- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко математический анализ
- •Часть 3
- •Учебное пособие
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко
- •Часть 3
- •Введение
- •1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •1. Определение дифференциального уравнения первого порядка.
- •2. Решение уравнения. Задача Коши.
- •5. Уравнение с разделяющимися переменными.
- •6. Однородные уравнения первого порядка.
- •6. Линейные уравнения.
- •Согласно условию
- •Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Основные понятия.
- •1.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
- •Основные понятия.
- •1.4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем
- •Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем
- •1.5. Применение линейных дифференциальных уравнений к изучению колебательных явлений
- •1.6. Системы дифференциальных уравнений
- •Задачи к п. 1
- •Ответы к п. 1
- •2. Кратные интегралы
- •2.1. Двойные интегралы
- •2.3. Замена переменных в двойном интеграле
- •2.4. Некоторые геометрические и физические приложения двойных интегралов
- •Решение. Имеем
- •2. Вычисление площади. Как было установлено, площадь s области g может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле
- •Задачи к п. 2.1
- •Ответы к п. 2.1
- •2.2. Тройные интегралы
- •Задачи к п. 2.2
- •Ответы к п. 2.2
- •3. Криволинейные интегралы
- •3.1. Криволинейные интегралы Вычисление криволинейных интегралов
- •Таким образом, окончательно имеем
- •Пример 6. Вычислить интеграл где:
- •3.2. Формула Грина
- •3.3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
- •3.4. Интегрирование полных дифференциалов
- •Формула
- •Решение. В данном выражении функции
- •Решение. В данном случае функции
- •3.5. Некоторые приложения криволинейных интегралов второго рода
- •Задачи к п. 3
- •Ответы к п. 3
- •4. Поверхностные интегралы
- •4.1. Поверхностные интегралы. Вычисление поверхностных интегралов
- •4.2. Формула Остроградского
- •4.3. Формула Стокса
- •Задачи к п. 4
- •Ответы к п. 4
- •Библиографический список
- •Главление
- •1. Обыкновенные дифференциальные уравнения............4
- •2. Кратные интегралы ……….……………....…………......63
- •Бырдин Аркадий Петрович
- •Часть 3
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
1.5. Применение линейных дифференциальных уравнений к изучению колебательных явлений
Л инейные дифференциальные уравнения являются мощным аппаратом в решении задач о колебаниях, занимающих значительное место в современной технике и физике. Познакомимся с одной из них с задачей о колебании груза, подвешенного на вертикальной пружине.
П
Рис. 4
Совместим начало координат с положением равновесия груза, а ось Оу направим вертикально вверх. Обозначим через расстояние от конца нерастянутой пружины без груза до положения равновесия груза, а через у отклонение груза от положения равновесия в момент времени t (рис. 4). На груз действует сила, равная сумме следующих трех сил: 1) силы тяжести груза mg, направленной вниз; 2) силы сопротивления среды, направленной в сторону, противоположную движению груза, и по величине пропорциональной скорости движения груза, т. е. равной где коэффициент пропорциональности; 3) упругой силы пружины, направленной вверх (т. е. в положительном направлении оси Оу), величина которой, по закону Гука, пропорциональна деформации, т. е. равна где с коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом жесткости пружины (масса пружины не учитывается).
Согласно второму закону Ньютона получаем следующее уравнение движения груза:
Так как в положении равновесия ( ) вес груза mg уравновешивается упругой силой пружины, то . Поэтому или
(1.48)
Получено дифференциальное уравнение, которое называется уравнением свободных колебаний груза, подвешенного на пружине.
Если на груз действует внешняя сила, направленная вертикально (вдоль оси Оу), величина которой зависит от времени t, то уравнение (1.48) принимает вид
(1.49)
Уравнение (1.49) называется уравнением вынужденных колебаний груза, подвешенного на пружине.
Разделив все члены уравнения (1.49) на m и обозначая получаем окончательный вид уравнения вынужденных колебаний:
(1.50)
Уравнение (1.50) представляет собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Перейдем теперь к исследованию колебаний, применяя известные решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
С в о б о д н ы е к о л е б а н и я. Пусть отсутствуют внешняя сила и сопротивление среды ( ). Тогда уравнение (1.50) принимает вид
Это линейное однородное уравнение. Характеристическое уравнение имеет корни , и общее решение уравнения определяется формулой
где и произвольные постоянные. Для удобства дальнейших рассуждений заменим произвольные постоянные и постоянными и , полагая (отсюда и ). Тогда
,
и общее решение можно записать в виде
(1.51)
Формула (1.51) выражает закон движения груза, подвешенного на пружине, т. е. отклонение у груза от положения равновесия в любой момент времени t. Согласно этой формуле груз совершает, как говорят, свободные гармонические колебания около положения равновесия. Величина А называется амплитудой колебаний, частотой колебаний и начальной фазой.
Для того чтобы выделить из общего решения частное, необходимо задать начальные условия движения. Пусть в начальный момент времени t = 0 отклонение и скорость груза известны:
(1.52)
Тогда, дифференцируя, получаем
(1.53)
подставляя начальные условия (1.52) в (1.51) и (1.53), имеем
(1.54)
Отсюда, выражая произвольные постоянные А и через и и подставляя их значения в (1.51), получаем искомое частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (1.52).
Из формул (1.54), в частности, следует, что постоянные А и зависят от частоты колебаний и начальных условий движения. Частота же колебаний не зависит от начальных условий, а зависит от отношения коэффициента жесткости пружины к массе груза .
Пусть теперь отсутствует внешняя сила , но имеет место сопротивление среды ( ), например сопротивление воздуха. В этом случае уравнение (1.44) принимает вид
. (1.55)
Характеристическое уравнение имеет корни . Здесь возможны три случая.
1) . Тогда корни и действительные, различные и отрицательные. Общее решение уравнения (1.55) имеет вид
.
Из полученной формулы следует, что груз колебаний не совершает, при неограниченном возрастании t отклонение груза у бесконечно долго приближается к положению равновесия ( при ). В этом случае говорят, что груз совершает непериодическое затухающее движение.
2) . Тогда корни действительные равные и отрицательные. Общее решение уравнения (1.55) имеет вид
В этом случае груз совершает движение, аналогичное предыдущему.
3) . Тогда корни и комплексные. Общее решение уравнения (1.55) имеет вид где . Заменяя и на постоянные А и , запишем решение уравнения (1.55) в виде .
Здесь, в отличие от формулы (1.51), амплитуда зависит от времени t. Так как , то амплитуда стремится к нулю при . Поэтому в данном случае груз совершает свободные затухающие колебания около положения равновесия.
В ы н у ж д е н н ы е к о л е б а н и я. Р е з о н а н с. Рассмотрим теперь случай, когда на колебательную систему действует периодическая внешняя сила предполагая для простоты, что сопротивление среды отсутствует ( = 0). В этом случае уравнение (1.55) принимает вид
(1.56)
Это линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Известно, что общее решение этого уравнения является суммой общего решения Y соответствующего однородного уравнения, которое было найдено выше (см. формулу (1.51)), и частного решения неоднородного уравнения, которое надо найти.
Рассмотрим отдельно два случая.
а) , т. е. частота внешней периодической силы отлична от частоты свободных колебаний груза. Так как число не совпадает с корнем характеристического уравнения , то частное решение можно найти в виде
.
Дифференцируя дважды и подставляя и в уравнение (1.56), найдем: Таким образом,
и общее решение уравнения (1.53) имеет вид
(1.57)
Как следует из формулы (1.57), частное решение определяет колебание системы, создаваемое внешней силой, общее решение свободное колебание груза, а общее решение у сложное колебательное движение, получающееся в результате сложения двух колебаний с разными частотами и .В этом случае амплитуда постоянна, и если и близки по величине, то груз совершает колебания около положения равновесия с большой амплитудой.
б) = , т. е. частота внешней периодической силы совпадает с частотой свободных колебаний груза. Так как i =i корень характеристического уравнения , то в этом случае частное решение следует искать в виде
Дифференцируя дважды и подставляя и в уравнение (1.56), найдем: . Таким образом,
и общее решение уравнения (1.56) имеет вид
Как следует из найденной формулы, в данном случае, как и в предыдущем, имеет место сложное колебательное движение, получающееся в результате сложения двух колебаний, но с одинаковыми частотами.
Наличие множителя t во втором члене свидетельствует, что амплитуда колебаний неограниченно возрастает при неограниченном возрастании времени t, т. е. груз будет совершать через некоторый промежуток времени колебания с очень большой амплитудой, даже если амплитуда а внешней силы мала. Это явление называется резонансом. Иногда оно приводит к разрушению колеблющихся систем.
На примере груза, подвешенного на пружине, рассмотрен случай механических колебаний упругих систем (к ним относится колебание на рессорах вагонов, автомобилей и т. п.). Аналогичное исследование проводится и при изучении электрических, звуковых и многих других колебаний. Главную роль в этих исследованиях играют линейные дифференциальные уравнения.
В заключение отметим, что изложенная теория линейных дифференциальных уравнений второго порядка полностью переносится и на линейные дифференциальные уравнения любого порядка.