6.1.2. Пространственный косой изгиб

6.13. Подобрать размеры поперечного сечения балки (рис. 6.12), если h=1,5b, [σ]=10 МПа, ℓ=1 м, α=30⁰, Р=1,8 кН.

6.14. Проверить прочность балки (рис. 6.13), если h=20 см, b=12 см, [σ]_р=60 МПа, [σ]_с=150 МПа, Р=240 кН, а=0,5 м.

6.15. Для заданной балки (рис. 6.14) определить из условия прочности отношения сторон h/b, при котором она будет иметь минимальный вес, если [σ]=160 МПа, ℓ=1 м, М=20 кНм.

6.16. Подобрать поперечное сечение балки (рис.6.15), если [σ]=160 МПа, α=30⁰, Р=20 кН, а=1 м, М=2 Ра.

6.2. Изгиб с растяжением (сжатием)

6.17. Определить допускаемую нагрузку для короткой полой чугунной стойки большой жесткости (рис. 6.16.), если h=1,5а, b=а, [σ]_р=30 Н/мм², [σ]_с=90 Н/мм², d=2a, а=60 мм.

Решение

1 . Оси х, у сечения – главные центральные оси, так как они являются осями симметрии. В связи с тем, что сила Р параллельна оси бруса z , но с ней не совпадает, брус работает в условиях изгиба со сжатием. Полюс не лежит ни на одной из главных центральных осей сечения. Поэтому, приводя силу Р к центру тяжести сечения, будем в этом случае иметь сочетание центрального сжатия с чистым косым изгибом, который рассматриваем как два чистых прямых изгиба во взаимно перпендикулярных плоскостях YOZ и XOZ.

2. С точки зрения прочности бруса все его сечения будут равноопасными, так как внутренние силовые факторы по длине бруса остаются неизменными (силу тяжести бруса не учитываем).

Допускаемую нагрузку [P] определяем из условия прочности. Так как материал бруса (чугун) имеет разные допускаемые напряжения на растяжение и сжатие, то условия прочности в этом случае будут иметь вид

max σ_р ≤ [σ]_р; max |σ|_с ≤ [σ]_с.

где max σ_р и max |σ|_с – соответственно максимальные растягивающие и сжимающие напряжения, возникающие в точках поперечного сечения бруса, наиболее удаленных от нейтральной (нулевой) линии.

3. Устанавливаем положение нейтральной линии, вычислив отрезки, отсекаемые ею на осях координат х, у (главных центральных осях) [I]

где - координаты точки приложения силы Р (см. рис. 6.16.); - радиусы инерции сечения относительно главных центральных осей х, у. Здесь F, J_x, J_y – соответственно площадь и главные центральные моменты инерции сечения

Вычерчиваем поперечное сечение бруса в масштабе, откладываем отрезки а_х, а_у и проводим через полученные точки С, D нейтральную линию (рис. 6.17). Затем проводим касательные к контуру сечения, параллельные нейтральной линии и находим наиболее удаленные от нейтральной линии точки А, В. Нейтральная линия и точка приложения нагрузки Р (полюс) лежат по разные стороны от центра тяжести. Нейтральная линия делит сечение на растянутую и сжатую зоны. В точке А возникают наибольшие сжимающие напряжения, а в точке В – наибольшие растягивающие напряжения. Для определения координат точек А, В найдем вначале угол наклона нейтральной линии к оси х:

Координаты наиболее нагруженных точек А, В определим, используя перпендикулярность отрезка АВ нейтральной линии:

4. Вычисляем наибольшее растягивающее и наибольшее сжимающее напряжения, выразив их через Р [4]:

5. Для определения допускаемой нагрузки [P] записываем условие прочности. Хотя , расчет на прочность выполняем для обеих точек, учитывая, что чугун значительно хуже работает на растяжение, чем на сжатие:

Выбираем силу, удовлетворяющую обоим условиям прочности, т.е. [P]=102 кН.

6.18. Стальной брус двутаврового сечения растягивается силой Р, приложенной в точке А (рис. 6.18). Проверить прочность бруса, если

Решение

1 . Брус подвергается изгибу с растяжением, который можно представить как сочетание центрального растяжения и двух чистых прямых изгибов (полюс-точка А – не лежит ни на одной из главных центральных осей сечения х, у).

Геометрические характеристики двутавра № 30 берем из таблиц сортамента (см. приложение 1):

h=30 см; b = 13,5 см; F = 46,5 см²; W_x=472 см³;W_y=49,9 см³.

Координаты полюса х_р=6,75 см, у_р=15 см.

2. Поперечное сечение бруса имеет две оси симметрии и угловые точки, наиболее удаленные одновременно от обеих главных центральных осей. Так как материал бруса одинаково работает на растяжение и сжатие, то опасной будет угловая точка А, поскольку в этой точке возникают растягивающие напряжения как от нормальной силы N=P=80·10³ Н, так и от обоих изгибающих моментов:

3. Условие прочности имеет вид

Условие прочности выполняется, так как меньше .

6.19. Установить прочность какой полосы выше: с одной выточкой шириной а (рис. 6.19,а) или с двумя выточками шириной а (рис. 6.19,б), если Р=60 кН, h=8 мм, b=100 мм, а=10 мм.

6.20. Во сколько раз максимальные напряжения в полосах, соединенных сварным швом внахлестку, превосходят напряжение в целой полосе (рис. 6.20)? Ширина полос b одинакова.

6.21. Основание стойки имеет размеры 20х30 см (рис. 6.21). Определить наибольшее нормальное напряжение в основании стойки, если Р=300 кН. Чему будет равно это напряжение, если основание стойки сделать из бруса с поперечным сечением 20х20см?

6.22. На кромке стальной полосы (рис. 6.22) появилась трещина. Полоса работает на растяжение. Чтобы трещина не распространялась дальше, на ее месте выфрезеровали галтель шириной а. Найти, насколько при этом увеличатся напряжения в полосе? Принять Р=60 кН, b=100 мм, h=8 мм, а=10 мм.

6.23. В точках А двух колонн, имеющих круглое и прямоугольное поперечное сечения (рис. 6.23), приложены сжимающие силы Р. После нагружения напряжения в точках С обеих колонн оказались одинаковыми. Сравнить напряжения в точках В колонн.

P

6.24. Стальная полоса (рис. 6.24) растягивается силой Р=80 кН. Какой глубины может быть сделана выточка в полосе, чтобы наибольшие напряжения в ней не превышали 150 МПа? Концентрацию напряжений в выточке не учитывать.

6.25. Определить необходимую толщину t стальной полосы (рис. 6.25) шириной b=180 мм, растягиваемой двумя параллельными ее оси силами Р=90 кН, если МПа.

6.26. Какие напряжения (растягивающие или сжимающие) приведут к разрушению бетонной колонны прямоугольного сечения, если сжимающая ее сила приложена: а) в точке А; б) в точке В (рис. 6.26.)? Предел прочности бетона при сжатии в 10 раз больше предела прочности при растяжении. Считать справедливым закон Гука вплоть до разрушения.

6.27. Стойка, поперечное сечение которой изображено на рис. 6.27, сжимается силой Р=100 кН, приложенной в точке А. Определить размеры поперечного сечения стойки, если МПа, b=2d.

6.28. Стальная стойка сжимается силой Р, приложенной в точке А (рис. 6.28). Определить допускаемую нагрузку для стойки, если ее поперечное сечение: а) двутавр № 10; б) швеллер № 8.

6.29. Проверить прочность стального стержня, имеющего в поперечном сечении равнобокий уголок № 5 (50х50х5). Стержень растянут силой Р=8 кН, приложенной в точке А (рис. 6.29). Принять МПа.

6.30. Проверить прочность нижней части бетонного столба прямоугольного поперечного сечения (рис. 6.30), если МПа, МПа. Размеры даны в см.

6.31. В точках А и В колонны прямоугольного сечения (рис. 6.31) приложены одинаковые силы Р. Как изменится наибольшее сжимающее напряжение, если одну из сил убрать?

6.32. На боковой грани стального внецентренного растянутого бруса (рис. 6.32) наклеен тензодатчик А. Линейная деформация в направлении его базы, ориентированной вдоль оси образца, оказалась равной Определить величину усилия Р, если эксцентриситет е=20 мм, b=60 мм, h=30 мм, Е=2·10⁵ МПа.

6.33. При испытании плоского стального образца на внецентренное растяжение (рис. 6.33) нормальные напряжения в крайних волокнах оказались равными Определить растягивающую силу Р и ее эксцентриситет е, если b=60 мм, t=5 мм.