Задачи контрольных работ задача к1

Точка М движется в плоскости xy. Движение точки задано уравнениями , (табл. 1.1), где x, y выражены в см, t – в секундах.

Найти координатную форму уравнения траектории; для момента времени с определить скорость и ускорение точки, касательное и нормальное ускорение и радиус кривизны в соответствующей точке траектории. Построить в выбранном масштабе траекторию, указать на ней точку М при c, вектор скорости и ускорения.

Указания. Задача К1 относится к разделу «Кинематика точки» [1, §§36-43], [2, §§62-76].

Пример К1

Точка движется по заданным уравнениям

, . (1.1)

При найти скорость, ускорение и радиус кривизны траектории. Построить траекторию при _, ( , - см, время – в секундах).

Решение

1. Траектория. Есть два способа нахождения траектории движения точки. Первый – это проследить все движение, отмечая последовательные положения точки в координатах , . Соединяя полученные точки плавной кривой, получим траекторию. Такое построение является приближенным. Чтобы кривая была ближе к истинной, необходимо брать число точек побольше. В нашем случае ограничимся 9 последовательными положениями, включая в их число и расчетное время . Для наглядного представления о движении точки желательно использовать равноотстоящие по времени положения. Составим табл. 1.

Таблица 1

№	t	x	y
1	0	0	2,000
2	0,05	0,299	1,961
3	0,1	0,596	1,842
4	0,15	0,886	1,651
5	0,2	1,186	1,393
6	0,26 (π/12)	1,500	1,000
7	0,3	1,694	0,725
8	0,35	1,933	0,340
9	0,4	2,152	-0,058

По форме траектория похожа на параболу. В том, что это действительно квадратная парабола, убедимся, построив траекторию вторым способом. Найдем координатную форму уравнения движения точки, исключив из закона движения (1.1) время :

. (1.2)

Построить график функции не составляет труда (рис. 1.1).

Для того, чтобы окончательно получить ответ на вопрос о траектории, необходимо еще выделить область определения функции (1.2). Не все точки кривой, определяемой этой функцией, являются точками траектории. Из уравнения при имеем

. (1.3)

Уравнение (1.2) при условии (1.3) описывает траекторию движения точки в координатной форме. Параметрическим представлением траектории являются сами уравнения движения (1.1).

2. Скорость. Проекции скорости точки на оси х, у найдем, дифференцируя (1.1) по времени:

, . (1.4)

При имеем численные значения компонент скорости

(см/с),

(см/c).

Рис. 1.1

Модуль скорости

(см/c). (1.5)

Вектор скорости строится в масштабе по компонентам и . Если в вычислениях нет ошибок, то вектор скорости будет направлен по касательной к траектории.

3. Ускорение. Найдем сначала ускорение в декартовых координатах. Дифференцируя (1.4) по времени, найдем проекции вектора ускорения на оси координат:

,

.

При

(см/с²),

(см/с²).

Модуль ускорения

(см/с²).

Вектор ускорения строим на чертеже в своем масштабе (не обязательно совпадающем с масштабом скоростей). Направление вектора ускорения – внутрь вогнутости кривой.

4. Радиус кривизны. Наличие касательного ускорения точки видно уже из рис.1.1. Расстояние между первыми двумя точками меньше, чем между двумя последними, хотя интервал времени одинаков. Характеристикой такого изменения является величина . Кроме того, точка движется по кривой, следовательно, вектор скорости меняется и по направлению. Это изменение описывает нормальное ускорение . Чем круче траектория (меньше ), тем сильнее меняется направление вектора скорости и больше .

Найдем касательное ускорение. Дифференцируя скорость как сложную функцию времени, получим

. (1.6)

Таким образом, , определяемое по (1.6), является алгебраическим значением касательного ускорения, или модулем касательного ускорения со знаком, выбранным по условному правилу. Здесь правило знаков получается естественно: если скорость и касательное ускорение направлены в одну сторону, то , а если в разные, то .

Вычислим:

(см/с²).

Найдем нормальное ускорение:

(см/с²).

Найдем радиус кривизны:

(см).

Центр кривизны траектории лежит на нормали к касательной на расстоянии см внутри вогнутости кривой. Окружность радиуса с центром в этой точке максимально близко совпадет с кривой в малой окрестности от нее.

5. Проверка решения. Получив значения скорости, ускорения и изобразив их на рис.1.1, остальные кинематические величины можно найти графически для проверки сделанных вычислений. Таких величин всего две - и . Раскладывая по направлению касательной (это направление уже задано вектором скорости) и на нормаль к ней, найдем приближенные и .

6. Для решения задачи К1 весьма эффективны математические пакеты для ЭВМ Mathematica, Maple, MATLAB и др.. В прил. на с. 29 приведено выполнение задания в системе Mathematica 5.1. Строки, написанные внутри скобок (* *), прокомментированы на русском языке. Для решения другой задачи достаточно отредактировать строки, содержащие закон движения и время.

Таблица 1.1

Предпоследняя цифра шифра		Последняя цифра шифра
0		0
1		1
2		2
3		3
4		4
5		5
6		6
7		7
8		8
9		9