Тема №3 приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Параллельный перенос и поворот осей

Литература: [3]; [7], [8], [14], [15].

Основные понятия

Алгебраической кривой второго порядка называется кривая Г, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид

Ах²+2Вху+Су²+2Dx+2Ey+F=0. (22)

Где коэффициенты А, В, С не равны одновременно нулю ( в противном случае Г- прямая, т.е. алгебраическая кривая первого порядка).

В общем случае может оказаться, что уравнение (22) определяет так называемую вырожденную кривую (пустое множество, точку, прямую, пару прямых).

Если же кривая Г невырожденная, то для неё найдётся такая декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой имеет один из следующих видов (каноническое уравнение):

1) х²+у²=R², где R>0;

2) где a, b>0;

3) или где a, b>0;

4) или , где р>0.

При этом кривая Г называется соответственно окружностью, эллипсом, гиперболой и параболой.

Центром некоторой линии называется такая точка плоскости, по отношению к которой точки этой линии расположены симметрично. Линии второго порядка, обладающие единственным центром, называются центральными.

Точка S (x₀,y₀) является центром линии, определяемой уравнением (22), в том и только в том случае, когда её коэффициенты удовлетворяют уравнениям:

(23)

Обозначим через δ определитель этой системы:

Уравнение второй степени называется эллиптическим, если δ>0; гиперболическим, если δ<0; и параболическим, если δ=0. Уравнение центральной линии может быть только эллиптическим или гиперболическим. Если δ≠0, то система (23) является совместной и определённой, т.е. имеет решение и притом единственное. В этом случае координаты центра могут быть определены по формулам:

Перенося начало координат в центр S (x₀,y₀) линии и преобразуя уравнение (22) по формулам:

Получим:

(24)

Дальнейшее упрощение уравнения (23) достигается при помощи преобразования координат

(25)

Соответствующего повороту осей координат на угол α. Если угол α выбран так, что

(26)

То в новых координатах уравнение линии примет вид

(27)

Упрощение параболического уравнения (δ=0) целесообразно начать с поворота координатных осей, т.е. сначала преобразовать уравнение (22) при помощи формул

Угол α следует найти из уравнения (26). Тогда в новых координатах уравнение (22) приводится либо к виду

(28)

Либо к виду

(29)

Дальнейшее упрощение уравнения (28) и (29) достигается путём параллельного переноса осей (повёрнутых).

Замечание. Приведение эллиптического и гиперболического уравнений к каноническому виду начать с поворота координатных осей.

Примеры решения задач

Пример 1. Привести к каноническому виду уравнение

29х²-24ху+36у²+82х-96у-91=0,

Изобразить на чертеже оси координатных систем и геометрический образ, определяемый данным уравнением.

Решение. Записываем формулы преобразования координат, соответствующего повороту осей на угол α

И подставляем их в исходное уравнение. После перегруппировки слагаемых получаем

Найдём угол поворота α из условия равенства нулю коэффициента при , т.е.

Разделив это уравнение на сos²α, получаем квадратное уравнение относительно tgα. Решая его, находим и . Выбираем значение . Этому значению соответствуют и Подставляем их в полученное выше уравнение и выделяем полные квадраты. Тогда уравнение имеет вид:

.

Производим замену переменных, соответствующую параллельному переносу осей координат х’ и у’: , . Таким образом исходное уравнение принимает вид . Это каноническое уравнение эллипса с полуосями а=3 и b=2 (рис. 3).

Рис.3

Пример 2. Построить кривую, определяемую уравнением 5х²+12ху-22х-12у-19=0.

Решение. Имеем А=5,В=6,С=0,D=-11,E=-6,F=-19. Вычисляем

Следовательно, кривая является центральной, гиперболического типа.

Находим координаты центра кривой:

С помощью преобразования координат х=х^/+1 и у=у^/+1 при параллельном переносе точку О^/(1,1) уравнение кривой преобразуется следующим образом

Составляем уравнение (26) для тангенса угла поворота осей: Отсюда , Выбираем и находим .

Преобразование координат при повороте системы координат х^/О^/у^/ на угол α имеет вид (25):

Уравнение кривой в новой системе координат имеет вид

Это уравнение гиперболы с центром в точке О^/(1,1) и полуосями а=2 и b=3. Полученные данные позволяют построить искомую кривую (рис.4).

Рис.4

Пример 3. Построить кривую, определяемую уравнением 4х²-4ху+у²-2х-14у+7=0.

Решение. Вычисляем следовательно данная кривая центральная. Находим тангенс угла поворота осей из уравнения (26): Получаем Выбираем и находим .

Преобразование координат при повороте системы координат хОу на угол α имеет вид (25):

, .

Уравнение кривой в новой системе координат имеет вид

, .

Положим , . Это формулы преобразования координат при параллельном переносе системы х’Оу’ в точку . Уравнение кривой в новой системе координат примет вид . Следовательно, исходное уравнение определяет параболу с вершиной в точке О’, осью параболы служит прямая .

Полученные данные позволяют построить искомую прямую.

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

Решить задачи: [5], 676(1-5), 693(1-3).

Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа.

ТЕМА №4

ПРИЛОЖЕНЯ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА.

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ

ЛАГРАНЖА И НЬЮТОНА

Литература: [17].

Основные понятия

Начнём с рассмотрения задач иинтерполяции в наиболее простом и полно исследованном случае интерпретирования алгебраическими многочленами. Для заданной таблицы данных

(30)

Многочлен степени n называется интерполяционным многочленом, если он удовлетворяет условиям

(31)

Равенство (31) можно записать в виде системы уравнений

(32)

Относительно коэффициентов многочлена . Эта система одозначно разрешима, так как система функций 1, х, х², …, хⁿ линейно не зависима в точках х₀, х₁, …, х_n. Однозначная разрешимость системы (32) следует из того хорошо известного факта, что определитель этой системы ( определитель Вандермонда)

Отличен от нуля, если узлы интерполяции попарно различны. Таким образом, верна следующая теорема.

Теорема 1. существует единственный интерполяционный многочлен степени n, удовлетворяющий условиям (31).

Замечание. На практике система (32) никогда не используется для вычисления коэффициентов интерполяционного многочлена. Дело в том, то она часто является плохо обусловленной. Кроме того, существуют различные удобные явные формы записи интерполяционного многочлена, которые и применяются при интерполяции. Наконец , в большинстве приложений интерполяционного многочлена явное вычисление коэффициентов не нужно.

Задача интерполяции состоит в построении функции g(x), удовлетворяющей условию g(x_i)=y_i. Другими словами, ставится задача о построении функции, график которой проходит через заданные точки (х_i, y_i). Так как функция g(x) проходит через все заданные точки, то этот метод называется глобальной интерполяцией. Наиболее простой и полно исследованный случай – интерполяция алгебраическими многочленами. Одна из форм записи интерполяционного многочлена – многочлен Лагранжа:

К ак нетрудно увидеть, L_n(x) представляет собой многочлен, удовлетворяющий условиям

Таким образом, многочлен Лагранжа действительно является интерполяционным.

В инженерной практике наиболее часто используется интерполяция многочленами первой, второй и третьей степени. Приведём соответствующие формулы для записи многочленов Лагранжа первой и второй степени:

(33)-(34)

Приведём без доказательства наиболее известную теорему о погрешности интерполяции.

Теорема 2. Пусть функция дифференцируем n+1 раз на отрезке [a,b], содержащем узлы интерполяции x_i (i=0,n). Тогда для погрешности интерполяции в точке справедливо равенство

(35)

В котором - некоторая точка принадлежащая интервалу (a,b).

Основное неудобство в использовании этой теоремы состоит в том, что точка неизвестна. Поэтому чаще всего используется не сама теорема, а её следствие.

Следствие. Справедлива оценка погрешности интерполяции в точке имеющая вид

(36)

А также оценка максимума модуля погрешности интерполяции на отрезке , имеющая вид

(37)

Здесь

Если на отрезке производная меняется слабо, то величина абсолютной погрешности почти полностью определяется значением функции . Обратим внимание на то, что при выходе аргумента х за пределы отрезка наблюдения значение быстро становится очень большим. Это объясняет ненадёжность экстраполяции функции для значения аргумента, удалённых от отрезка наблюдения.

Пусть теперь и пусть - I – й шаг таблицы, а несколько огрубляя оценку, можно получить следующее неравенство

Оно позволяет утверждать, что для достаточно гладкой функции f при фиксированной степени интерполяционного многочлена погрешность интерполяции на отрезке при стремится к нулю не медленнее, чем некоторая величина, пропорциональная . Этот факт принято формулировать так: интерполяция многочленом степени n имеет (n+1) – й порядок точности относительно h_max. В частности, линейная и квадратичная интерполяции имеют второй и третий порядок точности соответственно.

Пусть функция задана таблицей своих значений (x_i, y_i), причём и расстояние между соседними узлами таблицы значений аргумента постоянно. В этом случае величину h называют шагом таблицы, а узлы - равноотстоящими.

Величину принято называть конечной разностью первого порядка функции в точке x_i (с шагом h). Конечная разность второго порядка определяется формулой Аналогично определяются конечные разности третьего и более высокого порядков. Общее определение конечной разности порядка к таково:

Здесь Можно показать, что конечные разности порядка к выражаются через значения функции в к+1 точке по формуле

Приведём без доказательства важное утверждение, указывающее на тесную связь между производными гладких функций и их конечными разностями.

Теорема 3. Пусть функция f дифференцируема к раз на отрезке [x_i, x_i+k]. Тогда справедливо равенство

(38)

В котором - некоторая точка из интервала [x_i, x_i+k].

Замечание. При к=1 формула (38) совпадает с формулой конечных приращений Лагранжа .

Следствие. Для многочлена конечная разность порядка n является постоянной величиной, равной . Разности порядка к>n тождественно равны нулю.

Пусть функция f задана на таблице значений аргумента произвольными ( не обязательно постоянным) шагом, причём точки таблицы занумерованы в произвольном ( не обязательно возрастающем) порядке. Величины

Принято называть раздельными разностями первого порядка функции f. Раздельные разности второго порядка определяются формулой

Аналогично определяется разности третьего и более высоких порядков. Общее определение разделённой разности порядка таково:

Разделение разности обладают рядом замечательных свойств. Перечислим без доказательства некоторые из них.

1.Раздельная разность является симметричной функцией своих аргументов (т.е. её значение не меняется при любой их перестановке).

2. пусть функция f имеет на отрезке [a,b], содержащем точки производную порядка к. тогда справедливо равенство

(39)

Где - некоторая точка, расположенная на интервале (a,b).

3. В случае, когда таблица значений аргумента имеет постоянный шаг h, разделённая и конечная разности связаны равенством

(40)

Используя разделённые разности, интерполяционный многочлен можно записать в следующем виде:

(41)

здесь Записанный в таком виде интерполяционный многочлен называют интерполяционным многочленом Ньютона с раздельными разностями.

Замечание 1. Отметим очевидную (с учётом равенства (10)) аналогию между формулой Ньютона (41) и формулой Тейлора.

Замечание 2. Формулу (6) для погрешности интерполяции в точке х, не являющейся узловой, можно уточнить следующим образом:

(42)

В практическом плане формула (41) обладает рядом преимуществ перед формулой Лагранжа. Пусть, например, необходимо увеличить степень интерполяционного многочлена на единицу, добавив в таблицу ещё один узел . При использовании формулы Лагранжа это приводит не только к увеличению числа слагаемых, но и к необходимости вычислять каждое из них заново. В то же время для вычисления по формуле Ньютона достаточно добавить к лишь одно очередное слагаемое, так как

(43)

Заметим, что в случае, когда величина мала, а функция f достаточно гладкая, справедливо приближённое равенство

из которого с учётом равенств (42) и (43) следует, что

Таким образом, величину можно использовать для практической оценки погрешности интерполяции.

Пусть интерполируемая функция задана таблицей своих значений y_i (i=0,n) с постоянным шагом . В этом случае, используя формулу (40) связи между разделёнными и конечными разностями и вводя безразмерную переменную многочлен Ньютона (41) можно записать в следующем виде:

(44)

Многочлен (44) называется интерполяционным многочленом Ньютона с конечными разностями для интерполяции вперёд. Эта формула применяется когда значение х находится ближе к началу отрезка интерполирования.

Заметим. Что в формуле (44) используются только конечные разности, расположенные в верхней косой строке таблицы конечных разностей, записав многочлен в виде интерполяционного многочлена Ньютона с конечными разностями для интерполяции назад:

(45)

Здесь - безразмерная переменная. Формула (16) применяется, когда значение х находится ближе к концу отрезка интерполирования.

Примеры решения задач

Пример 1. Пусть задана таблица значений функции :

х	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4
у	0,000000	0,095310	0,182322	0,262364	0,3336472

Для приближённого вычисления значения ln(1.23) воспользуемся линейной и квадратичной интерполяцией.

Возьмём х₀=1,2 и х₁=1,3. Вычисление по формуле (43) даёт значение ln(1,23)=0,206335.

Для применения квадратичной интерполяции возьмём х₀=1,1, х₁=1,2, х₂=1,3 – три ближайших к точке х=1,23 узла. Вычисляя по формуле (44), имеем ln(1,23)=0,207066.

Пример 2. Оценим погрешность приближений к ln(1,23), полученных в примере 1 с помощью интерполяции многочленами первой и второй степени. В этих случаях неравенство (46) имеет вид

(46),(47)

Заметим, что для f(x)=ln(x) имеем и . Поэтому здесь

Тогда в силу неравенств (46) и (47) получаем следующие оценки погрешности:

Форма отчётности: устный опрос. Составление программ на ЭВМ в курсе лабораторных работ по математике.