2.5. Элементы логике предикатов

2.5.1. Определение предиката

При изучении логических операций высказывания рассматриваются при одной фиксированной ситуации. После фиксации ситуации все высказывания делятся на истинные и ложные (в одной ситуации). Т.е. мы имеем дело с двухэлементной булевой алгеброй {0,1}.

В логике предикатов исследуется зависимость высказываний от ситуации.

При этом фиксируется уже не одна единственная ситуация, а некоторое множество допустимых ситуаций. В каждой ситуации мы по-прежнему интересуемся лишь истинностью или ложностью высказывания.

Высказывание как функция на некотором фиксированном множестве допустимых ситуаций называется предикатом на этом множестве.

Точнее: каждой ситуации ставится в соответствие истинностное значение высказывания в этой ситуации.

Область определения предиката (множество ситуаций), вообще говоря, неоднозначно определяется видом высказывания и всегда должна оговариваться.

Примеры предикатов.

1. «х – простое число» - он естественно определен на множестве натуральных чисел.

2. «Этот ученик учится отлично». Здесь можно по-разному фиксировать множество учеников, например, выбрать некоторый конкретный класс.

3. «Прямая а проходит через точку А». Здесь в качестве множества ситуаций возьмем множество всевозможных пар {a,A}, где а – прямая, А – точка на евклидовой плоскости.

В последнем примере предикат удобно считать не функцией от одной переменной, принимающей значения из множества {a, A}, а функцией от двух переменных, одна из которых (а) принимает значения в множестве прямых на плоскости, а другая (А) – в множестве точек. С учетом этого обстоятельства и дадим определение.

Определение 1. Пусть m = {m₁, ..., m_n} – конечный набор множеств. Всякое соответствие А(х₁, …, х_n), относящееся к каждому набору из n элементов (а₁, …, а_n), где

какой-либо из элементов булевой алгебры {1 ,0}, называется n-местным предикатом на m.

Множество m_i называется предметной областью (или множеством ситуаций) для переменной x_i.

Переменные x₁, ..., x_n называются предметными переменными или субъектами. Некоторые из множеств m_i могут совпадать.

Замечание. Всякий n-местный предикат А(x₁, ..., x_n) на

m = {m₁, ..., m_n} можно рассматривать как одноместный предикат на множестве наборов (а₁, …, а_n) ( ).

Это множество называется прямым произведением множеств m₁, ..., m_n; оно обозначается так (если m₁, m₂ – множества точек прямой, то можно интерпретировать как множество точек плоскости).

Константы 0, 1 будем называть нульместными предикатами (их интерпретация – высказывания с фиксированной ситуацией).

Примеры.

1. «Прямая Р проходит через точки А и В» - трехместный предикат, у которого предметными областями двух переменных (А и В) являются множества точек, а третьей (Р) – множество прямых.

2. «Если x, y и z – натуральные числа, причем х делится на у, а у делится на z, то х делится на z» - трехместный предикат, у которого все предметные области – натуральные ряды чисел. Ранее говорилось, что это – абсолютно истинное высказывание. Теперь можно сказать, что предикат тождественно равен единице.

3. «Если тетрадь лежит в папке, а папка в портфеле, то тетрадь лежит в портфеле» - так же трехместный тождественно истинный предикат.

4. «Мальчик держит в руке этот карандаш» - можно считать, что это – двухместный предикат: одна переменная область – мальчик, другая – карандаш.

Если имеется некоторый многоместный предикат, то, фиксируя значения некоторых его переменных, мы получим предикат от меньшего числа переменных.

Так, фиксировав переменную Р в примере 1, мы получим двухместный предикат. Рассматривая определенный карандаш в примере 4 – получим одноместный предикат.