- •1.1. Понятие определителя
- •Пусть дана матрица
- •1.2. Основные свойства определителя
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.1. Определения
- •2.2. Решение систем линейных уравнений
- •2.3. Однородные системы
- •2.4. Действия над матрицами
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.1. Вычисление ранга матрицы
- •Матрица (3.1) имеет ступенчатый вид, где embed Equation.3 , * - некоторые числа.
- •3.2. Вычисление обратной матрицы
- •3.3. Матричная форма системы уравнений.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.1. Понятие вектора
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6.1. Проекции вектора на ось. Свойства проекций
- •6.2. Декартова прямоугольная система координат
- •6.3. Действия над векторами в координатах.
- •6.4. Координаты вектора
- •6.5. Условие коллинеарности векторов в координатной форме.
- •6.6. Деление отрезка в данном отношении.
- •6.7. Разложение вектора по базису
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Алгебраические свойства скалярного произведения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Пример 8.1. Упростить выражение
- •Находим площадь треугольника
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для самопроверки
- •10.1. Общее уравнение плоскости.
- •10.2. Нормальное уравнение плоскости.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •11.1. Уравнение плоскости в отрезках.
- •11.2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •11.3. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •Задачи для самостоятельного решения
- •12.1. Общее и канонические уравнения прямой в пространстве.
- •12.2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
- •12.3. Параметрические уравнения прямой.
- •12.4.Угол между прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •13.1. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости.
- •13.2. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
- •13.3. Условие принадлежности прямой к плоскости. Пересечение прямой и плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.1. Общее уравнение прямой.
- •14.2. Каноническое уравнение прямой.
- •14.3. Параметрические уравнения прямой.
- •14.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •14.5. Угол между двумя прямыми.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •15.2. Эллипс.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •16 1. Гипербола.
- •16.2. Парабола.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Типовые расчеты
- •Правила выполнения и оформления типовых расчетов
- •1 . Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений
- •2. Векторная алгебра
- •Аналитическая геометрия
- •4. Аналитическая геометрия на плоскости
- •2.15. Через точку м (2,-1) провести прямую, параллельную прямой embed Equation.3
- •5. Кривые второго порядка
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
16 1. Гипербола.
Гиперболой называется геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (её обозначают через 2а), причем эта постоянная меньше расстояния между фокусами. Поместив фокусы гиперболы в точках F1(с; 0) и F2(-с;0), получаем уравнение гиперболы в виде EMBED Equation.3 ,
г де b2=c2-a2;
это простейшее (каноническое) уравнение гиперболы. Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично относительно осей координат. Точки А1(а;0) и А2(-а;0) называются вершинами гиперболы.
Отрезок А1А2=2а называют вещественной осью гиперболы, а отрезок В1В2=2b – мнимой осью (рис. 15).
Прямая называется асимптотой гиперболы, если расстояние точки гиперболы М (х;у) от этой прямой стремится к нулю при х→+∞ или х→-∞. Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых EMBED Equation.3 .Для построения асимптот гиперболы строят осевой прямоугольник гиперболы со сторонами х=а,
х = - а, у=b, у=-b. Прямые, проходящие через противоположные вершины этого прямоугольника, являются асимптотами гиперболы. На чертеже указано взаимное расположение гиперболы и ее асимптот. Отношение ε EMBED Equation.3 называется эксцентриситетом гиперболы.
Если а=b, то уравнение гиперболы принимает вид
х2- у2 = a2.
Такая гипербола называется равнобочной.
Уравнение
EMBED Equation.3 (или EMBED Equation.3 )
также является уравнением гиперболы, но вещественной осью этой гиперболы служит отрезок оси Оу длины 2b.
Две гиперболы EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 имеют одни и те же полуоси и одни и те же асимптоты; но вещественная ось одной служит мнимой осью другой, и наоборот. Такие две гиперболы называются сопряженными.
Пример 16.1. Эксцентриситет гиперболы равен EMBED Equation.3 . Составить простейшее уравнение гиперболы, проходящей через точку М( EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ).
Решение. По определению эксцентриситета можем написать равенство EMBED Equation.3 , или с2=2а2. Но с2 = а2+ b2, следовательно, а2 + b2 = 2а2, или а2= b2, т. е. гипербола равнобочная.
Д
Таким образом, уравнение искомой гиперболы имеет вид х2- у2=1.
16.2. Парабола.
Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Если директрисой параболы EMBED Equation.3 является прямая EMBED Equation.3 , а фокусом - точка EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ,0), то уравнение параболы имеет вид
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . (16.1)
Эта парабола расположена симметрично относительно оси абсцисс (рис.6, где р EMBED Equation.3 0).
Уравнение EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 (16.2) EMBED Equation.3
является уравнение параболы, симметричной относительно оси ординат. При p>0 параболы (16.1) и (16.2) обращены в положительную сторону соответствующей оси, а при p<0 - в отрицательную сторону. Длина фокального радиуса-вектора параболы EMBED Equation.3 определяется по формуле EMBED Equation.3 .
Пример 16.2. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси EMBED Equation.3 , с вершиной в начале координат, если длина некоторой хорды этой параболы, перпендикулярной к оси Ох, равны 16, а расстояние этой хорды от вершины равно 6.
Решение. Поскольку известны длина хорды и расстояние ее от вершины, то, следовательно , известны координаты конца этой хорды-точки М, лежащей на параболе. Уравнение параболы имеет вид EMBED Equation.3 ; пологая в нем EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , находим EMBED Equation.3 ,откуда EMBED Equation.3 .
Таким образом, уравнение искомой параболы EMBED Equation.3 .
Пример 16.3. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Оу и отсекающей на биссектрисе EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 координатных углов хорду длиной EMBED Equation.3 .
Решение. Искомое уравнение параболы EMBED Equation.3 , уравнение биссектрисы EMBED Equation.3 . Следовательно, точками пересечения параболы с биссектрисой будут О(0;0) и М(2р;2p).
Длина хорды определяется как расстояние между двумя точками EMBED Equation.3 откуда EMBED Equation.3 .Следовательно , уравнение искомой параболы имеет вид EMBED Equation.3 .