2.4. Механические, тепловые и электрические аналогии

2.4.1. Механические элементы

Таблица 2.1

Механические, тепловые и электрические аналогии

Механические	Тепловые	Электрические
Масса	Теплоемкость	Катушка индуктивности	Емкость
Пружина	Теплоемкость	Конденсатор	Катушка индуктивности
Демпфер	Термосопротивление	Резистор u=Ri	Резистор

Динамический механический элемент можно представить в виде массы (инерционного компонента), соединенной с пружиной и демпфирующим устройством. При вязкостном демпфировании и прямолинейном перемещении удерживающая сила пропорциональна скорости движения. Аналогично этому при круговом движении удерживающая сила пропорциональна угловой скорости. Поэтому сила или крутящий момент, формируемые штоком или пружиной, как правило, также пропорциональны перемещению. В табл. 2.1 приведены основные уравнения для некоторых механических, тепловых и электрических элементов. В первой колонке таблицы даны линейные механические элементы и их уравнения, выраженные через силу F. Во второй колонке приведены линейные тепловые элементы и их уравнения, выраженные через тепло Q. В третьей и четвертой колонках даны электрические аналоги элементов, приведенных в двух первых колонках. Эти аналоги (конденсатор, индуктор и резистор) описаны с помощью выражений для напряжения и тока.

Самый простой способ вывода уравнений движения — выделение каждого инерционного элемента (массы) и рассмотрение его как свободного тела. При этом предполагается, что все свободные компоненты начинают свое движение из положения равновесия, а удерживающие силы или моменты, возникающие при перемещении, возвращают их снова на исходную позицию. При выполнении этих условий к каждому элементу можно применить второй закон Ньютона и вывести из него уравнение движения.

Для прямолинейного движения и совместимых систем единиц измерения второй закон Ньютона формулируется следующим образом: сумма сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение. В системе СИ сила измеряется в ньютонах (Н), масса в килограммах (кг), ускорение в м/с².

Для вращательного движения закон Ньютона гласит, что сумма моментов сил, действующих на тело, равна произведению его момента инерции на угловое ускорение. Момент сил измеряется в ньютонах на метр (Н·м), момент инерции — в килограммах на метр квадратный (кг·м²), а угловое ускорение — в радианах на секунду в квадрате (рад/с²).

Рис. 2.5. Механическая модель акселерометра (а) и диаграмма сил, действующих на свободное тело массы М (б)

Рассмотрим одноосевой акселерометр, состоящий из инерционного элемента, чье движение преобразуется в электрический сигнал. Для этого, например, можно применить пьезоэлектрический преобразователь. На рис. 2.5, а показана механическая модель такого акселерометра. Масса М удерживается пружиной, обладающей коэффициентом жесткости k. Движение массы демпфируется успокоительным устройством с коэффициентом трения b. Инерционный элемент может перемещаться в корпусе акселерометра только в горизонтальном направлении. Во время движения на устройство действует ускорение d²x/dt², а выходной сигнал пропорционален отклонению массы на расстояние х₀. Поскольку инерционный элемент может перемещаться только в одном направлении, акселерометр имеет только одну степень свободы. На рис. 2.5, б показана диаграмма сил, действующих на свободное тело массы М. Отметим, что х₀ равно сумме смещения тела от равновесного состояния x и некоторого фиксированного расстояния. Применяя второй закон Ньютона, получаем следующее соотношение:

(2.22)

где f — ускорение инерционной массы с учетом ускорения свободного падения:

Подставив это выражение в уравнение (2.22), получим требуемое уравнение движения:

(2.23)

Отметим, что каждый член в уравнении (2.23) имеет размерность ньютон (Н). Это выражение является дифференциальным уравнением второго порядка, что означает, что на выходе акселерометра могут появиться нежелательные колебания. На практике, регулируя коэффициент b, добиваются состояния критического демпфирования.