3. Работа, мощность, энергия. Законы сохранения

3.1. Основные формулы

1. Работа и мощность переменной силы

, .

2. Приращение кинетической энергии частицы:

,

где А₁₂ – работа всех сил, действующих на частицу.

3. Работа силы поля равна убыли потенциальной энергии частицы в данном поле:

.

4. Связь между силой и потенциальной энергией частицы в поле:

.

5. Приращение полной механической энергии системы:

,

где , U – потенциальная энергия.

Для замкнутой и консервативной систем

.

6. Закон сохранения импульса для замкнутой системы

.

3.2. Основные типы задач и методы их решения Классификация

1. Определение механической работы переменной силы.

Метод решения. Прямое интегрирование выражения или использование соотношения, связывающего приращение механической энергии с работой.

2. Нахождение силы, действующей на частицу в потенциальном поле, и определение условий равновесия.

Метод решения. Использование соотношения , связывающего силу и потенциальную энергию. Отыскание минимума и максимума потенциальной энергии.

3. Столкновение частиц.

Метод решения. Применение законов сохранения импульса и энергии.

Примеры

I тип задач. Частица совершает перемещение в плоскости из точки С(1, 2)м в точку D(2, 3)м. На частицу действует сила . Определить работу силы.

Решение

Элементарная работа, совершаемая силой , при перемещении

.

Тогда работа при перемещении частицы из точки С в точку D определится интегрированием

= 7 Дж.

II тип задач

1. Потенциальная энергия частицы имеет вид , где а=const. Найти: а) силу , действующую на частицу; б) работу А, совершаемую над частицей силами поля при переходе частицы из точки М(1, 1, 1) в точку N(2, 2, 3).

Решение

Используя выражение, связывающее потенциальную энергию частицы с силой, действующей на нее, получим Для потенциального поля работа сил поля равна убыли потенциальной энергии:

.

По известным координатам точек 1 и 2 находим U₁ и U₂. Получаем значение .

2. Потенциальная энергия частицы, имеющей одну степень свободы (х) описывается уравнением

.

Имеются ли у частицы положения равновесия?

Решение

Исследуем функцию U_x на максимум и минимум с помощью первой и второй производных. Первая производная

.

Из уравнения находим критические значения х:

; .

Вторая производная .

И

Рис. 3.1

сследуем характер каждой критической точки:

(max);

(min).

Таким образом, частица имеет два положения равновесия (рис. 3.1): неустойчивое ; устойчивое .

III тип задач

1

Рис. 3.2

. Протон с энергией E_p = 0,2 МэВ упруго рассеивается на -частице под углом . Считая массу -частицы в 4 раза больше массы протона, определить энергию протона и -частицы после удара ( и ).

Решение

Введем обозначения: - скорость протона до удара; - после удара; - скорость частицы после удара (до удара она была равна нулю). По законам сохранения импульса и энергии соответственно имеем

; (1)

. (2)

Для выполнения расчетов необходимо перейти от векторной формы записи уравнения (1) к скалярной. Это можно сделать, применив, как обычно, метод проекций. В данном случае можно поступить проще. Из треугольника импульсов (рис. 3.2) имеем:

.

Решая это уравнение совместно с (2), находим

=0,08МэВ; =0,12 МэВ.