- •Методические указания
- •Методические указания
- •1. Разделы дисциплины и виды занятий (тематический план)
- •2. Содержание разделов дисциплины
- •Раздел 1. Теория вероятностей (12 часов).
- •Раздел 2. Элементы математической статистики (6 часов).
- •Раздел 3. Интегральные преобразования Фурье (4 часа).
- •Раздел 4. Уравнения математической физики (дополнительные главы) (6 часов).
- •Раздел 5. Вариационное исчисление и оптимальное управление (4 часов).
- •Раздел 6. Введение в дискретную математику.
- •4. Методические рекомендации по
- •5. Рекомендуемый перечень тем практических занятий
- •6. Календарный план чтения лекций
- •Стационарные случайные процессы
- •Марковские случайные процессы
- •Процесс Пуассона
- •Случайные процессы с независимыми приращениями
- •Тема 2 Понятие нелинейной регрессии
- •Контрольные вопросы и задания
- •Задачи и упражнения для самостоятельной работ
- •Тема 3 Статистическая проверка статистических гипотез
- •Тема 4 Решение неоднородных уравнений с частными производными гиперболического типа методом Фурье
- •Тема 5 Основы вычислительного эксперимента
- •Контрольные вопросы и задания
- •9. Обработка и интерпретация результатов.
- •Тема 7 Постановка задачи оптимального управления. Формулировка необходимого условия оптимального управления в форме принципа максимума Понтрягина
- •Заключение
- •Библиографический список
- •394026 Воронеж, Московский просп.,14
Контрольные вопросы и задания
Дать определение нелинейной регресиии.
Как на практике проводят нелинейный множественный регрессионный анализ?
Запишите доверительный интервал для коэффициентов регрессии.
Пример решения задачи
Рассмотрим модель В этом случае
Оценки коэффициентов модели ищем по формулам:
Вычисляем обратную матрицу:
По формуле находим оценку коэффициента:
Таким образом уравнение регрессии принимает вид
.
Для сравнения моделей вычисляем остаточную дисперсию по формуле:
Переходим в уравнении регрессии к исходным переменным:
Откуда окончательно получаем
Задачи и упражнения для самостоятельной работ
Решить задачи: [2]. 536, 538.
Форма контроля: устный опрос.
Тема 3 Статистическая проверка статистических гипотез
[1] с. 281-346 .Контрольные вопросы и задания
1. Рассказать о критериях Бартлети, Кочрена, Кендалла, Пирсона.
2. В чем заключается метод графической проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности? Что вы знаете о методе спрямленных диаграмм?
Пример. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о распределении генеральной совокупности Х по закону Пуассону с эмпирическим распределением выборки объема n =2 00.
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
ni |
116 |
56 |
22 |
4 |
2 |
Решение.
Выборочная средняя xв=( xi ni )/n=0.6. Предполагаемый закон Пуассона имеет вид: Pn(i)=(0.6)i exp(-0.6)/i!, т. е. P0=P200(0)=0.5488, P1=P200(1)=0.3293, P2=P200(2)=0.0988, P3=P(3)=0.0198, P4=P200(4)=0.0030. Теоретические частоты mi=nPi=200Pi. Определим m0=109.76, m1=65.86, m2=19.76, m3=3.96, m4=0.6. Малочисленные частоты m3, m4 можно объединить в новые n3=4+2=6 и m3=3.96+0.6=4.56.
Теоретическая частота 2 = (ni-mi)2 /mi=2.54. По таблице критических точек распределения (см. приложение 5 [4]), по уровню значимости =0.05 и числу степеней свободы k=s-2=2 находим критическую точку правосторонней критической области кр2 (0.05,2)=6.0. Так как 2 < кр2, то имеется подтверждение гипотезы о распределение случайной величины X по закону Пуассону.
Форма контроля: устный опрос, типовой расчет.
Тема 4 Решение неоднородных уравнений с частными производными гиперболического типа методом Фурье
[3] с. 119-126, 136-137.
Пример. Решить неоднородное уравнение гиперболического типа
при однородных краевых условиях
и нулевых начальных условиях
Задача описывает вынужденные колебания однородной
струны, закрепленной на концах, под действием внешней
возмущающей силы . Применяя метод Фурье
разделения переменных, полагаем для
решения соответствующего однородного уравнения
при начальных условиях. Подставив это уравнение,
получаем равенство
Возможное лишь в случае, если обе части его не зависят ни от x, ни от t, т.е. представляет собой одну и ту же постоянную. Обозначим эту постоянную через с: Используем краевые условия: Таким образом, приходим к задаче Штурма-Лиувилля: найти такие значения параметра с, при которых существуют нетривиальные (т.е. отмеченные от тождественного нуля) решения уравнения, удовлетворяющие краевым условиям
При в общем решение уравнения, согласно краевым
условиям, с1=0, с2=0 и решение задачи (*) становятся
– случаи не интересны. При с>0, с=-λ2: общее решение вида: X(x)=c1 cosλx + c2 sinλx, X(x)=-c1 λsinλx+c2λcosλx.
X(0)=c11+c20=c1=0, X’(l)=c2λcosλl=0, считаем.
Поэтому cosλl=0. Находим ее собственные значения
и соответствующие им собственные функции Xk(x)=inλkx, k=0,1,2,…,определяемые с точностью до постоянного множителя, который мы полагаем равным единице.
Следовательно, лишь при с=-λ2к, к=0,1,2,…, имеем
нетривиальные решения задачи (*). Теперь решение задачи ищем в виде Фурье
, где ,
Подставляя в основное уравнение , получаем
Для нахождения функций разложим функцию 1 в ряд
Фурье по синусам на интервале (0,1):
, Так как
то получаем уравнение
Общее решение которого, имеет вид
Значения неопределенных коэффициентов: А= , В=0. И
Окончательно:
.
Форма контроля: устный опрос.