- •Кафедра строительной механики
- •Составители с.Ю. Гриднев, р.А. Мухтаров
- •Введение
- •1.Задание на выполнение расчётной работы
- •2. Содержание работы
- •Выполнить расчет балки на действие временной распределенной нагрузки
- •3. Общие методические указания
- •Расчет на временную нагрузку
- •4.3.2. Основная система
- •4.3.6. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов
- •5. Построение линии влияния и объёмлющих эпюр
- •Оглавление
2. Содержание работы
По условиям задания в расчетной работе требуется:
Выполнить расчет балки на заданную постоянную нагрузку
1. Вычертить многопролетную неразрезную балку с действующей на неё постоянной нагрузкой. Отметить сечение «к». Выполнить нумерацию опор и пролетов;
2. Выполнить кинематический анализ расчетной схемы балки;
3. Построить эпюры и Q на консолях (если они предусмотрены заданием), вычислив и подписав характерные ординаты (у крайних опор);
4. Образовать основную систему для расчета методом сил с нумерацией основных неизвестных, опор и пролетов. Консоли отбросить. Показать постоянную нагрузку и основные неизвестные (опорные моменты), а также моменты на торцах крайних пролетов, выписав их величины и знаки;
5. Составить систему уравнений трех моментов;
6. Построить для каждого пролета, как для отдельной балки, эпюры и от постоянной нагрузки со всеми необходимыми для этого расчетами;
7. Вычислить по эпюрам статические моменты, входящие в правые части системы уравнений трех моментов;
8. Записать систему уравнений трех моментов в развернутом виде с числовыми коэффициентами и значениями правой части;
9. Определить значения основных неизвестных и выполнить их проверку с подстановкой уравнения с оценкой погрешности;
10. Построить окончательные эпюры и для заданной системы;
11. Вычислить и проверить опорные реакции.
Выполнить расчет балки на действие временной распределенной нагрузки
Выполнить расчет на ПЭВМ;
Построить линию влияния изгибающего момента в заданном сечении по результатам расчета на ПЭВМ;
Определить изгибающий момент в заданном сечении от действия постоянной нагрузки загружением построенной линии влияния;
Построить объёмлющую эпюру от действия временной нагрузки в заданном пролете;
Определить максимальный и минимальный возможный изгибающий момент в заданном сечении от действия временной нагрузки загружением линии влияния;
Заполнить таблицу сравнения значений от действия постоянной и временной нагрузок, определенных непосредственным расчетом и загружением линии влияния;
Построить объёмлющую эпюру от совместного действия постоянной и временной нагрузок в заданном пролете.
3. Общие методические указания
3.1. Опоры балки нумеруются слева направо, начиная с нулевой, пролеты- начиная с первого. Консоль в нумерацию пролетов не включается ( рис. 1, а). В дальнейшем m обозначает число пролетов, - номер рассматриваемого пролета ( или опоры ).
Рис.1,а
Если концы балки защемлены, каждое защемление схематизируется как две бесконечно близкие опоры; соответственно нумеруются опоры и пролеты ( рис. 1,б ). В составленных уравнениях полагают l1→0, lm →0.
Рис.1,б
3.2. Число степеней свободы (ст.св. ) W и число избыточных связей Л определяется по упрощенной формуле
, , (1)
где ‑ число опорных стержней.
Заметим, что степень статической неопределимости ( число избыточных связей ) у неразрезной балки равно числу промежуточных опор.
3.3. Консоли рассчитываются как статически определимые участки з.с. (хотя з.с. в целом – статически неопределима). Поэтому построенные для консоли эпюры и – окончательные. При построении их использовать известные эпюры для консольной балки, загруженной на конце сосредоточенной силой и равномерно распределенной нагрузкой ( рис. 2, а, в. ).
Рис. 2
3.4. Основная система (о.с.) при расчете методом сил образуется из заданной системы (з.с.) мысленным удалением избыточных связей, а в данном случае – мысленным введением шарниров над всеми промежуточными опорами ( 1; 2; …; ) взамен непрерывного соединения торцов двух пролетов над опорой. Отбрасываются также уже ранее рассчитанные консоли.
Введение каждого шарнира равносильно удалению из з.с. одной связи, исключающей взаимный поворот двух смежных торцов. Реакцией в удаленной связи служит "групповая сила" ‑ две пары, представляющие силовое взаимодействие торцов, т.е. изгибающий момент в сечении о.с. над опорой. Эти изгибающие моменты ( , , . . . , ) являются основными неизвестными расчета.
Аналогично обозначаются изгибающие моменты над крайними опорами ( и ), но они не входят в число основных неизвестных, т.к. уже определены расчетом консолей. Если консолей нет или они не нагружены, то и равны нулю.
Используемый вариант о.с. является наиболее рациональным. Основную систему можно образовать и другими способами, но тогда расчет невозможно будет выполнить с помощью уравнений трёх моментов.
3.5. При получении эпюр о.с. и использовать известные эпюры для однопролетных балок длиной пролета с равномерной нагрузкой (рис. 2, б). Площадь параболического сегмента эпюры равна
, (2)
где -стрела параболического сегмента.
3.6. Уравнения трех моментов (УТМ) получены развертыванием применительно к неразрезной балке канонических уравнений метода сил. Их смысл – тождественность перемещений основной и заданной систем. Для этого следует над каждой -й промежуточной опорой обратить в нуль взаимный угол поворота двух торцов, прилегающих к шарниру о.с. (рис. 3). Из условия = 0 и вытекает -е каноническое уравнение метода сил, после развертывания и сокращений принимающее вид УТМ:
, (3)
где , .
Рис. 3
Здесь , ‑ площади участков эпюры ( нумерация по пролетам приведена на рис. 4); на рисунке , , , – расстояние центров тяжести этих участков эпюр от левого и правого конца пролета.
Рис. 4
Эпюры сложного очертания разбиваются на простейшие фигуры, после чего и вычисляются как суммы статических моментов всех частей эпюры, т.е. ,
Замечание. Во многих учебниках стоящие в правой части (3) величины названы «фиктивными опорными реакциями» из-за их совпадения со значениями опорных реакций балок от некоторой «фиктивной нагрузки» в качестве которой принимается эпюра .
Если нагрузка, а следовательно и эпюра , симметрична относительно середины пролета, то отрезки ; при этом
,
и уравнение (3) приводится к виду
. (4)
Отметим другой частный случай нагрузки (рис. 5) – пролет загружен одиночной силой Р; ее положение в -м пролете определено отрезками и , где – безразмерные числа ( ).Вид эпюры и формула для максимальной ординаты приведены на рис. 5.
Полагая в типовом уравнении трех моментов (3) или (4) поочередно = 1,2,3, …, , получим систему уравнений. В первое и в последнее уравнение войдут также известные и .
3.7. Н айденные при решении системы УТМ значения , и т.д. надо округлить, сохранив 3-4 значащих цифры. Проверка выполняется подстановкой их в УТМ; допустимые "невязки" определяются принятым уровнем округления (решения, округленные до 0,1 кНм, содержат погрешность в пределах
± 0,05 кНм). Подробнее ‑ см. пример расчета.
3.8. На незагруженных пролетах эпюра М прямолинейная, на загруженных равномерной нагрузкой – параболическая. Параболические участки в работе построить графически по трем ординатам (рис. 6).
П ри этом по концам пролета ab длиной отложены известные ординаты эпюры и ; известна также стрела параболы . Через середины отрезков и (точки и ) проводим перпендикуляр к ab , на нем откладываем отрезок . Соединяем точку с a1 и b1. Делим отрезки и на одинаковое четное число равных частей, точки деления нумеруем, как показано на рис. 6. Соединив прямыми одноименные точки, получим ряд касательных к параболе ( на рис. 6 показана одна из них 3-3 ), весьма точно определяющих ее очертание. Крайними касательными служат и .
3.9. Поперечные силы з.с. отличаются от поперечных сил о.с. на величину Δ , постоянную для каждого пролета и строятся по формуле
, (5)
где дополнительная поперечная сила от действия основных неизвестных в -м пролете.
3.10. Если на участке балки Ki длиной х известны значения и , то согласно рис. 7 имеем
Qi = Qk – qx;
.
Приравнивая эти выражения к нулю, получаем уравнения для определения абсцисс нулевых точек эпюр. Далее учитываем, что М достигает экстремума в сечении, где = 0 ( или меняет знак ).
3.11. Реакция каждой опоры определяется из условия равновесия () бесконечно малого участка балки над этой опорой с учетом уже известных значений справа и слева от опоры. Для проверки реакций служит условие равновесия () балки в целом. Заметим, что оно контролирует только вычисления и , а ошибки в составлении и решении УТМ этой проверкой не обнаруживаются.