Основные балансовые соотношения

Первое балансовое соотношение выражает связь между первым и вторым разделами балансовой модели

+ y_i = X_i, i = , (5.3)

т.е. валовой выпуск отрасли равен сумме промежуточного и конечного продукта.

Второе балансовое соотношение выражает связь между первым и третьим разделами балансовой модели

+ Z_j = X_j, j = , (5.4)

т.е. общие расходы отрасли равны сумме материальных затрат и добавленной стоимости.

Третье балансовое соотношение выражает связь между вторым и третьим разделами балансовой модели

= , (5.5)

т.е. сумма конечной продукции отраслей равна сумме добавленной стоимости этих отраслей.

Экономико-математическая модель межотраслевого баланса. Модель Леонтьева

Запишем первую систему балансовых соотношений, характеризующих распределение продукции отраслей материального производства:

+ y_i = X_i, i = .

Предположим, что межотраслевой поток продукции, идущей из i–й отрасли в j–ю, прямо пропорционален валовому выпуску той отрасли, куда они направляются, т.е.

X_ij = а_ij  X_j. (5.6)

Коэффициенты пропорциональности а_ij называются коэффициентами прямых материальных затрат и характеризуют количество продукции i–й отрасли, необходимой для выпуска единицы продукции j–й отрасли. Будем полагать, что коэффициенты а_ij постоянны в некотором промежутке времени, охватывающем как отчетный, так и предстоящий (планируемый) период.

Подставим выражение (5.6) в первое балансовое соотношение

+ y_i = X_i, i = . (5.7)

Выражение (5.7) называется системой уравнений межотраслевого баланса или экономико-математической моделью межотраслевого баланса, или моделью Леонтьева. Модель Леонтьева в матричном виде

АХ + Y = Х, (5.8)

где

А = , Х = , Y = .

Можно сформулировать три типа задач межотраслевого баланса:

1. Известны коэффициенты прямых материальных затрат (а_ij; i,j = ) и объёмы конечного продукта всех отраслей у_i. Найти объёмы валового выпуска каждой отрасли X_i.

2. Известны объемы валового выпуска всех отраслей X_i и коэффициенты прямых материальных затрат а_ij. Найти объемы конечной продукции каждой отрасли y_i.

3. Известны коэффициенты прямых материальных затрат а_ij. Заданы объемы валового выпуска для части отраслей и объемы конечной продукции для всех остальных отраслей. Найти объемы конечной продукции для первых отраслей и объемы валового выпуска для вторых.

Методы отыскания вектора валовых выпусков

Для решения первой задачи существует два метода: точный и приближенный.

а) Точный метод отыскания вектора валовых выпусков Х.

Запишем модель Леонтьева в матричном виде

АХ + Y = Х, откуда: Х – АХ =Y или (Е – А)  Х = Y, (5.9)

где Е – единичная матрица той же размеренности, что и матрица А; (Е – А) – матрица Леонтьева.

Отсюда решение задачи находится из следующего выражения:

Х = (Е – А)^-1  Y = В  Y, (5.10)

где В = (Е – А)^-1 – обратная к матрице Леонтьева матрица.

Неотрицательное решение задачи существует, если

0  а_ij < 1:

< 1, j = .

б) Приближенный метод отыскания вектора валовых выпусков.

Разложим матрицу (Е – А)^-1 в ряд Тейлора, получим

(Е – А)^-1 = Е + А + А² + … + А^k + …

Подставим найденное выражение в зависимость (5.10).

Пример. Три отрасли выпускают продукцию, причем нормы затрат ресурсов заданы матрицей А, вектор конечной продукции – Y:

А = , Y =

Определить вектор валовых выпусков и величины межотраслевых поставок.

Решение найдём с помощью функций Excel из категории Математические. Так, обратную матрицу В = (Е – А)^-1 найдём с помощью функции =МОБР, вектор Х=В*Y – с помощью функции =МУМНОЖ. Транспонировать вектор Х поможет функция =ТРАНСП (рис. 63). Названные функции вводятся в виде формул массива. Например, для нахождения обратной матрицы следует выделить область B13:D15, ввести функцию =МОБР(B9:D11), нажать клавишу F2 и завершить расчёт нажатием комбинации клавишей Ctrl+Shift+Enter.

Рис. 63. Расчёт вектора валового выпуска

Величины межотраслевых поставок определяются из выражения

X_ij = a_ij · X_j ,

где X_j - элементы транспонированного вектора валового выпуска.

Решение задачи поиска вектора валового выпуска в модели межотраслевого баланса возможно с помощью симплекс-метода.

Представим модель межотраслевого баланса в виде задачи линейного программирования.

Функция цели – максимальный объём валового выпуска

система ограничений

условие неотрицательности получаемого решения

x_j  0 .

Система уравнений межотраслевого баланса имеет вид

Преобразуем систему уравнений к следующему виду, оставив значения конечного продукта в правой части ограничений, а искомые значения валового выпуска – в левой части

При решении задачи с помощью надстройки Поиск решения введём исходные данные и математические выражения так, как это показано на рис. 64.

Для получения решения задачи необходимо вызвать в меню Сервис надстройку Поиск решения и заполнить её так, как это показано на рис. 65.

Рис. 64. Ввод исходных данных в модель оптимизации

Рис. 65. Заполнение диалогового окна Поиска решения

На рис. 66 показаны результаты решения задачи межотраслевого баланса. Вектор валового выпуска Х= (46,93 53,27 27,38). В целевой ячейке величина суммы валовых выпусков отраслей - 127,579 ден.ед.

Рис. 66. Результата решения задачи межотраслевого баланса