Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 700323.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

2.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

2. Рпр № 5. Расчет статически неопределимых систем при изгибе

2.1. Задания на рпр № 5

2.1.1. Задача №1. Расчет многоопорной балки

Для заданной балки постоянной жесткости (рис. 2.1) подобрать сечение в форме двутавра, приняв [ ] = 160 МПа; а=1м; q = 10 кН/м. Данные взять из табл. 2.1.

Рис. 2.1

120

121

Р А З М Е Р Ы

а₃

0,9а

0,8а

0,7а

0,6а

0,5а

0,4а

0,3а

0,2а

0,9а

0,8а

0,7а

0,6а

0,5а

0,4а

0,3а

0,2а

а₂

0,9а

0,2а

0,3а

0,4а

0,5а

0,6а

0,7а

0,8а

0,9а

0,2а

0,3а

0,4а

0,5а

0,6а

0,7а

а₁

1,2а

1,3а

1,4а

1,5а

1,2а

1,3а

1,4а

1,5а

1,6а

1,2а

1,3а

1,4а

1,5а

1,2а

Н А Г Р У З К И

m₃

3qa²

m₂

2qa²

m₁

qa²

q₃

q₂

q₁

P₃

P₂

2qa

P₁

Схе-ма

№ вари-анта

125

Р А З М Е Р Ы

а₃

0,9а

0,8а

0,7а

0,6а

0,5а

0,4а

0,3а

0,2а

0,9а

0,8а

0,7а

0,6а

0,4а

0,3а

0,2а

а₂

0,8а

0,9а

0,2а

0,3а

0,4а

0,5а

0,6а

0,7а

0,8а

0,9а

0,2а

0,3а

0,4а

0,5а

0,6а

0,7а

а₁

1,3а

1,4а

1,5а

1,2а

1,3а

1,4а

1,5а

1,2а

1,3а

1,4а

1,5а

1,2а

1,3а

1,4а

1,5а

Н А Г Р У З К И

m₃

3qa²

m₂

2qa²

m₁

qa²

q₃

-3q

q₂

-2q

q₁

-q

P₃

3qa

P₂

2qa

P₁

Схе-ма

№ вари-анта

126

2.1.2. Задача № 2. Расчет плоской рамы

Для заданной плоской рамы постоянной жесткости (рис. 2.2) подобрать поперечное сечение в форме швеллера, приняв [ ] = 160 МПа; а = 1 м; q = 10 кН/м. Данные взять из табл. 2.2.

Рис. 2.2

123

122

Р А З М Е Р Ы

а₃

0,9а

0,8а

0,7а

0,6а

0,5а

0,4а

0,3а

0,2а

0,9а

0,8а

0,7а

0,6а

0,5а

0,4а

0,3а

0,2а

а₂

0,9а

0,2а

0,3а

0,4а

0,5а

0,6а

0,7а

0,8а

0,9а

0,2а

0,3а

0,4а

0,5а

0,6а

0,7а

а₁

1,2а

1,3а

1,4а

1,5а

1,2а

1,3а

1,4а

1,5а

1,2а

1,3а

1,4а

1,5а

1,2а

Н А Г Р У З К И

m₃

3qa²

m₂

2qa²

m₁

qa²

q₃

q₂

q₁

P₃

P₂

2qa

P₁

№

варианта

128

Р А З М Е Р Ы

а₃

0,9а

0,8а

0,7а

0,6а

0,5а

0,4а

0,3а

0,2а

0,9а

0,8а

0,7а

0,6а

0,4а

0,3а

0,2а

а₂

0,8а

0,9а

0,2а

0,3а

0,4а

0,5а

0,6а

0,7а

0,8а

0,9а

0,2а

0,3а

0,4а

0,5а

0,6а

0,7а

а₁

1,3а

1,4а

1,5а

1,2а

1,3а

1,4а

1,5а

1,2а

1,3а

1,4а

1,5а

1,2а

1,3а

1,4а

1,5а

Н А Г Р У З К И

m₃

3qa²

m₂

2qa²

m₁

qa²

q₃

-3q

q₂

-2q

q₁

-q

P₃

3qa

P₂

2qa

P₁

№

варианта

125

124

2.2. Основные понятия и зависимости. Порядок расчета статически неопределимых систем [1]

В статически неопределимых системах связей больше, чем необходимо для равновесия. По числу «лишних» связей устанавливается степень статической неопределимости. Одним из методов раскрытия статической неопределимости является метод сил. Сущность этого метода состоит в следующем.

1. Определяют количество «лишних» связей и устанавливают степень статической неопределимости n.

2. Путем отбрасывания «лишних» связей и снятия нагрузок заданную систему превращают в статически определимую и называют основной.

3. Основную систему нагружают заданной нагрузкой, а в местах удаления связей – реакциями этих связей, которые обозначают и принимают за неизвестные. Полученную систему называют эквивалентной.

4. Для нахождения неизвестных реакций связей записывают систему канонических уравнений метода сил

(2.1)

5. Определяют коэффициенты и свободные члены , входящие в систему (2.1).

Здесь – перемещение в основной системе в направлении от действия заданной нагрузки; – перемещение в основной системе в направлении от действия Для определения и используют метод Мора

126

(2.2)

где – изгибающий момент в основной системе, нагруженной заданной нагрузкой (состояние “Р”); – изгибающие моменты в основной системе, нагруженной соответственно (состояния “ ”, “ ”); – длина бруса; – изгибная жесткость.

Для брусьев, на каждом из участков которых жесткость постоянна, а ось прямая, интегралы (2.2) можно вычислить по способу Верещагина.

6. Решают систему уравнений (2.1) и находят неизвестные После определения статическая неопределимость считается раскрытой. Для эквивалентной системы (как для статической определимой) строят эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и выполняют расчет заданной системы на прочность или жесткость согласно условию задачи.

2.3. Задачи. Расчет на прочность многоопорных балок [2]

Задача №1. Для заданной балки постоянной жесткости (рис. 2.3 а) подобрать сечение в форме двутавра. Принять [ ] = 160 МПа; а = 1м; q = 10 кН/м; P = qa = 10кН; m = 2qa² = 20 кНм.

Решение

Брус работает на изгиб. По условию задачи требуется произвести проектный расчет на прочность. Так как поперечное сечение балки постоянно по ее длине, то условие прочности примет вид

(2.3)

127

де

– изгибающий момент в опасном сечении; – осевой момент сопротивления сечения;

– допускаемое напряжение для материала балки.

Из условия прочности (2.3) проектный расчет проводится по соотношению

(2.4)

Рис. 2.3

128

Для установления опасного сечения необходимо построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов . Заданная система (см. рис. 2.3, а) является статически неопределимой. Поэтому в начале необходимо раскрыть ее статическую неопределимость. Воспользуемся для этого методом сил.

Устанавливаем степень статической неопределимости заданной балки. Число неизвестных реакций опор равно пяти (такое же число внешних связей имеет заданная система), а уравнений равновесия для плоской системы в общем случае можно составить три. Таким образом, степень статической неопределимости n равна числу «лишних» связей, т.е.
Выбираем основную систему. Для этого снимем нагрузки и отбросим две «лишние» связи, убрав две шарнирно-подвижные опоры (см. рис. 2.3, б).
Превращаем основную систему в эквивалентную. С этой целью нагрузим основную систему заданными нагрузками, а в местах отброшенных связей приложим неизвестные реакции этих связей и (см. рис. 2.3, в).
Запишем систему канонических уравнений метода сил (2.1), которая в нашем случае будет состоять из двух уравнений:

. (2.5)

Определяем перемещения и в основной системе. Так как ось балки прямая, а ее жесткость то для расчета перемещений и можно использовать способ Верещагина. Для этого вначале рассмотрим грузовое (“Р”) состояние основной системы (см. рис. 2.3, г) и два вспомогательных состояния основной системы – состояние “ ” (см. рис. 2.3, д) и состояние “ ” (см. рис. 2.3, е).

129

Пользуясь методом сечений строим эпюры изгибающих моментов для “Р” состояния (см. рис. 2.3, г) и двух вспомогательных состояний – “ ” (см. рис. 2.3, д) и “ ” (см. рис. 2.3, е).

Затем рассчитываем перемещения в основной системе от заданных нагрузок и .

Определяем перемещения в основной системе от единичных нагрузок: , ,

Подставляем найденные значения перемещений и в систему канонических уравнений (2.5), решением которой устанавливаем значения реакций и :

130

Реакция получилась со знаком минус, т.е. ее действительное направление не совпадет с принятым в эквивалентной системе (см. рис. 2.3, в).

Рис. 2.4

Д
131
ля эквивалентной системы (рис. 2.4, а), в которой реакциям и присвоены значения, установленные в п.6, строим эпюры поперечных сил (см. рис. 2.4, б) и изгибающих моментов (см. рис. 2.4, в).
Подбираем сечение балки в форме двутавра. Из эпюры изгибающих моментов (см. рис. 2.4, в) следует, что изгибающий момент в опасном сечении В соответствии с условием (2.4)

По таблице сортамента выбираем двутавр №18а, для которого

Замечание.

В качестве варианта основной системы для рассмотренной задачи можно выбрать одну из систем, показанных на рис. 2.5.

Рис. 2.5

Задача № 2. Для заданной балки постоянной жесткости (рис. 2.6, а) подобрать сечение в форме двутавра. Принять [ ] = 160 МПа; а = 1м; q = 10 кН/м; m = 2qa² = 10 кНм.

Решение

132

Брус работает на изгиб. По условию задачи требуется произвести проектный расчет на прочность. Для балки, имеющей постоянное по длине поперечное сечение, проектный расчет производится по соотношению (2.4).

Рис. 2.6

133

Для установления опасного сечения и определения расчетного изгибающего момента необходимо построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов . Заданная система (см. рис. 2.6, а) является статически неопределимой. В связи с этим вначале необходимо раскрыть ее статическую неопределимость. Воспользуемся для этого методом сил.

Устанавливаем степень статической неопределимости заданной балки. Число неизвестных реакций опор равно пяти (такое же число внешних связей имеет заданная система), а уравнений равновесия для плоской системы в общем случае можно составить три. Таким образом, степень статической неопределимости n равна числу «лишних» связей, т.е. n = 2.
Выбираем основную систему. Для этого снимем нагрузки и отбросим две «лишние» связи, убрав две шарнирно-подвижные опоры (см. рис. 2.6, б).
Превращаем основную систему в эквивалентную. С этой целью нагружаем основную систему заданными нагрузками, а в местах отброшенных связей прикладываем неизвестные реакции этих связей и (см. рис. 2.6, в).
Записываем систему канонических уравнений метода сил (2.1), которая в нашем случае будет состоять из двух уравнений и представится в виде (2.5).
Определяем перемещения в основной системе и . Так как ось балки прямая, а ее жесткость , то для расчета перемещений и можно воспользоваться способом Верещагина. Для этого вначале рассмотрим грузовое (“Р”) состояние основной системы (см. рис. 2.6, г) и два вспомогательных состояния основной системы – состояние “ ” (см. рис. 2.6, д) и состояние “ ” (см. рис. 2.6, е).

134

ользуясь методом сечений, строим эпюры изгибающих моментов для “Р” состояния (см. рис. 2.6, г) и двух вспомогательных состояний – “ ” (см. рис. 2.6 д) и “ ” (см. рис. 2.6 е).

Затем рассчитываем перемещения в основной системе от заданных нагрузок и .

Определяем перемещения в основной системе от единичных нагрузок: , ,

П
135
одставляем найденные значения перемещений и в систему канонических уравнений (2.5), решением которой устанавливаем значения реакций и :

0,3qa²

Рис. 2.7

Д
136
ля эквивалентной системы (рис. 2.7, а), в которой реакциям и присвоены значения, установленные в п. 6, строим эпюры поперечных сил (см. рис. 2.7, б) и изгибающих моментов (см. рис. 2.7 в). Предварительно определяем реакции опор и .
Подбираем сечение балки в форме двутавра. Из эпюры изгибающих моментов (см. рис. 2.7, в) следует, что изгибающий момент в опасном сечении

В соответствии с условием (2.4)

По таблице сортамента выбираем двутавр № 14, для которого

Замечание.

В качестве варианта основной системы для рассмотренной задачи можно выбрать одну из систем, показанных на рис. 2.8.

Рис. 2.8

137

В одном из представленных вариантов основной системы (см. рис. 2.8, а) в качестве «лишних» связей приняты внутренние связи на промежуточных шарнирно-подвижных опорах. В этих опорных сечениях ставятся (“врезаются”) шарниры, при этом в каждом из этих сечений снимается одна связь. В качестве «лишних» неизвестных в этом случае выступают реакции отброшенных внутренних связей – изгибающие моменты, возникающие в опорных сечениях (опорные моменты).

Постановка шарниров в опорных сечениях позволяет при решении задачи рассматривать каждый из пролетов заданной балки как самостоятельную балочку, что значительно упрощает построение эпюры изгибающих моментов для грузового (“Р”) состояния, а также расчет перемещений в основной системе от заданных нагрузок.

Возникающие в этом случае особенности раскрытия статической неопределимости рассмотрим на примере ранее решенной задачи № 2. С этой целью последовательно реализуем алгоритм метода сил.

Для заданной системы (рис. 2.9, а) устанавливаем степень статической неопределимости n. В нашем случае n = 2.
Выбираем основную систему (см. рис. 2.9, б).
Превращаем основную систему в эквивалентную (см. рис. 2.9, в).
Записываем систему канонических уравнений, которая в нашем случае представится в форме (2.5).
Определяем перемещения в основной системе и по способу Верещагина.

Пользуясь методом сечений, строим эпюры изгибающих моментов для “Р” состояния (см. рис. 2.9, г) и двух вспомогательных состояний – “ ” (см. рис. 2.9, д) и “ ” (см. рис. 2.9, е).

Рассчитываем перемещения в основной системе от заданных нагрузок и .

138

Рис. 2.9

Определяем перемещения в основной системе от единичных нагрузок: , ,

139

Подставляем найденные значения перемещений в систему канонических уравнений (2.5), решением которой устанавливаем значения опорных моментов и :

Оба момента и получились со знаком минус. Это означает, что их действительные направления не совпадают с принятыми в эквивалентной системе (см. рис. 2.9, в).

Для эквивалентной системы (рис. 2.10, а), которая представляет собой три независимых балочки, нагруженные заданными нагрузками и установленными в п. 6 опорными моментами и , строим эпюры поперечных сил (см. рис. 2.10, б) и изгибающих моментов (см. рис. 2.10, в).

140

При этом для каждой из балочек независимо определяем реакции опор и строим эпюры и . Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для заданной системы получаем присоединением (при- стыковкой) соответствующих эпюр самостоятельных балочек. Сопоставление построенных эпюр и с эпюрами, полученными ранее (см. рис. 2.7), показывает их полную идентичность, что подтверждает возможность выбора различных вариантов основной системы при раскрытии статической неопределимости системы.

Рис. 2.10

2.4. Задача. Расчет на прочность плоской рамы

Для заданной плоской рамы постоянной жесткости (рис. 2.11) подобрать поперечное сечение в форме швеллера, приняв [ ] = 160 МПа; а = 1м; q = 10 кН/м; m = qa² = 10 кНм. P = qa = 10кН.

Решение

141

Рама работает в основном на изгиб. По условию задачи требуется выполнить проектный расчет на прочность. Так как поперечное сечение рамы постоянно по ее длине, то проектный расчет проводится по соотношению (2.4).

Рис. 2.11

Для определения изгибающего момента в опасном сечении рамы нужно построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов , а для выполнения проверочного расчета на прочность необходима еще и эпюра нормальных сил N. Проверочный расчет в случае необходимости выполняют исходя из условия прочности

(2.6)

где N – нормальная сила в опасном сечении; F – площадь поперечного сечения.

142

Заданная плоская рама (см. рис. 2.11) является статически неопределимой. В связи с этим вначале необходимо раскрыть ее статическую неопределимость, используя метод сил.

Устанавливаем степень статической неопределимости заданной рамы. Число неизвестных реакций опор равно четырем (по числу внешних связей, которые имеет рама), а уравнений равновесия для плоской системы в общем случае можно составить три. Таким образом, степень статической неопределимости рамы n равна числу «лишних» связей, т.е. n =1.
Выбираем основную систему. Для этого снимем нагрузки и уберем шарнирно-подвижную опору (рис. 2.12, а).

Рис. 2.12

Превращаем основную систему в эквивалентную. С этой целю нагружаем основную систему заданными нагрузками, а в месте отброшенной связи прикладываем неизвестную реакцию этой связи (см. рис. 2.12, б).
З
143
аписываем каноническое уравнение метода сил. В нашем случае система (2.1) состоит из одного уравнения:

(2.7)

Определяем перемещения в основной системе и . Так как оси элементов, составляющих раму, являются прямыми, а ее жесткость , то для расчета перемещений и воспользуемся способом Верещагина. Для этого рассмотрим грузовое (“Р”) состояние основной системы (рис. 2.13, а) и вспомогательное состояние основной системы – состояние “ ” (см. рис. 2.13, б).

Пользуясь методом сечений, строим эпюры изгибающих моментов для “Р” состояния (см. рис. 2.13, а) и вспомогтельного «Х₁ =1» состояния

(см. рис. 2.13, б).

Рис. 2.13

144

Рассчитываем – перемещение в основной системе от заданных нагрузок.

Определяем – перемещение в основной системе от .

Подставляем найденные значения перемещений и в каноническое уравнение (2.7), решением которого определяем значение реакции :

Для эквивалентной системы (рис. 2.14, а), в которой реакции присвоено значение, установленное в п. 6, строим эпюры поперечных сил (см. рис. 2.14, б), нормальных сил N (см. рис. 2.14, в) и изгибающих моментов (см. рис. 2.14, г).
Подбираем сечение рамы в форме швеллера. Из эпюры изгибающих моментов (см. рис. 2.14, г) следует, что изгибающий момент в опасном сечении В соответствии с условием (2.4)