- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова основы численных методов Учебное пособие
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •Введение
- •1. Действия над приближенными числами
- •1.1. Основные источники погрешностей
- •1.2. Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешности
- •1.3. Правила записи приближенных чисел
- •Решение. В нашем случае и . Следовательно,
- •Решение. Имеем .
- •2. Интерполирование функции
- •2.1. Постановка задачи интерполирования
- •2.2. Вычисление значений многочлена по схеме Горнера
- •2.3. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •Интерполяционный многочлен Ньютона
- •Сопоставление интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона. Погрешность интерполяции
- •2.6. Интерполирование функции кубическими сплайнами
- •Методы численного решения систем
- •3.1. Метод Гаусса
- •3.2. Метод итерации
- •3.3. Метод Зейделя
- •4. Методы численного решения
- •4.1. Отделение корней
- •Метод половинного деления
- •4.3. Метод хорд
- •4.4. Метод Ньютона
- •Комбинированный метод
- •4.6. Метод итерации
- •4.7. Метод Ньютона для системы двух уравнений
- •Метод итерации для системы двух уравнений
- •5. Численное дифференцирование
- •5.1. Постановка вопроса
- •5.2. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на первой интерполяционной формуле Ньютона
- •5.3. Конечно-разностные аппроксимации производных
- •6. Среднеквадратичное приближение функций
- •6.1. Метод наименьших квадратов
- •7. Численное интегрирование
- •Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •8.1. Понятие о численном решении задачи Коши
- •8.2. Метод Эйлера
- •8.3. Методы Рунге-Кутта
- •8.4. Численные решение систем дифференциальных уравнений первого порядка
- •9. Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных
- •Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток
- •Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток
- •9.3. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности типа методом
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •1. Действия над приближенными числами ..……………...4
- •2. Интерполирование функций ……………………….…... 9
- •3. Методы численного решения систем линейных
- •4. Методы численного решения нелинейных уравнений
- •10. Библиографический список …….…….……..……… 110
- •Составители: Бырдин Аркадий Петрович
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток
Пусть в плоскости дана прямоугольная область . Требуется найти непрерывную функцию , удовлетворяющую внутри области дифференциальному уравнению
, (9.6)
начальному условию , (9.7)
граничным условиям
. (9.8)
Для построения разностной схемы решения задачи (9.6) – (9.8) выберем шаги по и построим в области сетку , , , . Значение функции в узлах сетки называются сеточной функцией , приближенные значения которой требуется найти.
Для получения разностного уравнения аппроксимируем частные производные второго порядка в каждом внутреннем узле сетки на шаблоне, показанным на рис. 16. Эти производные, выраженные через разностные отношения, будут иметь вид
,
.
Здесь – приближённое значение функции в узле ( ). После такой замены получаем следующую разностную аппроксимацию уравнения (9.6)
. (9.9)
После преобразования уравнения (9.9) получаем трёхслойную разностную схему
(9.10)
Схема (9.10) называется трёхслойной потому, что связывает между собой значения функции на трёх временных слоях: с номерами . Схема (9.10) явная, т.е. позволяет в явном виде выразить через значения с предыдущих двух слоёв.
Численное решение задачи состоит в вычислении приближённых значений решения в узлах при , . Алгоритм решения основан на том, что решение на каждом следующем слое ( ) можно получить пересчётом решений с двух предыдущих слоёв ( ) по формуле (9.10). На нулевом временном слое ( ) решение известно из начального условия . Для вычисления решения на первом слое ( ) можно использовать такой прием, состоящий в том, что если положить
,
то . Теперь для вычисления решений на следующих слоях можно применять формулу (9.10). Решение на каждом следующем слое получается пересчётом решений с двух предыдущих слоёв по этим формулам.
Описанная выше схема аппроксимирует задачу (9.6) – (9.8) с точностью . Невысокий порядок аппроксимации по объясняется использованием слишком грубой аппроксимации для производной по в формуле (9.6).
Схема устойчива, если выполнено условие Куранта . Это означает, что малые погрешности, возникающие, например, при вычислении решения на первом слое, не будут неограниченно возрастать при переходе к каждому новому временному условию. При выполнении условий Куранта схема обладает равномерной сходимостью, т.е. при решение разностной задачи равномерно стремится к решению исходной смешанной задачи (9.6) – (9.8).
Недостаток схемы в том, что как только выбрана величина шага сетки в направлении , появляется ограничение на величину шага по переменной . Если необходимо произвести вычисления для большого значения величины , то может потребоваться большое количество шагов по переменной. Указанный недостаток характерен для всех явных разностных схем.