- •1. Основные понятия
- •Функционал
- •1.2. Предмет вариационного исчисления
- •2. Первая вариация и необходимое условие экстремума
- •2.1. Приращения (вариация) аргумента функционала
- •2.2. Вариация функционала
- •2.3. Экстремум функционала
- •2.4. Необходимое условие экстремума
- •2.5. Уравнения Эйлера
- •2.5.1. Функционал
- •2.5.2. Функционал
- •2.5.3. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера
- •2.6. Функционалы, содержащие производные высшего порядка
- •2.7. Функционалы от нескольких функций
- •Ответы и указания
- •3.1 Условный экстремум с интегральными связями
- •3.2. Условный экстремум с конечными или дифференциальными связями
- •3.3. Задачи с подвижными граничными на плоскости
- •3.3.1. Условия трансверсальности
- •3.3.2 Высвобождающие связи
- •4.Разрывные задачи
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы и указания
- •4. Достаточные условия экстремума
- •4.1 Вариации высших порядков
- •4.2 Условия экстремума в терминах второй вариации
- •4.3 Необходимые условия Лежандра
- •4.4 Поле экстремалей
- •4.6. Условие Якоби
- •4.7.Условия сильного экстремума. Функция Вейерштрасса
- •5. Канонические уравнения и вариационные принципы
- •5.1 Преобразование уравнений Эйлера к каноническому виду
- •5.2. Первые интегралы
- •6. Вариационные принципы
- •6.1 . Принцип Гамильтона в простейшем случае
- •6.2. Принцип Гамильтона для систем с конечным числом степеней свободы
- •6.3. Принцип наименьшего действия в форме Лагранжа и Якоби
- •6.4. Вывод уравнения малых колебаний струны
- •6.5. Продольные колебания стержня
- •6.6. Поперечные колебания стержня
- •7. Общая схема вариационного подхода к физическим задачам
- •7.2. Диссипативные системы
- •7.3. Принцип минимума потенциальной энергии
- •7.3.1 Запас устойчивости
7.3.1 Запас устойчивости
Рис.25
Рассмотрим автономную консервативную систему с одной степенью свободы и со следующей зависимостью потенциальной энергии от координаты (рис. 25).Здесь имеется шесть возможных положений равновесия из которых при устойчивых . Рассмотрим какое-нибудь из этих устойчивых состояний, например, . Тогда наименьшая из разностей и (на рис. 25 это первая) и будет служить запасом устойчивости (иначе – потенциальным барьером) рассматриваемой системы в состоянии q³. Это означает, что если системе в состоянии q³ сообщить кинетическую энергию, меньшую κ³, то так как полная энергия сохраняется, а кинетическая энергия неотрицательна, то система не может выйти из области, заштрихованной на рисунке 25 (потенциальной ямы, отвечающей состоянию q³). В случае сколь угодно малой диссипации энергии система через достаточно большой промежуток времени вновь возвратиться в исходное состояние q³.