1.3. Дифракция света

Дифракция (от лат. difractus – разломанный, преломленный) – совокупность явлений нарушения целостности волновой поверхности в среде с резкими неоднородностями при огибании волнами препятствий, при прохождении волн через узкие отверстия в непрозрачных преградах; любое отклонение волн от прямолинейного распространения и загибание волн в область геометрической тени.

Дифракция, как и интерференция – общее свойство волн любой природы.

Математически строгое решение дифракционных задач представляет исключительные трудности, поэтому применяются приближенные методы решения с применением: принципа Гюйгенса (способа позволяющего найти направление распространения фронта волны), принципа Гюйгенса – Френеля (дополняющего принцип Гюйгенса идеей об интерференции вторичных волн), метода зон Френеля.

Принцип Гюйгенса – Френеля можно сформулировать следующим образом: возмущение в любой точке пространства является результатом интерференции вторичных когерентных волн, излучаемых каждой точкой некоторой волновой поверхности.

Наблюдение дифракции осуществляется обычно по следующей схеме. На пути световой волны, распространяющейся от некоторого источника S, помещается непрозрачная преграда П, закрывающая часть волновой поверхности Ф световой волны. За преградой располагается экран Э, на котором возникает дифракционная картина.

Внешне дифракционная картина напоминает интерференционную картину.

Различают два вида дифракции: дифракцию Френеля и дифракцию Фраунгофера.

Дифракция Френеля – дифракция в сходящихся лучах сферической световой волны на неоднородности, размер которой сравним с диаметром первой (центральной) зоны Френеля.

Дифракция Фраунгофера – дифракция в параллельных лучах плоской световой волны на неоднородности, размер которой много меньше диаметра первой зоны Френеля.

В случае дифракции Фраунгофера источник света S и произвольная точка наблюдения М на экране расположены от препятствия настолько далеко, что световые лучи образуют параллельные пучки света. Дифракцию Фраунгофера можно получить из дифракции Френеля, поместив за источником и перед точкой наблюдения по одной линзе Л так, чтобы точки S и М оказались в фокальной плоскости соответствующей линзы (рис. 12).

Метод зон Френеля – наглядный геометрический способ разбиения фронта волны на участки, называемые зонами Френеля, так, чтобы оптическая разность хода от каждой пары соседних зон до точки наблюдения равнялась длине полуволны и колебания, приходящие в точку наблюдения в противоположных фазах, взаимно ослабляли друг друга при наложении.

Результаты опытов по пропусканию света через отверстия малых размеров не удается объяснить ни исходя из принципа Гюйгенса, ни согласно корпускулярной теории, в которой свет рассматривается как поток частиц - корпускул.

Принцип Гюйгенса приводит к выводу о том, что освещенность в точке наблюдения должна всегда возрастать с увеличением размеров отверстия в силу увеличения числа вторичных источников света на увеличивающемся участке фронта волны, ограниченном отверстием.

Корпускулярная теория света приводит к заключению о том, что с увеличением размеров отверстия освещенность в точке не изменяется, а увеличиваются только геометрические размеры освещенного пятна на экране, так как в открывающиеся места экрана попадают прямолинейно летящие световые частицы.

Однако реальная зависимость освещенности экрана в точке наблюдения М от размеров отверстия оказывается более сложной.

Метод зон Френеля используется при рассмотрении дифракционных задач с осевой симметрией об интерференции вторичных волн (радио-, звуковых, световых) в соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля для упрощения расчета результирующей амплитуды колебаний в заданной точке пространства.

Рассмотрим принцип построения зон Френеля в случае дифракции сферической световой волны на круглом отверстии в плоской непрозрачной преграде П от точечного монохроматического источника S на оси отверстия в изотропной среде (рис. 13). Точка наблюдения О на оси отверстия лежит на расстоянии r₀ от ближайшей точки О' волновой поверхности радиусом R = ct , где с – скорость света, t – время распространения волны до преграды.

Точки любой волновой поверхности являются когерентными источниками вторичных волн. Амплитуду колебаний в произвольной точке наблюдения, например в О, на экране можно найти сложением когерентных колебаний от всех вторичных источников дошедшей до преграды волновой поверхности Ф, находящихся на участке, ограниченном размерами отверстия.

Для нахождения результата интерференции колебаний от вторичных источников Френель предложил геометрический метод разбиения волнового фронта на зоны.

При рассмотрении различных случаев дифракции можно пользоваться алгебраическим и графическим способом сложения колебаний.

Алгебраический способ. Первая зона Френеля в виде шарового сегмента ограничивается точками волновой поверхности Ф, расстояние от которых до точки О равно r₁ = r₀ + , где - длина световой волны. Вторая сегментная зона в виде шарового пояса находится между краем первой зоны и точками волновой поверхности, расстояние от которых до точки О равно r₂ = r₁ + = r₀ + 2 . Аналогично можно получить, для k – той зоны Френеля:

r_k = r_k-1 + = r₀ + k , где k = 1, 2, 3,.

После несложных вычислений можно показать, что все зоны Френеля включают в себя одинаковое число когерентных вторичных источников света, так как имеют одинаковую площадь S:

S = S₁ = S₂ = S₃ = = .

Однако, в силу того, что у каждой последующей зоны угол между лучом в точку наблюдения и нормалью к фронту волны увеличивается (рис. 13), то это приводит к уменьшению соответствующей амплитуды А_k колебаний, вызванных действием k – той зоны:

А₁ > А₂ > А₃ > > А .

В качестве допустимого приближения можно принять, что амплитуда колебания от некоторой k-й зоны Френеля A_k равна среднему арифметическому от амплитуд примыкающих к ней зон:

A_k = ( A_k-1 + A_k+1 )/2.

Полная амплитуда волны, приходящей в точку O, равна сумме амплитуд, создаваемых каждой отдельной зоной. При этом амплитуды от всех четных зон надо считать с оди­наковым знаком (например, положительными), а амплитуды волн от всех нечетных зон (приходящих в проти­воположной фазе) — с обратным знаком. Таким образом,

A = A₀ - A₁ + A₂ - A₃ + A₄ - A₅ + .

Используя соотношение, можно это выражение пред­ставить в виде

,

так как оставшаяся часть от амплитуды последней зоны практически ничтожно мала.

Таким образом, суммарная амплитуда от воздействия всего фронта Ф в точке наблюдения O равна A = A₀/2, т.е. эквивалентна половине воздействия нулевой зоны Френеля.

Если отверстие в экране невелико и на нем укладывается небольшое число зон Френеля, то результат будет существенно зависеть от того, сколько зон укладывается на отверстии: при нечетном числе зон в точке наблюдения на экране возникнет максимум интенсивности освещения (светлая точка), при четном числе зон – минимум (темная точка). В обоих случаях свет проходит через отверстие, однако, в случае темной точки, максимум интенсивности интерференционной картины сдвигается по экрану в точку наблюдения, которая не лежит на оси отверстия.

Графический способ. Волновая поверхность разбивается на кольцевые зоны, аналогичные зонам Френеля, но гораздо меньшие по ширине. Колебание, создаваемое в точке наблюдения О кольцевой зоной изображается в виде вектора ∆а_i, длина которого ∆а_i равна амплитуде колебания, а угол , образуемый вектором с направлением X, принятым за начало отсчета, дает начальную фазу. Амплитуда колебаний, создаваемых такими кольцевыми зонами в точке О, медленно убывает при переходе от одной кольцевой зоны к другой. Каждое следующее колебание отстает от предыдущего по фазе на одну и ту же величину. Следовательно, графическое сложение векторов амплитуд колебаний от отдельных кольцевых зон имеет форму спиралевидной векторной диаграммы (рис. 14).

В пределе при стремлении ширины кольцевых зон к нулю (количество их будет при этом неограниченно возрастать) векторная диаграмма примет вид спирали, закручивающейся в точке С (рис. 15). Результирующий вектор, проведенный из точки О в точку 1, изображает колебание, возбуждаемое в точке О первой зоной Френеля, и участок спирали О1 соответствует первой зоне Френеля. Аналогично вектор, проведенный из точки 1 в точку 2, изображает колебание, возбуждаемое второй зоной Френеля. Колебания от первой и второй зоны находятся в противофазе и направлены в противоположные стороны. Вектор О2 является результатом сложения амплитуд колебаний от двух первых зон Френеля. Колебание, возбуждаемое в точке наблюдения О всей волновой поверхностью, изображается вектором ОС. Из рисунка 15 видно, что амплитуда в этом случае равна половине амплитуды, создаваемой первой зоной Френеля. Этот же результат был получен ранее алгебраически.

Ярко выраженные интерференционные и дифракционные явления наблюдаются при прохождении волн через отверстия размерами порядка нескольких длин волн или при встрече с препятствиями таких же размеров.

Рассмотренные методы алгебраического и графического сложения амплитуд позволяют получить для дифракции Френеля на простейших преградах следующие результаты.

Дифракция на зонной пластинке. Амплитуду и интенсивность света в точке наблюдения можно значительно увеличить, механически перекрывая четные (или нечетные) зоны Френеля в пластинке, называемой амплитудной зонной пластинкой. Еще большего эффекта можно достичь, не перекрывая четные (или нечетные) зоны, а изменяя фазу их колебания на с помощью прозрачной пластинки, толщина которой в местах соответствующих четным (или нечетным) зонам Френеля, отличается на определенным образом подобранную величину. Такая пластинка называется фазовой зонной пластинкой. По сравнению с амплитудной зонной пластинкой фазовая зонная пластинка дает дополнительное увеличение амплитуды в два раза, а интенсивности света – в четыре раза.

Дифракция Френеля на круглом отверстии. Дифракционная картина для малого числа k зон Френеля, которые оставляет открытыми круглое отверстие радиуса r₀ в непрозрачной плоской преграде между источником света S и экраном, параллельным преграде (рис. 16, а), имеет вид чередующихся светлых и темных концентрических колец с центрами на оси отверстия. В центре картины О будет либо светлое световое пятно (k нечетное), либо темное (k четное). Ход изменения интенсивности I освещения экрана с расстоянием r от центра картины приведен на рис. 16, б (для нечетных k) и на рис. 16, в (для четных k). Выражение для амплитуды А результирующего колебания в точке О может быть записано в виде:

А = ,

где знак плюс берется для нечетных значений k, минус – для четных значений k, А₁- амплитуда колебаний от первой зоны Френеля, А_k - от k-той зоны. Для малых k амплитуды можно считать приблизительно равными (А₁ ≈ А_k).

Дифракция Френеля от круглого диска. Сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника S, встречает на своем пути диск. Если диск закрывает первые m зон Френеля, то амплитуда колебания в точке О экрана Э:

Таким образом, в точке В наблюдается интерференционный максимум (светлое пятно), соответствующий половине действия первой открытой зоны Френеля. Центральный максимум окружен концентрическими с ним темными и светлыми кольцами (рис. 17).

Однако, если диск закрывает много зон Френеля, чередование светлых и темных колец наблюдается только в узкой области на границе геометрической тени от диска. В этом случае светлое пятно в центре отсутствует, и освещенность в области геометрической тени практически всюду равна нулю.

Дифракция Френеля на щели. Дифракционная картина от длинной прямоугольной щели шириной b много меньшей ее длины L (b << L) наблюдается на плоском экране Э, параллельном плоскости щели и отстоящем от нее на расстояние r₀ (рис. 18). Волновой фронт Ф имеет кривизну. Методом зон Френеля можно исследовать дифракционную картину от щели графически, с помощью векторной диаграммы, называемой спиралью Корню. В этом случае волновой фронт разбивается не на круглые, а на прямолинейные тонкие полоски, площадь которых пропорциональна их ширине. Вид дифракционной картины зависит от величины волнового параметра p = , где - длина волны. Если p << 1 («широкая» щель) амплитуда волны в точке наблюдения, лежащей против середины щели, такая же, как в отсутствие экрана, а интенсивность освещения I . Распределение интенсивности I(x) на плоскости экрана имеет сложную форму (рис. 18). При р ~ 1 изменения интенсивности охватывают всю область Оb, соответствующую изображению щели в геометрической оптике, а также наблюдаются и в области геометрической тени (в отличие от монотонного спадания интенсивности вблизи краев тени при p << 1). В зависимости от величины р в середине дифракционной картины может быть как максимум, так и минимум интенсивности.

При р >> 1 («узкая» щель) дифракционная картина имеет вид, как при дифракции Фраунгофера на той же щели (см. рис. 18). Против середины щели находится основной максимум интенсивности, который тем сильнее «размазан» и ниже, чем уже щель.

Дифракция Френеля на полосе. Анализ характера дифракционной картины от длинной прямоугольной полосы (рис. 19) проводится аналогично случаю дифракции от щели. Волновой фронт Ф имеет кривизну. Если волновой параметр p << 1, где b – ширина полосы, то за полосой образуется область тени, на границах которой наблюдаются дифракционные полосы (рис. 19). Если р >> 1, то позади полосы наблюдается система чередующихся темных и светлых полос, причем против середины О преграды всегда находится светлая интерференционная полоса.

Рассмотрим дифракцию Фраунгофера (или дифракцию в параллельных лучах) на простейших преградах для нормального падения монохроматической волны с плоским волновым фронтом.

Дифракция Фраунгофера на щели. При нормальном падении волны ее плоский волновой фронт совпадает с поверхностью щели (рис. 20). Площадь щели, а, следовательно, и волновой фронт, могут быть разбиты на N зон Френеля (в нашем случае N = 4), представляющие собой параллельные краям щели узкие полоски равной ширины. Эти полоски волнового фронта являются когерентными источниками вторичных волн с равной амплитудой , где А₀ - амплитуда света, посылаемого в направлении нормали к поверхности щели. При этом вторичные волны могут излучаться во все стороны. Угол между нормалью к плоскости щели и световым лучом от вторичного источника называется углом дифракции. Дифракционная картина позади щели представляет собой чередование светлых и темных интерференционных полос.

Условие минимумов света имеет вид:

b sinφ_k = 2k ,

где число k = 1, 2, 3, , b - ширина щели, φ_k - угол дифракции для k-того дифракционного минимума в точке М (в нашем случае k = 2), который определяет направление дифракции, связанное с размещением четного числа 2k зон Френеля на ширине щели, которые попарно гасят друг друга.

Условие максимумов света имеет вид:

b sinφ_k ≈ (2k + 1) .

Это означает, что в случае выбора направления дифракции, определяемого углом φ_k и приводящего к появлению максимума света в дифракционной картине, на ширине щели должно укладываться нечетное число 2k + 1 зон Френеля.

При неизменной ширине b щели максимумы света различной длины волны приходятся на различные углы дифракции. Главный (центральный или нулевого порядка) максимум располагается в интервале углов – φ₁ < φ < φ₁ с пиком для φ_k = 0 при k = 0. Если щель освещается белым светом, то максимум нулевого порядка будет белым. По обе стороны от него располагаются минимумы, чередующиеся с цветными побочными максимумами.

Знак минус в условиях максимумов и минимумов света возникает из соображений симметрии дифракционной картины относительно центра О щели.

Распределение интенсивности I(y) света приведено на рис. 20. Максимумы интенсивности относятся как I₀ : I₁ : I₂ : I₃ : = 1 : ( )²: ( )²: ( )²: .

Дифракция Фраунгофера на круглом отверстии. В случае плоского волнового фронта все зоны Френеля в виде колец, заключающие в себя одинаковое число когерентных вторичных источников света, имеют одинаковую площадь S, равную:

S = S₁ = S₂ = S₃= ≈ .

Дифракционная картина имеет вид чередующихся концентрических темных и светлых кругов с центрами на оси отверстия вокруг центрального светлого пятна. Внешнее угловое распределение интенсивности света мало отличается от случая дифракции на щели. Первый минимум соответствует углу φ₁ = 1, 22 , где D – диаметр отверстия. Угол φ₁, называемый углом дифракционного расширения пучка света, определяет угловое разрешение оптических приборов (линза, телескоп). Этот предел возможного разрешения прибора накладывается волновой природой света и не может быть превзойден никакими техническими усовершенствованиями.

Дифракция на одномерной дифракционной решетке. Дифракционной решеткой называется совокупность большого числа одинаковых по ширине b параллельных щелей в плоском непрозрачном экране, разделенных одинаковыми по шириной а непрозрачными промежутками. Расстояние d = а + b между серединами соседних щелей называется периодом (или постоянной) дифракционной решетки.

Дифракционная решетка – спектральный прибор, служащий для разложения света в спектр и измерения длины волны.

Каждая щель излучает в направлении угла дифракции φ свет. Оптическая разность хода двух лучей, идущих от соответствующих точек соседних щелей, определяется выражением ∆ = d sin φ (рис. 21).

В направлениях (для углов φ), для которых разность хода равна четному числу полуволн, наблюдается интерференционный максимум.

В направлениях (для углов φ), для которых разность хода равна половине длины волны или нечетному числу полуволн, возникает интерференционный минимум.

В направлениях, где углы φ удовлетворяют условию d sin φ = m (m = 0, 1, ), наблюдаются главные максимумы дифракционной картины, колебания от отдельных щелей взаимно усиливают друг друга, вследствие чего амплитуда колебаний в соответствующей точке экрана равна А = NA_φ, где N – число щелей в дифракционной решетке, A_φ - амплитуда колебания, посылаемого одной щелью под углом φ. Аналогично для интенсивности света главных максимумов имеем выражение I = N²I_φ. Число m дает порядок главного максимума. Максимум нулевого порядка только один, максимумов 1-го, 2-го и т. д. порядков имеется по два.

Направления bsin φ = k (k = 0, 1, ) (условие минимумов) определяют положение точек, в которых интенсивность, создаваемая каждой из щелей в отдельности, равна нулю.

В промежутках между соседними главными максимумами имеется N – 1 добавочных минимумов, которые определяются условием

dsin φ = ( = 1, 2, , N -1, N + 1, , 2N – 1, 2N + 1, ).

Между дополнительными минимумами располагаются слабые вторичные максимумы. Число таких максимумов, приходящееся на промежуток между соседними главными максимумами, равно N – 2.

Количество m наблюдающихся главных максимумов определяется как m .

Положение главных максимумов зависит от длины волны . При пропускании через решетку белого света все максимумы, кроме центрального, разложатся в спектр, фиолетовый конец которого обращен к центру дифракционной картины, красный – наружу. Дифракционная решетка сильнее отклоняет красные лучи, а стеклянная призма сильнее отклоняет фиолетовые лучи.

Основными характеристиками всякого спектрального прибора является его дисперсия и разрешающая способность.

Дисперсия D определяет угловое или линейное расстояние между двумя спектральными линиями, различающимися по длине волны на единицу (например, на 1 Å).

Угловой дисперсией называется величина D = = , где ∆ - угловое расстояние между спектральными линиями, различающимися по длине волны на ∆ .

Линейной дисперсией называется величина D = = D, где ∆l – линейное расстояние на экране или на фотопластинке между спектральными линиями, различающимися по длине волны на ∆ , - фокусное расстояние линзы, собирающей дифрагирующие лучи на экране.

Разрешающей силой называется безразмерная величина R = = mN, определяющая минимальную разность длин волн ∆ , при которой две линии воспринимаются в спектре раздельно, пропорциональная порядку спектра m и числу щелей N.

Дифракционные решетки бывают прозрачные и отражающие. Прозрачные решетки изготавливаются из стеклянных или кварцевых пластинок, на поверхность которых наносятся параллельные штрихи. Промежутки между штрихами служат щелями.

Отражательные решетки наносятся алмазным резцом на поверхность металлического зеркала. Свет падает на отражательную решетку наклонно. При этом решетка с периодом d действует так, как при нормальном падении света действовала бы прозрачная решетка с периодом dcos φ, где φ - угол падения.