Примеры решения задач
1.
Найти магнитную индукцию создаваемую
витком в форме квадрата со стороной а
в точке Р, находящейся на расстоянии а
от вершин квадрата (рис.1.2). По витку идет
ток I.
Решение.
Индукция поля, создаваемая одной стороной квадрата
.
В соответствии с принципом суперпозиции
.
Учитывая, что ,
,
,
получим
,
.
Из чертежа следует, что
, ,
;
Окончательно
.
2. Ток I=5 А течет по тонкому замкнутому проводнику (рис. 1.3). Радиус изогнутой части проводника R=120мм, угол 2𝜑=. Найти магнитную индукцию в точке О.
Решение.
В соответствии с принципом суперпозиции
,
где индукция создается током, текущим
по элементу окружности, а - по отрезку
прямой. Найдем численные значения
:
.
Проведем преобразование
,
.
.
Так как векторы и направлены в одну сторону, то
3.
Найти магнитную индукцию в точке О, если
проводник с током I
имеет вид показанный на рис.1.4а. Радиус
изогнутой части проводника R,
прямолинейные участки проводника очень
длинные.
Решение.
,
где
создаются соответствующими проводниками
с токами .
Частные значения индукции найдем по формулам
,
где I1=I
,
где I2=
I.
.
, где .
.
.
Векторы
и направлены в противоположные стороны
и численно равны, поэтому их сумма равна
нулю (см рис.1.4б). Численное значение
результирующего вектора определяется
по теореме Пифагора, т.к и образуют
прямой угол.
.
4.
Ток I течет по тонкому
проводнику, который имеет вид правильного
n-угольника, вписанного
в окружность радиуса R.
Найти магнитную индукцию в центре
данного контура. Исследовать полученное
выражение при .
Решение.
Как следует из рис.2.5 , , .
Индукция в центре многоугольника
,
где .
Проведем преобразования
.
,
где
.
При и
Таким образом, при
5.
По тонкому проводящему кольцу радиуса
R течет ток I.
Вывести приближенную формулу расчета
магнитной индукции в точке А, лежащей
в плоскости кольца на расстояние r<R
от центра кольца.
Решение.
Применим закон Био-Савара
где - единичный вектор вдоль ВА (рис.1.6).
С учетом
,
,
получим
.
Найдем
и ВА. Из чертежа следует
,
,
.
Из теоремы косинусов .
Значение индукции поля определяется интегралом
где .
.
Воспользуемся разложением функции в бесконечный ряд Ньютона и ограничимся первыми тремя членами:
…
В соответствии с этим
.
В результате интегрирования получим
.
Если , то .
6.
По тонкому проводящему кольцу радиуса
R течет ток I.
Определить аксиальную Bx
и радиальную Ву
составляющие магнитной индукции в
точке N, расположенной
на перпендикуляре MN (MN=r)
к оси кольца. Точка М лежит на оси на
расстоянии х от центра кольца (рис
1.7)
Решение.
Построим замкнутую поверхность в виде цилиндра радиусом r и длиной dx с осью, проходящей через точку N, и воспользуемся теоремой Гаусса для поля
, Ф1-Ф2+Ф3=0,
где - поток через боковую поверхность.
-
входящий поток через основание цилиндра.
-
выходящий поток через основание цилиндра.
.
Проведя преобразования, установим связь между аксиальной и радиальной составляющими магнитной индукции
.
Аксиальную составляющую получим, используя формулу для магнитной индукции на оси кольца
.
Дифференцируя Bx по dx, получим
.
С учетом этого
.
7. Имеется круговой виток с током I.
Найти интеграл вдоль оси витка в пределах
от до
.
Объяснить полученный результат.
Решение.
Произведем замену
.
Интеграл можно рассматривать как , т.к. пределы интегрирования позволяют заключить, что обход производится по контору, замыкающемуся в бесконечности, и полученное выражение рассматривать, как результат использования теоремы о циркуляции вектора
8. Постоянный ток I течет по длинному прямому проводу и далее растекается радиально - симметрично по проводящей плоскости, перпендикулярной к проводу. Найти индукцию магнитного поля во всех точках пространства.
Решение.
Ток,
текущий по длинному прямому проводу
создает магнитную индукцию в пространстве
над проводящей плоскостью. В пространстве
проводящей плоскости В=0, т.к. магнитные
поля соседних токов направлены в
противоположные стороны (рис. 2.8) и
взаимно компенсируются.
9.
Тонкий провод (с
изоляцией) образует плоскую спираль из
N=100
плотно расположенных витков, по которым
течет ток I=8мА
(рис. 1.9).
Радиусы внутреннего и внешнего витков
а=50мм, в=100мм.
Найти: а) индукцию магнитного поля в
центре спирали; б) магнитный момент
спирали при данном токе.
Решение.
Применим формулу для расчета магнитной
индукции в центре проводника с током
.
Плоскую спираль можно рассматривать
как ленту, где линейная плотность тока
равна 
.
Ток, проходящий по элементу ленты шириной
dr, равен
.
С учетом этого
.
Интегрируя, получим
.
Аналогичный результат для индукции магнитного поля дает использование закона Био-Савара-Лапласа
,
где dl-элемент
спирали, создающий dB.
,
.
.
Магнитный момент спирали находится следующим образом
,
.