Учебное пособие 800180
.pdfФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический
университет»
Кафедра прикладной математики и механики
ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к типовому расчету “Интегрирование” по дисциплине «Математика» для студентов направления
15.03.01 «Машиностроение» профиль («Оборудование и технология сварочного производства»)
очной формы обучения
Воронеж 2015
Составители: канд. физ.-мат. наук В.В. Горбунов, канд. физ.-мат. наук Т.И. Костина, канд. техн. наук О.А. Соколова
УДК 517.2 (07)
Задания и методические указания к типовому расчету “Интегрирование” по дисциплине «Математика» для студентов направления 15.03.01 «Машиностроение» профиль («Оборудование и технология сварочного производства») очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. В.В. Горбунов, Т.И. Костина, О.А. Соколова. Воронеж, 2015. 32 с.
Методические указания предназначены для активизации самостоятельной работы студентов по высшей математике. Они содержат тридцать вариантов индивидуальных домашних заданий и решение типового варианта. Методические указания предназначены для студентов первого курса.
Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS WORD и содержатся в файле
“ТР_ИнтегрМс15.pdf”.
Ил. 2. Библиогр.: 3 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. А.А. Сидоренко
Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. В.И. Ряжских
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2015
2
Задача №1. Найти неопределенные интегралы.
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ln |
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x |
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|
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. 1.16. |
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sin x cos x dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ln |
2 |
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
|
x |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
1.17. |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
1.18. |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
(x |
|
) |
|
|
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|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos |
|
|
|
cos |
(x |
) |
|
x dx . |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1.19. |
|
arctgx x |
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.20. |
(arcsin x) |
4 |
|
x |
dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1.21. |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.22. |
|
(arccos x)3 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin |
|
x |
1 |
|
|
|
|
sin x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
1.23. |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x cos x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
sin x 1 sin |
|
1.24. |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
x |
4 |
2 |
x dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
(3 |
|
4 ln x ln |
3 x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1.25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
1.26. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
4) |
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.27. |
|
|
|
1 |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.28. |
|
|
|
(x 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||||
1.29. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dx |
|
1.30. |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos xdx. . |
||||||||||||||||
ln |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
sin |
2 |
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 1 x |
|
|
|
sin |
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Задача №2. Найти неопределѐнные интегралы с помощью интегрирования по частям:
2.1. |
(x2 2) sin 2xdx. |
||
2.3. |
(x 4)e3x dx . |
||
2.5. |
(1 2x)e2 x dx. |
||
|
arctg |
|
|
2.7. |
4x 1dx . |
2.9. (5x 2)e3x dx. . 2.11. x sin 2 x dx. 2.13. e 3x (2 x)dx. 2.15. (x2 x) ln x dx. . 2.17. x arctg3x dx
2.19. (x 5) sin 3xdx. . 2.21. (4x 7) cos 3xdx. . 2.23. (2 4x) sin 2xdx.. 2.25. (3x 2) cos 5xdx. .
2.2.(x2 x) cos 2xdx. .
2.4.arccos 2x dx .
2.6.(2x 1) ln 2 x dx.
2.8.(4x 2) cos 2xdx. .
2.10.e 2 x (4x 3)dx.
2.12.ln(x2 4)dx. .
2.14.arctg 3x 2 dx.
2.16.e 2 x (2 9x)dx.
2.18.arcsin 2x dx .
2.20.(4x2 1) ln x dx.
2.22.(x2 x)e3x dx.
2.24.(2x 1) ln x dx.
2.26.(2x2 x) sin 2x dx.
2
2.27. x arctg 2x dx . 2.29. (7x 10) sin 4xdx. .
2.28.ln(2x2 1) dx.
2.30.arctg 3x 1 dx.
Задача №3. Найти неопределѐнные интегралы.
3.1 |
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
dx. |
3.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
(x 1)(x |
2) |
3 |
(x |
|
2)(x |
2) |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3.3. |
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 x 2 |
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||||||||||||
|
(x 2)x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 1)(x 1)2 (x 2) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.5. |
|
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 3x |
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 2)(x 1) |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(x 2)x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3.7. |
|
|
|
|
x 3 |
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
(x 1)x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 1)(x 2)3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.9. |
|
|
|
|
|
|
x2 2 |
|
|
|
|
|
|
dx. |
3.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 x 2 |
|
|
|
dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
(x 1)(x 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
1)(x 2) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.11. |
|
x2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
3.12. |
|
|
|
|
|
|
x3 3 |
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
x(x 1) |
2 |
(x |
2) |
|
x |
2 |
(x |
2 |
x |
|
2) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3.13. |
|
x3 x2 1 |
|
|
|
|
dx. |
3.14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||||||||||||||||||||
(x 3)(x |
1) |
2 |
|
x |
|
(x 1)(x 1)(x |
2) |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.15. |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
3.16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 1 |
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
(x 1)(x |
1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 2) |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
(x |
|
4x 3) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3.17. |
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
3.18. |
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(x 2)(x 2)3 |
(x 2)2 (x 2)2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.19. |
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
3.20. |
|
|
|
|
|
|
2x3 x 8 |
|
|
|
dx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(x 1) |
2 |
(x 2) |
2 |
|
|
x |
2 |
(x |
4)(x |
2) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
3.21. |
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
3.22. |
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||
|
x(x 3) |
2 |
(x |
1) |
|
|
(x |
2)x |
3 |
|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.23. |
2x 1 |
|
|
dx. |
|||||||||
|
|||||||||||||
(x 2)(x 1)3 |
|||||||||||||
3.25. |
x 3 |
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(x 1) |
2 |
(x |
2) |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3.27. |
x2 |
|
3x |
|
|
|
|
|
dx. |
||||
(x 2) |
2 |
(x |
1) |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3.29. |
2x3 8 |
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||||
x(x 4)(x |
2) |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x 4
3.24.(x 2)(x 1)3 dx.
3.26. |
|
|
|
|
x |
|
|
|
dx. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(x |
2)(x |
1) |
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
3.28. |
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
dx. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(x 2) |
2 |
(x |
|
1) |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.30. |
|
|
|
2x3 x2 1 |
|
dx. |
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
(x 3)(x 1) |
Задача №4. Найти неопределѐнные интегралы.
4.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
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|
|
dx. |
|||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||
(x |
2 |
1)(x |
2 |
x |
2) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
4.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(x |
2 |
x 1)(x |
2 |
|
|
1) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
4.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(x 1) |
2 |
(x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2x 2) |
||||||||||||||||||||||||||
4.7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
9 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4.9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
2 |
(x |
2 |
2x |
2) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
4.11. |
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(x |
|
1) |
2 |
(x |
2 |
1) |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4.13. |
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x |
1) |
|
(x |
|
1) |
||||||||||||||||||
4.15. |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(x |
|
1) |
2 |
(x |
2 |
9) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
4.17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
x |
1)(x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x |
|
|
|
|
2) |
x 2
4.2. (x 1)2 (x2 9) dx.
x 2
4.4. x2 (x2 4x 5) dx.
x 1
4.6. (x2 x 1)(x2 1) dx.
x 1
4.8. (x2 x 1)(x2 2) dx.
x
4.10. (x2 x 2)(x2 2) dx.
x 2
4.12. x2 (x2 4x 5) dx.
1
4.14. (x 1)2 (x2 4x 5) dx.
x 1
4.16. (x 1)2 (x2 4) dx.
2x 1
4.18. (x 1)2 (x2 1) dx.
4
4.19. |
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
dx. |
|
|
4.20. |
|
|
2x 3 |
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
x 2) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
(x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
(x |
|
9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4.21. |
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
4.22. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 2 |
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
2 |
4x |
|
|
|
|
|
|
(x 1) |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
(x |
|
5) |
|
|
|
|
|
|
(x |
|
x 1) |
|||||||||||||||||||||||||||||
4.23. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
dx. |
4.24. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
(x |
2 |
x 1)(x |
2 |
1) |
|
x |
2 |
(x |
2 |
x 2) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
4.25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
dx. |
4.26. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(x |
3) |
2 |
(x |
2 |
2x |
2) |
|
x |
2 |
(x |
2 |
|
x 1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
4.27. |
|
|
|
|
3x 2 |
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
4.28. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
dx. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1) |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x 1)(x |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(x |
|
|
(x |
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
(x |
|
|
|
1) |
|||||||||||||||||||||||||
4.29. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
4.30. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||
|
|
|
|
3) |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x 1)(x |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(x |
|
(x |
|
1) |
|
|
|
|
(x |
|
|
|
|
|
1) |
Задача №5. Найти неопределѐнные интегралы.
5.1. |
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3cos x |
4sin x |
|||||||
|
|
|
|||||||
5.3. |
|
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
5 |
3cos x |
|
||||||
5.5 |
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2sin x 3cos x |
|||||||||
|
|
||||||||
5.7. |
|
|
dx |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
5sin x 3cos x |
||||||||
|
|||||||||
5.9. |
|
|
dx |
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
cos x 3sin x |
|
||||||
5.11. |
dx |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
2sin x cos x |
|||||||||
|
|
|
|
5.13. |
|
dx |
|
|
|
||
2 |
3cos x sin x |
||
|
.
.
dx
5.2. 3 cos x .
dx
5.4. 5 4sin x .
dx
5.6. 2 cos x .
5.8. sin x cos xdx . 2 cos x
5.10. |
sin x cos x |
dx . |
||
|
|
|||
|
|
2 cos x |
||
5.12. |
|
cos x |
dx . |
|
|
|
|||
|
1 |
cos x |
5.14. sin x cos xdx . 1 cos x
5
5.15. |
|
dx |
||
|
|
|
||
5 |
2sin x 3cos x |
|||
|
||||
5.17. |
|
dx |
||
|
|
|
||
5 |
4sin x 2 cos x |
|||
|
5.19. |
3sin x 2 cos x |
dx . |
||||
|
||||||
|
|
1 cos x |
|
|
||
5.21. |
|
dx |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
5 |
3cos x 5sin x |
|||||
|
||||||
5.23. |
|
dx |
. |
|
||
|
|
|
|
|||
5cos x 10sin x |
||||||
|
|
|
||||
5.25. |
|
dx |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
3 |
2 cos x sin x |
|||||
|
.
.
.
5.16. |
|
|
cos x |
dx . |
||||
1 cos x |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
5.18. |
|
|
cos xdx |
. |
||||
|
|
|
||||||
|
|
5 |
3cos x |
|||||
5.20. |
|
sin xdx |
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
2sin x 3cos x |
|||||||
5.22. |
|
cos xdx |
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
2sin x 3cos x |
5.24. 3 cos x . 5.26. sin x cos xdx .
5.27. |
|
dx |
. |
5.28. |
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|||||
5 |
3cos x |
3 |
cos x |
|||||
|
|
|
|
|||||
5.29. |
|
dx |
|
5.30. |
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
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||||
5 |
4sin x |
|
2 |
cos x |
||||
|
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|
|
Задача №6. Найти неопределѐнные интегралы.
dx
6.1. sin 2 x sin x cos x 2 cos 2 x .
6.3. сos 2 x sin 4 xdx .
dx
6.5 sin 2 x 2sin x cos x 3cos 2 x .
6.7. сos 4 x sin 2 xdx .
dx
6.9. sin 2 x 3sin x cos x 4 cos 2 x .
6.11. сos 6 xdx .
6.2. сos 4 2x sin 2 2xdx .
6.4. cos3 xdx . 5 4sin x
6.6. сos 6 2x dx .
6.8. |
sin x sin 3 x |
dx . |
||||
|
|
|
||||
|
|
|
2 cos x |
|||
6.10. sin 6 2x dx . |
||||||
6.12. |
|
|
sin 3 x |
dx . |
||
|
|
|
||||
|
|
1 |
cos x |
6
6.13. |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
x 2sin x cos x |
||
|
|
|||
6.15. sin 6 xdx . |
|
|||
6.17. |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
x 2sin x cos x |
||
|
|
|||
6.19. sin 4 x dx . |
|
|||
6.21. |
|
|
dx |
. |
|
|
|
||
sin |
2 |
x sin x cos x |
||
|
|
|
6.23. сos 4 xdx .
dx
6.25. sin 2 x sin x cos x . 6.27. сos 2 2x sin 4 2xdx .
.
.
6.14. sin 4 2x dx .
6.16. |
|
|
sin x |
dx . |
|
1 |
cos x |
||||
|
|
6.18. sin 5 xdx .
6.20.сos 4 2x dx .
6.22.сos 5 xdx .
6.24. сos 4 x sin3 xdx .
6.26. sin x cos xdx . 3 cos x
6.28. сos 2 x sin3 xdx .
6.29. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. 6.30. сos 3 x sin 4 |
xdx . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
x 2sin x cos x cos |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||||||||
|
Задача №7. Найти неопределѐнные интегралы. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.1. |
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
7.2. |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
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|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6 |
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
x |
8 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 8 |
||||||||||||||||||||||
7.3. |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
7.4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4 |
|
x |
4 |
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 2x |
3 |
|||||||||||||||||||||||
7.5. |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
. |
|
|
7.6. |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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||||||
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
|
(x 5)2 4 x 5 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
7.7. |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
7.8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x |
5 |
4 |
|
|
x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 6x |
8 |
||||||||||||||||||||||
7.9. |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
. |
|
|
7.10. |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
3 |
|
(x 4)2 3 x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx
7.11. x 2 2 4 x 2 .
dx
7.13. . x2 2x
dx
7.15. 3 x 3 6 x 3 .
dx
7.17. x2 2x 3 .
dx
7.19. 3 x 4 26 x 4 .
7.21. |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
(x 1)2 2 |
|
x 1 |
||||||||||||||
7.23. |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x 4 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|||||||||||||||
7.25. |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
(x 5)2 |
|
|
x 5 |
|||||||||||||
7.27. |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x 1 2 |
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
dx
7.29. . x2 6x 8
.
.
dx
7.12. x2 6x 8 .
7.14. |
|
|
|
|
dx |
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
x 1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7.16. |
|
|
|
|
|
dx |
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x2 |
|
x 1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7.18. |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
|
x 5 |
|
|
|
dx
7.20. . x 2 2x
7.22. |
|
dx |
. |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
x 3 |
|||||
|
|
|
dx
7.24. x2 6x 10 .
7.26. |
|
|
dx |
. |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
x 3 |
|||
|
|
|
dx
7.28. 3 (x 4)2 2x 4 .
7.30. |
|
|
x dx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
x 4 |
|||
|
|
|
|
8