Контрольные вопросы

1. В чем состоит суть метода Гаусса?

2. Какие преобразования системы производят на первом этапе (прямой ход метода Гаусса)?

3. Какие действия производят на втором этапе (обратный ход метода Гаусса)?

4. Что означает выбор главного (ведущего) элемента и зачем он выполняется?

5. Как находится определитель матрицы системы?

Содержание отчета

Отчет должен содержать постановку задачи; формулы, применяемые для решения задачи;

текст программы и результаты расчетов.

Лабораторная работа № 5 аппроксимация функции по методу наименьших квадратов

Задание. По данным значениям , вычислить коэффициенты аппроксимирующей функции , протабулировать ее, сопоставить ее значения с исходными данными и построить график.

Краткое описание метода

Очень часто, особенно при анализе эмпирических данных, возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между величинами х и у, которые получены в результате измерений. Как правило, общий вид этой функциональной зависимости известен, а некоторые числовые параметры закона неизвестны. В данной лабораторной работе заданную табличную функцию (число точек n=10) требуется аппроксимировать многочленом второй степени.

Согласно методу наименьших квадратов коэффициенты многочлена у(х) нужно выбрать такими, чтобы сумма квадратов отклонений d_i (рис. 6) многочлена от заданных значений функции была минимальной. Другими словами, коэффициенты а, b и с должны минимизировать функцию . В точке минимума функции F ее производные обращаются в нуль. Дифференцируя F и приравнивая нулю производные, получим так называемую нормальную систему:

,

где A₀=n=10, , , , , , , . Эта система хорошо обусловлена, и ее можно решать методом Гаусса без выбора главных элементов. Однако при степени многочлена порядка 5 и выше нормальная система становится плохо обусловленной и погрешности определения коэффициентов велики. Поэтому в настоящее время в серьезной вычислительной практике нормальная система, как правило, не используется.

Варианты исходных данных

	Значения x (для всех вариантов)
	1			2	3			4			5	6			7			8	9			10
	i		Значение функции полученные экспериментально
			Вари-ант 1				Вари-ант 2			Вари-ант 3				Вари-ант 4			Вари-ант 5				Вари-ант 6
	1		9,987				2,707			7,408				7,274			2,076				8,688
	2		9,529				1,672			7,862				4,762			3,716				7,103
	3		9,957				2,100			8,845				4,262			5,642				6,190
	4		9,358				2,072			8,617				2,999			6,356				4,912
	5		8,884				2,741			9,228				3,012			7,788				4,902
	6		7,473				3,045			7,888				2,986			7,996				4,010
	7		6,839				4,696			7,439				4,275			8,863				4,017
	8		4,706				5,420			5,749				5,211			8,560				3,992
	9		3,061				7,204			4,289				7,314			9,303				4,649
	10		0,664				8,787			1,456				8,896			8,043				4,843
i		Значение функции полученные экспериментально
		Вари-ант 7				Вари-ант 8			Вари-ант 9				Вари-ант 10			Вари-ант 11				Вари-ант 12
1		5,208				6,930			10,640				3,281			7,258				7,022
2		6,462				4,912			10,440				2,507			7,912				5,034
3		8,245				4,143			10,950				3,024			9,095				4,551
4		8,817				2,769			10,160				2,804			9,067				3,545
5		10,230				2,998			9,612				3,398			9,878				3,568
6		9,688				1,770			8,727				4,227			8,738				4,039
7		10,040				2,353			7,635				5,420			8,489				5,090
8		9,149				1,916			6,127				6,770			6,999				6,511
9		8,489				2,562			4,643				8,614			5,739				8,641
10		6,459				2,854			2,334				10,410			3,109				10,930

Схема алгоритма метода.

Алгоритм программы

Описание переменных m, y, a, b, c, y1, d, y2, i, j, k, dr, reg, mx, my, s;

Начало исполняемой части программы

задание экспериментальных значений ;

в цикле по i от 1 до 3 в цикле по j от 1 до 4 выполнять обнуление элементов матрицы нормальной системы m(i,j)=0;

начало цикла по i от 1 до 10









конец цикла по i

= 0; начало цикла по / от 1 до 10 | w(U) = m(l,l) + /⁴; w(l,2)==w(l,2) + /³;

в цикле no i от 1 до 3 в цикле по j от 1 до 3 если то в цикле по k от i+1 до 4 выполнять

вывод на экран значений а, b, с;

начало цикла по i от 1 до 10

 I I

| вывод на экран значений i, y_i, у1, d

конец цикла по i;

ожидание нажатия клавиши «Enter»;

переход в графический режим 640480;

задание масштаба тх = 50 ; ту = 40;

линия от (10,460) до (630,460);

линия от (630,460) до (622,463);

линия от (630,460) до (622,457);

центровка текста по горизонтали и вертикали;

вывод буквы х в позицию (630,467);

начало цикла по i от 1 до 10

| линия от (50 + i*mx,460) до (50+i*mх,457 );

| преобразование значения i в строку s;

| вывод s в позицию (50 +i*mх, 467 );

| вывод окружности радиусом 3

|и центром (50 +i*тх, 460 – round(y_t*ту))

конец цикла по i;

начало цикла по i от 50 до 499

|

|

| линия от

| до

конец цикла по i; ожидание нажатия на любую клавишу

конец программы.

Контрольные вопросы

1. Для чего нужна аппроксимирующая функция?

2. В чем заключается метод наименьших квадратов?

3. Как получается нормальная система?

4. Каким методом можно решить нормальную систему?

5. Как графически проверить правильность расчета коэффициентов аппроксимирующей функции?

Содержание отчета.

Отчет должен содержать исходные данные, постановку задачи, сведения о методе решения, текст программы, полученные результаты и график.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Задание. Найти частное решение дифференциального

Уравнения , удовлетворяющее условию на отрезке [a,b] с точностью ; построить график функции y(x) на отрезке [a,b].

Краткое описание методов

В этой лабораторной работе решение дифференциального уравнения проводится одновременно тремя методами: методом Эйлера, модифицированным методом Эйлера и методом Рунге-Кутта. Вычисления будут закончены, когда требуемая точность будет достигнута по одному из трех методов в конце отрезка x=b. Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближенных значений решения уравнения в точках Чаще всего где n- число разбиений, - шаг. В методе Эйлера величины вычисляются по формуле

Этот метод относится к группе одношаговых методов, в которых для расчета точки требуется информация только о последней вычисленной точке . Геометрическая интерпретация одного шага метода Эйлера заключается в аппроксимации решения на отрезке касательной , проведенной в точке к интегральной кривой, проходящей через эту точку (рис.7). А так как . Таким образом, после выполнения N шагов неизвестная интегральная кривая заменяется ломаной линией (.ломаной Эйлера), для которой угловой коэффициент очередного i -го звена Для оценки погрешности метода на одном шаге точное решение раскладывается в ряд Тейлора в окрестности узла . Сравнение этого разложения с формулой (6.1) показывает, что они согласуются до членов первого порядка по h. Поэтому метод Эйлера - метод первого порядка точности. В модифицированном методе Эйлера вычисления разбивают на два этапа. На первом этапе (этапе прогноза) в соответствии с методом Эйлера вычисляют грубое приближение . В точке определяют угловой коэффициент . На втором этапе вычисляют усредненное значение углового коэффициента . Уточненное значение находят по формуле . Этот метод имеет второй порядок точности. Методом Рунге-Кутта обычно называют одношаговый четырехэтапный метод четвертого порядка точности:

Этот метод весьма прост и, как показывает практика, довольно эффективен в обычных расчетах, когда отрезок [a,b] не очень велик и нужна сравнительно невысокая точность.

Варианты исходных данных

Варианты	Уравнения	a	b
1, 13		1,9	2,9	2,6
2, 14		1.6	2,6	0,8
3, 15		0,6	1,6	0,6
4, 16		0,5	1,5	5,3
5, 17		1,7	2,7	2,2
6, 18		1,4	2,4	2,5
7, 19		1,4	2,4	2,5
8, 20		0,8	1,8	1,4
9, 21		1,2	2,2	2,1
10, 22		2,1	3,1	2,5
11, 23		1,8	2,8	2,6
12, 24		1,3	2,3	3,1

Схема алгоритма метода