14.2. Графическое представление выборки

Для наглядности сгруппированные статистические ряды представляются графиками и диаграммами.

Полигоном частот группированной выборки называется ломаная с вершинами в точках ( ), i=1, 2,...,k.

Полигоном относительных частот группированной выборки называется ломаная с вершинами в точках ( ).

Гистограммой частот группированной выборки называет-

ся ступенчатая фигура, составленная из прямоугольников, по-

строенных на интервалах так, что площадь каждого прямоугольника равна частоте , i=1, 2,...,k. Отсюда следует, что площадь гистограммы частот равна объему выборки п. В том случае, когда длины всех интервалов одинаковы и равны b, высоты прямоугольников равны , i=1, 2,...,k. Аналогично строится гистограмма относительных частот. Площадь гистограммы относительных частот равна единице.

Полигоном накопленных частот группированной выборки называется ломаная с вершинами в точках ( ).

Полигоном относительных накопленных частот (кумулятивной кривой, кумулятой) называется ломаная с вершинами в точках ( ).

Замечание. Перечисленные графические представления аналогичным образом определяются и в случае негруппированной выборки.

Пример 14.3. Для выборки примера 14.2 построить гистограмму, полигон частот и кумулятивную кривую.

14.3. Эмпирическая функция распределения (эфр)

Эмпирической функцией распределения СВ X называется функция F*(x), определяющая для каждого значения х относительную частоту события (Х<х) F^*(x)=n_x/n, где n_x - число выборочных значений, меньших х, a n - объем выборки.

По значениям накопленных относительных частот ЭФР определяется следующим образом:

.

В отличие от ЭФР, функция распределения генеральной совокупности F(x)=P(X<х) называется теоретической функцией распределения (ТФР).

Отметим, что разница между ТФР и ЭФР состоит в том, что ТФР определяет вероятность события (Х<х), а ЭФР определяет относительную частоту этого же события.

ЭФР обладает всеми свойствами ТФР, то есть:

1) значения F*(х) принадлежат отрезку [0,1];

2) F*(х)- неубывающая функция аргумента х;

3) F*(х)=0, если , и F*(x)=1, если , где - наименьшее, а - наибольшее наблюдаемые значения CВ X .

Из закона больших чисел, а именно из теоремы Бернулли, следует, что при объеме выборки n→∞ ЭФР сходится по вероятности к ТФР. Это означает, что при достаточно большом объеме выборки ЭФР F*(x) и ТФР мало отличаются друг от друга.

Основное значение ЭФР состоит в том, что она используется в качестве оценки ТФР.

Пример 14.4. Построить график ЭФР по выборке примера 14.2.

Решение. ЭФР имеет вид

График F^*(x) имеет вид

Задачи для самостоятельного решения:

14.1. В течение суток измеряют напряжение Х тока в электросети в вольтах. В результате опыта получена выборка объема

107	108	110	109	110	111	109	110	111	107
108	109	110	108	107	110	109	111	111	110
109	112	113	110	106	110	109	110	108	112

Построить статистический ряд этой выборки. Построить полигон относительных частот. Найти эмпирическую функцию и построить ее график.

14.2. По данному распределению выборки

	1	3	6
	10	25	15

найти эмпирическую функцию и построить ее график.

14.3. Дана выборка:

	2	4	5	7	10
	15	20	10	10	45

Найти эмпирическую функцию распределения, построить ее график. Построить полигон относительных частот выборки.

14.5. Измерен рост n=500 студентов. Результаты измерений представлены в виде интервального статистического ряда:

[145;150)	[150;155)	[155;160)	[160;165)	[165;170)
1	2	28	90	169
[170;175)	[175;180)	[180;185)	[185;190)	[190;195]
132	55	16	6	1

Построить гистограмму относительных частот.

14.6. По данным выборки построить гистограмму относительных частот:

1.

Номер интервала	Интервал	Число вариант в интервале
1	(1;5)	10
2	(5;9)	20
3	(9;13)	50
4	(13;17)	12
5	(17;21)	8

2.

Номер интервала	Интервал	Число вариант в интервале
1	(2;5)	6
2	(5;8)	10
3	(8;11)	5
4	(11;14)	4

14.7. Дана выборка:

38	60	41	51	33	42	45	21	53	60
68	52	47	46	42	43	57	44	54	59
77	47	28	27	49	49	14	28	61	30
61	35	47	46	58	45	42	21	30	40
67	65	39	35	41	60	54	42	59	60

Построить гистограмму относительных частот.

14.8. Построить полигон относительных частот следующей выборки:

	4	6	10	12
	10	15	5	20