Раздел III. Введение в математический анализ

1. Понятие функции, её область определения и область значений. График функции. Способы задания функции: а) аналитический (явный, неявный, параметрический); б) табличный; в) графический.

2. Понятие сложной функция.

3. Понятие обратной функции, условие ее существования.

4. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

5. Предел переменной величины. Понятие о пределе функции в точке .

6. Основные свойства пределов: предел суммы, произведения и частного переменных величин, имеющих пределы.

7. Понятие неопределенности. Раскрытие неопределенности типа или для рациональной дроби.

8. Первый замечательный предел и его следствия.

9. Второй замечательный предел и его следствия.

10. Определение непрерывности функции в точке, свойства непрерывных функций.

11. Определение непрерывности на языке односторонних пределов. Точки разрыва и их классификация.

12. Определение непрерывности функции на интервале и на отрезке. Свойства непрерывных на отрезке функций.

Литература: [2, гл I, II ]; [3, гл. IV]; [5, гл. V].

Вопросы программы к контрольной №2

Раздел IV. Дифференциальное исчисление функции одной переменной и его применение

1. Определение производной функции в точке, ее геометрический и физический смысл.

2. Правила дифференцирования: производная суммы и разности функций; производная произведения функций; производная частного функций; производная произведения функции на число; правило нахождения производной сложной функции.

3. Таблица производных основных элементарных функций.

4. Производные высших порядков.

5. Уравнение касательной и нормали к графику кривой на плоскости в заданной точке.

6. Дифференциал функции в точке, его геометрический смысл и связь с приращением функции. Формула вычисления дифференциала функции через ее производную и дифференциал (приращение) аргумента. Символическая запись производной в виде отношения дифференциалов. Применение дифференциала для приближенного вычисления значений функции.

7. Формула Лагранжа (формула конечных приращений).

8. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей типа и .

9. Возрастание и убывание функции на интервале, связь со знаком первой производной.

10. Точки максимума и минимума (точки экстремума). Необходимое и достаточное условия экстремума функции. Критические точки функции.

11. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции.

12. Выпуклость и вогнутость графика функции, связь со знаком второй производной. Точки перегиба, их необходимое и достаточное условия.

13. Понятие асимптоты графика функции. Вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты, их нахождение.

14. Общая схема полного исследования функции, заданной в явном виде.

Литература: [2, гл. V]; [3, гл. VII].

Контрольная работа №1

Задача 1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса и методом Крамера.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20.

Задача 2. Даны три точки А, В и С найти: координаты векторов , , , и построить их на координатной плоскости.

1.	А(4;-3),	В(2;4),	С(-1;2);		11.	А(-6;2),	В(2;3),	С(1;-4);
2.	А(-3;-2),	В(5;1),	С(1;-4);		12.	А(-3;-4),	В(-1;3),	С(4;1);
3.	А(1;5),	В(-3;2),	С(1;3);		13.	А(-1;-3),	В(-6;2),	С(2;3);
4.	А(-3;-2),	В(-1;4),	С(4;2);		14.	А(5;3),	В(-4;2),	С(3;-4);
5.	А(-5;1),	В(-1;2),	С(-3;-2);		15.	А(4;-3),	В(-3;-4),	С(-1;4);
6.	А(1;-4),	В(5;-1),	С(-2;3);		16.	А(-4;-4),	В(3;3),	С(5;-2);
7.	А(1;-2),	В(4;1),	С(0;4);		17.	А(-6;-1),	В(5;2),	С(-1;1);
8.	А(-1;-4),	В(4;1),	С(-1;2);		18.	А(-1;-5),	В(1;-3),	С(-2;6);
9.	А(-3;2),	В(2;3),	С(-1;-4);		19.	А(-4;1),	В(4;-1),	С(1;-2);
10.	А(-1;3),	В(4;1),	С(0;-3);		20.	А(-1;5),	В(6;1),	С(1;-1);

Задача 3. Даны координаты вершин пирамиды . Требуется найти:

а) скалярное произведение ; б) длины сторон и ; в) угол между этими сторонами; г) площадь грани ; д) объем пирамиды ABCD .

1. А (1, 1, 1), В (6, 3, 1), С (3, 6, 1), D (2, 3, 5).

2. А (2, -­1, 1), В (0, 2, 1), С (0, -1, 5), D (2, 2, 9).

3. А (1, 2, -2), В (2, 1, 1), С (-1, 4, -1), D (4, 0, 3).

4. А (1, 3, 2), В (3, 2, 2), С (1, 4, 2), D (1, 3, 5).

5. А (2, 2, 1), В (3, 5, 4), С (1, 6, 0), D (1, 4, 7).

6. А (4, 1, 1), В (3, 4, 2), С (4, 6, 1), D (3, 3, 7).

7. А (0, 2, 1), В (3, 4, 2), С (3, 5, 1), D (1, 2, 6).

8. А (2, 1, 0), В (1, 3, 2), С (3, 4, 1), D (2, 3, 7).

9. А (2, -2, 0), В (3, 3, 1), С (0, 4, 2), D (1, 3, 6).

10. А (-1, 3, 2), В (1, 2, 2), С (1, 9, 1), D (1, 5, 10).

11. А (1, 5, 10), В (-1, 3, -6), С (2, 3, 7), D (1, 2, 6).

12. А (1, 1, 1), В (2, -1,1), С (1, 2, -2), D (2, 7, 5).

13. A (1, 3, 2), B (2, 2, 1), C (4, 1, 1), D (2, 2, 9).

14. A (2, 1, 0), B (2, -2, 0), C (-1, 3, 2), D (4, 0, 3).

15. A (6, 7, 1), B (0, 2, 1), C (2, 1, 1), D (1, 3, 5).

16. A (3, 2, 2), B (3, 5, 4), C (3, 4, 2), D (1, 4, 7).

17. A (1, 3, 2), B (3, 3, 1), C (1, 8, 2), D (7, 3, 7).

18. A (3, 6, 1), B (0, -1, 5), C (1, 4, 2), D (1, 3, 6).

19. A (1, 6, 0), B (3, 5, 1), C (3, 6, 1), D (2, 3, 7).

20. A (3, 4, 1), B (0, 4, 2), C (1, 9, 1), D (1, 5, 10).

Задача 4. Даны координаты вершин треугольника ABC (см. задание 2). Выполнить задания: a) написать уравнения прямых АВ и АС; б) вычислить угол между этими прямыми через их угловые коэффициенты; в) написать уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС; г) найти длину высоты треугольника, опущенный из вершины В.

Задача 5. Дано уравнение кривой в полярной системе координат. Требуется: а) построить в полярной системе координат точки этой кривой, давая углу значения в № 1 – 10 и давая углу в № 11 – 20;

б) перейдя к уравнению той же кривой в декартовой системе координат, показать, что это уравнение кривой второго порядка;

в) приводя это уравнение к каноническому виду, назвать кривую и нарисовать ее на координатной плоскости XOY.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. . 11. . 12. .

13. . 14. . 15. .

16. . 17. . 18. .

19. . 20. .