и 0, где n – натуральное число. Все целые числа можно записать так: …, –2, –1, 0, 1, 2, … Отсюда следует, что любое натуральное число является также и целым. Обозначение: .
Рациональные числа – это числа вида p/q, где p и q – целые числа, причем q ≠ 0. Обозначение: . Очевидно, что любое целое число является рациональным.
Действительные или вещественные числа (или континуум) получают из рациональных чисел с помощью некоего предельного процесса. Это наши обычные числа. Обозначение: . Рациональное число всегда действительное. Таким образом,
.
Иррациональные числа. Любая обыкновенная дробь может быть записана в виде бесконечной периодической десятичной дроби. И наоборот, любая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет собой десятичную запись некоторой обыкновенной дроби. А какой смысл могут иметь бесконечные непериодические дроби
Легко показать, что никакая дробь p/q не может быть корнем уравнения x2 – 2 = 0. Таким образом не является рациональным числом, то есть бесконечной периодической десятичной дробью. Действительные, но не рациональные числа называются иррациональными числами. Обозначение: J.
Комплексные числа. Не каждый многочлен с целыми коэффициентами имеет корни среди действительных чисел, например, квадратный двучлен x2 + 1. Добавим к действительным числам некое число i, квадрат которого равен –1: i2 = –1. Число i = называется мнимой единицей.
Полученный таким образом набор чисел вместе с результатами арифметических операций над ними называется комплексными числами: .
Комплексные числа записывают в виде z = x + iy, где x и y – вещественные числа, i – мнимая единица.
x = Re z называется вещественной частью комплексного числа z, y = Im z – мнимой частью.
Комплексно сопряженными называются числа, отличающиеся только знаком своей мнимой части z* = x – iy.
Действительные числа – частный случай комплексных при y = 0. Не действительные числа, т. е. комплексные при y ≠0, называются мнимыми.
Любой многочлен с коэффициентами из имеет корень в .
Комплексные числа наглядно изображают на координатной плоскости: на горизонтальной оси лежат вещественные числа Re z, а на вертикальной – мнимые числа Im z.
Модуль числа z равен расстоянию точки, изображающей это число от начала координат .
Для комплексных чисел следующим образом определены операции сложения и умножения:
(х1, у1) + (х2, у2) = (х1 + х2, у1 + у2),
(х1, у1) (х2, у2) = (х1·x2 – у1·у2, х1·у2 + х2·у1).
Частное комплексных чисел равно комплексному числу
.
Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами:
коммуникативности z1 + z2 = z2 + z1, z1 · z2 = z2 · z1;
ассоциативности (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3),
(z1 · z2) ·z3 = z1 · (z2 · z3);
дистрибутивности z1 · (z2 + z3) = z1 · z2 + z1 · z3.
Два комплексных числа z1 = (х1, у1) и z2 = (х2, у2) равны, если х1 = х2 и у1 = у2.
Существует три формы представления комплексного числа z=(x,y):
алгебраическая z=x+iy,
тригонометрическая z =│z│(cosφ+isinφ),
показательная z =│z│exp(iφ).
Здесь символ exp(iφ) обозначает комплексное число (cosφ+i sinφ), φ называется аргументом (аrg z) комплексного числа и является решением системы уравнений
Все аргументы различаются на целые кратные 2 и обозначаются единым символом Arg z.
Комплексные числа часто встречаются в качестве корней полиномов.
Многочленом (полиномом) n-й степени называется выражение вида:
,
где
Два многочлена и равны, если
.
Многочлены можно складывать, перемножать, делить.
Существуют единственные многочлены и такие, что
или ,
здесь – ненулевой многочлен; или ; .
называют частным от деления на , а – остатком.
Если , то делится на без остатка.
Число называется корнем многочлена , если .
Теорема Безу. Остаток от деления многочлена на равняется значению этого многочлена в точке .
Основная теорема алгебры (теорема Гаусса). Всякий многочлен ненулевой степени имеет по крайней мере один корень.
Пример 2. Решить уравнение z3 = 1. Найти модули корней. Отобразить на декартовой плоскости решение уравнения.
Решение.
Здесь – мнимая единица.