4.3 Оптимизация частотных характеристик гребенок фильтров

Появление гребенок цифровых фильтров с линейной ФЧХ [  ] создало условия для разработки программно – управляемых устройств с изменяемой АЧХ, находящих применение при построении адаптивных приемников широкополосного сигнала, когда необходимо, в зависимости от конкретного распределения сигналов и помех на частотно – временной плоскости, изменять АЧХ приемника.

Структурная схема описываемого режекторного фильтра (РФ) выбиралась с учетом обеспечения максимального динамического диапазона входных сигналов, технологичности и высокой повторяемости параметров отдельных фильтров, максимальной глубины провалов на АЧХ при отключении отдельных фильтров.

Для обеспечения требований технического задания в качестве базового элемента необходимо взять НЦФ с точно линейной ФЧХ, обладающий низким уровнем боковых лепестков АЧХ, высоким уровнем режекции при отключении одного или нескольких каналов, малой неравномерностью АЧХ и линейной ФЧХ.

Структурная схема режекторного фильтра приведена на рис. 4.5. Нормированная АЧХ режекторного фильтра описывается выражением

(4.16)

где В_i – коэффициент, принимающий значение 0 или 1 в зависимости от сигналов управления; K – число параллельных каналов.

Рис. 4.5 Структура режекторного фильтра

На рис. 4.6 показаны АЧХ отдельных фильтров гребенки, а на рис 4.7 результирующая АЧХ гребенки.

Гребенка НЦФ легко реализуется на микропроцессорах и может использоваться для построения адаптивных режекторных, полосовых, следящих и других фильтров, используемых в трактах обработки радиосигналов.

5. Цифровые ких-фильтры с дискретными, целочисленными и булевыми коэффициентами передаточных функций

5.1. Однородные ких-фильтры

Активное использование в последнее время серийных программируемых логических интегральных схем (ПЛИС) и цифровых процессоров обработки сигналов (ЦПОС) способствует широкому применению методов цифровой фильтрации сигналов. Возможности использования этих методов в системах, работающих в реальном масштабе времени, частот определяются быстродействием и простотой конструктивного выполнения цифровых фильтров (ЦФ).

В настоящее время большое число разработчиков выбирают в качестве средства реализации алгоритмов ЦПОС общего назначения. В этом есть определенный резон, связанный с тем, что ЦПОС достаточно распространены и доступны на рынке, имеют привлекательные цены. Главным преимуществом систем обработки сигналов на ЦПОС является гибкость системы, возможность реализации адаптивных и обучающихся алгоритмов. Кроме того, отладочные средства начального уровня недороги, достаточна информационная поддержка, выпущена литература на русском языке по их применению.

При выборе в качестве элементной базы для реализации цифровых фильтров серийных программируемых логических интегральных схем, особо важным при проектировании фильтров становится критерий реализационных затрат. Здесь необходимо отметить, что для реализации операций умножения на ПЛИС требуются наибольшие затраты времени и оборудования. Ведь реализация умножения для операндов небольшой разрядности требует использования не менее двенадцати вентилей. А при дальнейшем наращивании разрядности требуемое число вентилей значительно увеличивается, одновременно увеличивается критический путь распространения сигнала переноса, соответственно ограничивается быстродействие, и реализация умножителя становится нерациональной. Также следует отметить существенное увеличение площади кристалла, необходимой для выполнения требуемой операции умножения.

В связи с этим более рациональным и экономически обоснованным подходом к решению данной проблемы является полный или частичный отказ от операций умножения в цифровых фильтрах, замена их операциями сдвига. Известны и широко используются различные варианты цифровых КИХ-фильтров без умножителей. Рассмотрим более подробно некоторые из них.

Пусть требуется рассчитать фильтр с точно линейной ФЧХ. АЧХ фильтра должна удовлетворять требованию при условии минимума величины

. (5.1)

Требование означает, что фильтр пропускает без подавления постоянную составляющую (нулевую частоту) и, следовательно, с малым подавлением близкие к нулевой частоте низкие частоты. Условие (5.1) соответствует максимальному подавлению стационарного шума, поданного на вход фильтра.

Решим сформулированную задачу для КИХ-фильтра порядка N. С учётом нормировки частоты можно записать

(5.2)

и

. (5.3)

Из (5.1) - (5.3) следует, что требование (5.1) и условие (5.2) можно заменить следующей эквивалентной задачей: коэффициенты нужно рассчитать так, чтобы величина

(5.4)

была минимальна при условии, что

. (5.5)

Эта задача решается методом множителей Лагранжа, причем решение имеет вид

. (5.6)

КИХ-фильтр с передаточной функцией (1.4) и коэффициентами (5.6) называется однородным фильтром. Существуют две формы реализации однородного фильтра: нерекурсивная форма (рис. 5.1), которой соответствуют передаточная функция

(5.7)

и разностное уравнение

, (5.8)

и рекурсивная форма (рис. 5.2), которой соответствуют передаточная функция

(5.9)

и разностное уравнение

. (5.10)

x(nT) x((n-1)T) x((n-N+1)T)

Z^-1

Z^-1

Z^-1

y(nT)

1/N

Рис. 5.1. Нерекурсивная схема реализации однородного КИХ-фильтра

Рис. 5.2. Рекурсивная схема реализации однородного КИХ-фильтра

Очевидно, что передаточные функции (5.7) и (5.9) эквивалентны друг другу при любом значении z. Но, как можно заметить из выражения для передаточной функции рекурсивной реализации однородного фильтра, полюсы этой функции будут находиться непосредственно на единичной окружности на z-плоскости, то есть фильтр будет обладать очень малым запасом устойчивости. Это может привести к возникновению предельных циклов, так называемому «звону» фильтра, и в конечном итоге к его полной неработоспособности.

Если в (5.8) и (5.10) принято , то при реализации однородного фильтра не требуется выполнять операции умножения, поскольку умножение на сводится к p сдвигам на один разряд кода множимого.

Амплитудно-частотная характеристика однородного фильтра N-го порядка описывается формулой

. (5.11)

При проектировании КИХ-фильтров без операций умножения с точной линейной ФЧХ используется метод наименьших квадратов, согласно которому для КИХ-фильтра с точно линейной ФЧХ при нечётном N можно согласно (5.7) получить

(5.12)

где

.

Метод наименьших квадратов позволяет рассчитать коэффициенты передаточной функции КИХ-фильтра с точно линейной ФЧХ по заданным требованиям к его АЧХ. В соответствии с этим методом при вспомогательные коэффициенты определяются из условия минимума целевой функции

, (5.13)

где функция удовлетворяет заданным условиям, функция определена в (5.12), - вектор коэффициентов , - весовая функция.

Весовая функция позволяет регулировать точность аппроксимации. Для тех интервалов частот, где значения весовой функции велики, точность аппроксимации оказывается выше, чем для тех интервалов частот, где значения весовой функции относительно малы. Более высокая точность аппроксимации соответствует «в среднем» большей близости друг к другу аппроксимируемой функции и аппроксимирующей функции и тем самым большей близости функции и АЧХ проектируемого фильтра .

Необходимые и достаточные условия минимума целевой функции (5.13) имеют вид

, (5.14)

и представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов

, (5.15)

где

.

Решив систему (5.15) и определив коэффициенты , можно рассчитать коэффициенты передаточной функции . Из (5.12) следуют соответствующие расчётные формулы:

. (5.16)