Занятия № 4-6

УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Литература: [4], c. 24-28, 448-488;

Контрольные вопросы и задания

1. Вывести уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле.

2. Найти решение задачи теплопроводности бесконечного и полуограниченного стержня.

3. Как решается задача теплопроводности в бесконечном цилиндре.

4. Как решается задача неоднородных уравнений параболического типа ?

5. Решение задачи теплопроводности в конечном

cтержне.

6. Решение задачи теплопроводности в однородном

шаре.

7. Можно ли применять функцию Грина для уравнений параболического типа?

Примеры решения задач

Пример 3. Решить неоднородное уравнение параболического типа 0<x<1, t>0.

При начальных условиях и однородных краевых условиях

Применяя метод Фурье разделения переменных, полагаем для решения соответствующего однородного уравнения при наших краевых условиях .

Приходим к задаче Штурма-Лиувилля X’’(x)+λ²X(x)=0, X’’(0)=0, X(1)=0. Находим собственные значения λ_{k ,} k=0,1,2,…и соответствующие им собственные функции X_k(x)=cos λ_kx. Решение задачи ищем в виде

, где .

Подставляя в основное уравнение, получим

Для нахождения функции разложим функцию 1-х в ряд Фурье по косинусам на интервале (0,1):

Так как то получаем

при условии .

Решая задачу Коши, находим ее решение

Подставляя функцию в формулу для u(x,t), находим искомое решение задачи :

, где λ_{k .}

В данной задаче рассматривается ограниченный стержень длины l=1 и решается уравнение теплопроводности стержня, где - температура стержня в точке х в момент времени t.

Пример 4. Пусть в точках х, стержня задано начальное распределение температур . Требуется найти температуру стержня в любой точке в момент времени при условии, что граничная точка либо поддерживается при ненулевой температуре, либо теплоизолирована. Требуется найти решение дифференциального уравнения при , , удовлетворяющее начальному условию и одному из граничных условий или

Чтобы решить эти задачи, рассмотрим решение задачи теплопроводности бесконечного стержня

где

Докажем следующее утверждение.

Лемма. Если функция нечетная, то решение удовлетворяет условию , если же функция четная, то удовлетворяет условию

В самом деле, если функция нечетная, то в силу нечетности подынтегральной функции. Если функция четная, то

так как функция четная. Чтобы получить решения задач теплопроводности полубесконечного стержня, построим продолжение функции на всю числовую ось Ох нечетным или четным образом, то есть построим функции

если

если x<0;

если

если x<0;

_{Решение задачи теплопроводности} для бесконечного стержня с начальным условием удовлетворяет при

основному дифференциальному уравнению , начальному условию и граничному условию то есть функция рассматриваемая только при , является решением . Точно так же функция рассматриваемая только при , является решением основного дифференциального уравнения, удовлетворяет начальному условию и граничному условию

Решения и можно преобразовать:

Если в первых интегралах сделать замену переменной то получим

или

,

.