3.Потенциал. Работа по перемещению заряда в поле, энергия системы электрических зарядов. Градиент потенциала и его связь с напряженностью поля

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

1. Потенциал электрического поля в данной точке

или ,

где W – потенциальная энергия положительного заряда q₀ в данной точке поля, А_∞ - работа, которую совершают силы поля над зарядом q₀ при удалении его из данной точки поля в бесконечность.

2. Потенциал поля точечного заряда в точке отстоящей от заряда на расстоянии r

,

3. Потенциал электростатического поля равномерно заряженного по поверхности шара радиуса R на расстоянии r от центра шара

при r > R ,

при r < R .

4. Потенциал поля, создаваемого системой зарядов

.

5. Разность потенциалов (напряжение)

U = ₁ - ­_ = A ₁₂ / q₀ = -,

где A ₁₂ - работа сил электрического поля по переносу единичного положительного заряда из одной точки поля в другую, _-₁ - изменение потенциала

6. Работа сил электрического поля по перемещению заряда

A₁₂ = qEd

A ₁₂ = q(₁ - ­_),

где Е_l – проекция вектора на направление элементарного перемещения dl, d - проекция пути на силовые линии поля.

7. Потенциальная энергия заряда q₀ в поле заряда q

,

где r – расстояние между зарядами.

8. Энергия взаимодействия системы точечных зарядов

,

где _I – потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд q_i , всеми зарядами кроме i-го.

9. Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля

или ;

Для однородного электрического поля

.

Пример решения задач

Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом R=1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью =20 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек, находящихся на расстоянии а₁ =0,5 см и а₂= 2 см от поверхности цилиндра, в средней его части.

Решение. Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряженностью поля и изменением потенциала. E= - grad. Для поля с осевой симметрией это соотношение можно записать в виде

E=-d/dr или d= - Edr

Интегрируя последнее выражение, найдем разность потенциалов двух точек, отстоящих на r₁ r₂ от оси цилиндра

₂-₁= -

Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то для выражения напряженности поля можно воспользоваться формулой . Подставив в предыдущее равенство, получим:

₂-_{1= -}

Так как величины r₁ r₂ входят в формулу в виде отношения, то их можно выразить в любых, но только одинаковых единицах: r₁=R+a₁=1,5 см , r₂=R+a₂=3 см

Следовательно, ₁-₂= 250 В.

I

1. Поле создано точечным зарядом 1 нКл. Определить потенциал поля в точке, удаленной от заряда на расстояние 20 см. 45 В.

2. Металлический шарик радиусом 1 см заряжен отрицательно до потенциала 150 В. Сколько электронов находится на поверхности шарика? 10⁹

3. Какова разность потенциалов для двух точек поля, если при перемещении между ними заряда 12 мКл поле совершает работу 0,36 Дж? 30В

4. Точечные заряды 1 мкКл и 0,1 мкКл находятся на расстоянии 10 см друг от друга. Какую работу совершат силы поля, если второй заряд, оттолкнувшись от первого, удалится от него на расстояние 10 м? 8,9 мДж

5. Положительный электрический заряд 2 10^-5 Кл перемещается в электростатическом поле из точки с потенциалом 400 В в точку с потенциалом 100 В. Чему равна работа поля по перемещению заряда? 6 10^-3 Дж.

6. Потенциал поля заряженной сферы на расстоянии 10 см от её центра равен 0,1 В. Чему равен потенциал поля двух сфер, находящихся на расстоянии 20 см, в центре между ними?

7. Пластины большого по размерам плоского конденсатора расположены горизонтально на расстоянии 1 см друг от друга. В пространстве между пластинами падает капля жидкости. Масса капли 4 10^-6кг, её заряд 8 10^-11 Кл. При каком напряжении на пластинах скорость капли будет постоянной?

5000В

8. При перемещении заряда 20 пКл между двумя точками поля внешними силами была совершена работа 4 мкДж. Определить работу сил поля и разность потенциалов этих точек. 200 В.

9. Определить потенциал заряженной сферы радиусом 2см, если заряд сферы 1 мкКл.

10. Электрическое поле создано бесконечной равномерно заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда 2 мкКл/м². В этом поле вдоль прямой, совпадающей с линией напряженности, на расстояние 20 см перемещается точечный электрический заряд 10 нКл. Определить работу сил поля по перемещению этого заряда. 2,3 мкДж

11. Бесконечная плоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью =4 нКл/м2. Определить значение и направление градиента потенциала электрического поля, созданного этой плоскостью. 226 В/м

1 2. Поле создано равномерно заряженной сферической поверхностью с зарядом – Q (рис.1).Укажите направление градиента потенциала в точке А. * А

Рис.1

II

1. Определить потенциал, до которого можно зарядить уединенный металлический шар радиусом 10 см, если напряженность поля, при котором происходит пробой воздуха, равна 3 МВ/м. Найти также максимальную поверхностную плотность электрических зарядов перед пробоем.

300 кВ; 55,6 мкКл/м²

2. N одинаковых капель ртути, заряженных до потенциала φ₀ каждая, сливаются в одну большую каплю. Каков потенциал образовавшейся капли? φ₀·N^2/3

3 . Электрическое поле создано бесконечной равномерно заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда 2 мкКл/м². В этом поле вдоль прямой, составляющей угол 60^о с плоскостью, на расстояние 20 см перемещается точечный электрический заряд 10 нКл. Определить работу сил поля по перемещению этого заряда. 1,96 мкДж

4. Определить работу по

перемещению заряда 50 нКл

из точки 1 в точку 2 (рис.2) в

поле, созданном двумя точеч-

ными зарядами, модуль кото

рых равен 1 мкКл, и а = 0,1 м.

659 мкДж

Рис.2

5 . Шарик массой 1 г и зарядом 10 нКл перемещается из точки 1, потенциал которой 600 В, в точку 2, потенциал которой равен нулю. Найти его скорость в точке 1, если в точке 2 она стала равной 20 см/с. 16,7см/с

6. На расстоянии 4 см от бесконечно длинной заряженной нити находится точечный заряд 0,66 нКл. Под действием поля заряд приближается к нити до расстояния 2 см; при этом совершается работа 5·10^-6 Дж. Найти линейную плотность заряда на нити. 0,6 мкКл/м

7. Электрическое поле образовано положительно заряженной длинной нитью с линейной плотностью заряда 0,2 мкКл/м. Какую скорость получит электрон под действием поля, приблизившись к нити с расстояния 1 см до расстояния 0,5 см?

97·10⁷ м/с

8. Одинаковые заряды величиной 100 Кл Расположены в вершинах квадрата со стороной 10 см. Определить потенциальную энергию этой системы 4,87 мДж

9.Два заряда +q и +q находятся в точке с координатами (а/2,0,0) и (-а/2,0,0) соответственно. Чему равна работа сил поля, создаваемого этими зарядами, при удалении заряда q_о из начала координат в бесконечность?

10. Электрическое поле создано точечным положительным зарядом 6 нКл. Другой положительный заряд переносится из точки, находящейся на расстоянии 20 см от него, в точку, находящуюся на расстоянии 50 см. Каково изменение потенциальной энергии, приходящееся на единицу переносимого заряда? - 162 Дж/Кл

11. Электростатическое поле создается сферой радиусом 5 см равномерно заряженной с поверхностной плотностью 1 нКл/м². Определите разность потенциалов между двумя точками поля, лежащими на расстояниях 10 см и 15 см от центра сферы. 0,94 В

12. Электростатическое поле создается шаром радиусом 10 см, равномерно заряженным с объемной плотностью 20 нКл/м³. Определите разность потенциалов между точками, лежащими внутри шара на расстояниях 2 см и 8 см от его центра. 2,26 В

13. Электростатическое поле создается положительным точечным зарядом. Определите числовое значение и направление градиента потенциала этого поля, если на расстоянии 10 см от заряда потенциал равен 100 В.

1 кВ/м, направлен к заряду

14. Бесконечная тонкая прямая нить несет равномерно распределенный по длине нити заряд с линейной плотностью 1 нКл/м. Каков градиент потенциала в точке, удаленной на расстояние 10 см от нити? Указать направление градиента потенциала. 180 В/м; к нити, вдоль силовых линий

III

1. По тонкому кольцу радиусом R=10 см равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ= 10 нКл/м. Определить потенциал φ в точке, лежащей на оси кольца, на расстоянии а=5 см от центра. 505 В

2. Тонкий диск радиуса r равномерно заряжен с поверхностной плотностью . Найти потенциал поля в точке, лежащей на оси диска на расстоянии a от него.

3. Электростатическое поле создано положительно заряженной бесконечной нитью с постоянной линейной плотностью 1 нКл/см. Какую скорость приобретет электрон, приблизившись под действием поля нити вдоль линии напряженности с расстояния 1,5 см до 1 см? 16 Мм/с

4. Определите линейную плотность заряда бесконечно длинной заряженной нити, если работа сил поля по перемещению заряда 1 нКл с расстояния 5 см до 2 см в направлении, перпендикулярном нити, равна 50 мкДж.

3,03 мКл/м

5. Электростатическое поле создано шаром радиусом 10 см, равномерно заряженным с объемной плотностью 20 нКл/м³. Определите разность потенциалов между точками, лежащими внутри шара на расстояниях 2 см и 8 см от его центра. 2,26 В