Учебное пособие 800226
.pdfВ.В. Дежин М.Л. Лапшина
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Учебное пособие
Воронеж 2011
ФГБОУВПО «Воронежский государственный технический университет»
В.В. Дежин М.Л. Лапшина
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
Воронеж 2011
0 |
1 |
УДК 517
Дежин В.В. Функции комплексного переменного: учеб. пособие / В.В. Дежин, М.Л. Лапшина. Воронеж: ФГБОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2011. 133 с.
Учебное пособие состоит из пяти глав, разбитых на параграфы. Оно содержит теоретический материал по разделу функции комплексного переменного, а также примеры решения задач.
Издание соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 230200 «Информационные системы», специальности 230201 «Информационные системы и технологии», дисциплине «Математика».
Предназначено для студентов очной формы обучения. Учебное пособие подготовлено в электронном виде в тек-
стовом редакторе MS Word и содержится в файле ФКП.pdf.
Ил. 31. Библиогр.: 15 назв.
Научный редактор д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов
Рецензенты: кафедра информационных систем и технологий Воронежского института высоких технологий (зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. Ю.С. Сербулов); д-р физ.-мат. наук, проф. В.Н. Нечаев
©Дежин В.В., Лапшина М.Л., 2011
©Оформление. ФГБОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2011
ВВЕДЕНИЕ
Раздел «Функции комплексного переменного» является одним из наиболее важных и сложных при изучении курса «Математика». Глубокое неформальное изучение таких основных понятий как комплексные числа, кривые и области на комплексной плоскости, основные элементарные функции комплексного переменного, дифференцирование функций комплексного переменного, интегрирование функций комплексного переменного, разложение функций комплексного переменного в ряды Лорана, применение вычетов к вычислению контурных интегралов и определенных интегралов необходимо при усвоении специальных курсов для специальности «Информационные системы».
Вглаве 1 пособия содержатся необходимые теоретические сведения по комплексным числам и действиям с ними.
Во 2-й главе пособия определяются основные элементарные функции комплексного переменного, вводится понятие аналитических функций комплексного переменного и их дифференцирования.
В3-й главе пособия излагается понятие интегрирования функций комплексного переменного, применение интегральной формулы Коши.
В4-й главе пособия изучается разложение функций комплексного переменного в ряды Лорана. Проводится классификация изолированных особых точек, определяется вычисление вычетов в изолированных особых точках.
В5-й главе рассматриваются вычеты и их приложение к вычислению интегралов.
Главы пособия разбиты на параграфы, в каждом из которых приведены примеры решения задач.
Пособие может использоваться как студентами, так и преподавателям для подготовки к практическим занятиям, контрольным работам, коллоквиуму, экзамену.
2 |
3 |
ГЛАВА 1 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ
1.1. Определение комплексного числа
Комплексными числами называются пары x, y действи-
тельных чисел x и y , если для них определены понятия равенства и операции сложения и умножения следующим обра-
зом: |
|
Два комплексных числа x1, y1 и x2, |
y2 |
|
|
|
1. |
считаются |
|||
равными тогда и только тогда, когда |
|
|
|||
|
|
x1 x2 и y1 y2. |
|
(1.1) |
|
|
2. |
Суммой двух комплексных чисел x1, |
y1 |
и x2, y2 |
|
называется комплексное число |
|
|
|
||
|
|
x1 x2, |
y1 y2 |
|
(1.2) |
|
3. |
Произведением двух комплексных чисел |
x1, y1 и |
||
x2, |
y2 |
называется комплексное число |
|
|
|
|
|
x1x2 y1y2, |
x1y2 x2y1 . |
|
(1.3) |
|
Из формул (1.2) и (1.3) вытекают соотношения: |
|
|||
|
x1, 0 x2, 0 x1 x2, 0 , |
x1, 0 x2, 0 x1x2, 0 , |
которые показывают, что операции над комплексными числами вида x, 0 совпадают с операциями над действительными
числами x. Поэтому комплексные числа вида x, 0 отождест-
вляются с действительными числами: x, 0 x .
Комплексное число 0,1 1 называется мнимой еди-
ницей и обозначается буквой i, т.е. i 0, 1 . Для произведения
i2 по формуле (1.3) имеем i2 i i 0,1 0,1 1, 0 1.
Из формул (1.2) и (1.3) вытекают также равенства: 4
0, y 0, 1 y, 0 iy,
x, y x, 0 0, y x iy.
Таким образом, каждое комплексное число x, y можно
представить в виде x iy. Запись комплексного числа в виде x iy называется алгебраической формой комплексного числа Комплексные числа вида iy называются чисто мнимыми. В
частности, число 0, т.е. комплексное число 0, 0 , является
единственным числом, которое одновременно и действительное и чисто мнимой.
С помощью алгебраической формы комплексного числа формулы (1)–(3) записываются таким образом:
1.x1 iy1 x2 iy2 тогда и только тогда, когда
|
|
|
x1 x2 и |
y1 y2. |
(1.4) |
|
2. |
x1, y1 |
+ x2, y2 |
= x1 x2 i y1 y2 . |
(1.5) |
||
3. x1 iy1 x2 |
iy2 x1x2 |
y1y2 i x1y2 x2y1 . |
(1.6) |
|||
Комплексное число x iy принято обозначать одной бук- |
||||||
вой z , |
т.е. z x iy. Число x называется действительной ча- |
|||||
стью, |
а число |
y |
– мнимой |
частью комплексного |
числа |
|
z x iy. Для этих чисел приняты обозначения: |
|
|||||
|
x Re x iy Rez , |
y Im x iy Imz . |
|
(Обозначения Re и Im являются сокращениями французских слов Réel (действительный) и Imaginaire (мнимый)). Здесь, как
и всюду в дальнейшем, предполагается, что x и |
y – действи- |
||||
тельные числа. |
|
||||
Комплексное число x iy называется |
комплексно |
||||
сопряжённым с числом x iy и обозначается: |
|
||||
|
z |
|
|
x iy . |
.(1.7) |
|
x iy |
Равенство z z имеет место в том и только в том случае, когда z – действительное число.
5
Пример 1.1. z 5 3i, тогда |
z |
5 3i. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Число |
|
|
|
|
x2 y2 называется модулем комплексного числа |
|||||||||||||||||||||||||||
z x iy и обозначается |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
x iy |
|
|
x2 y2 |
. |
(1.8) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Очевидно, |
|
z |
|
0, причем |
|
z |
|
|
0 тогда и только тогда, |
когда |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
z 0. Отметим две формулы |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
, |
|
(1.9) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zz |
|
|
z |
|
2 , |
(1.10) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которые вытекают из равенств (1.7), (1.8) и равенства zz x iy x iy x2 y2 .
Пример 1.2. z 5 3i, тогда |
|
z |
|
|
|
5 3i |
|
|
52 ( 3)2 |
|
|
|
|
|
34 , zz (5 3i)(5 3i) 25 15i 15i 9i2 25 9 34
z 2 34 2 34.
Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают следующими свойствами:
1. |
Коммутативность |
|
|
z1 z2 z2 z1, |
z1z2 z2z1. |
2. |
Ассоциативность |
|
z1 z2 z3 z1 z2 z3 , |
z1z2 z3 z1 z2z3 . |
3 Дистрибутивность
z1 z2 z3 z1z2 z1z3 .
Докажем, например, коммутативность сложения. Пусть z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 . Тогда по формуле (1.5) имеем
z1 z2 x1 x2 i y1 y2 , z2 z1 x2 x1 i y2 y1 .
6
Но по свойству коммутативности сложения действительных
чисел |
x1 x2 x2 x1 и |
y1 y2 y2 y1. |
Следовательно, |
z1 z2 |
z2 z1. Аналогично проверяются остальные свойства. |
||
Из свойств 1-3 вытекает, что операции сложения и ум- |
|||
ножения над комплексными числами x iy |
обладают фор- |
мально такими же свойствами, как если бы число i было действительным. В частности, нет необходимости запоминать формулы (1.5)–(1.6), их можно получить по обычным формулам алгебры. Например, (1.6) вытекает из равенства
x1 iy1 x2 iy2 x1x2 iy1y2 ix2y1 i2y1y2
иравенства i2 1. Числа нуль и единица в множестве комплексных чисел обладают теми же свойствами, что и в множестве действительных чисел. А именно, для любого комплексного числа z имеют место равенства
z 0 z , z 1 z .
В множестве комплексных чисел можно ввести операцию, обратную к операции сложения. Эта операция, как обычно, называется вычитанием. Для любых двух комплексных чисел z1 и z2 существует, и притом только одно, число z , удовлетворяющее уравнению
z z2 z1. |
(1.11) |
Это число называется разностью чисел z1 и z2 и обозначается z1 z2 . В частности, разность 0 z обозначается z.
Из равенств (1.4) и (1.5) вытекает, что для любых ком-
плексных чисел z1 x1 iy1 и |
z2 x2 iy2 уравнение |
(1.11) |
имеет единственное решение |
z x1 x2 i y1 y2 . |
Таким |
образом, |
|
|
(1.12)
Операция, обратная умножению, называется делением, а частным двух комплексных чисел z1 и z2 называется такое число z , которое удовлетворяет уравнению
7
zz2 z1, |
(1.13) |
и обозначается z1 :z2 или z1 z2 . Докажем, что |
уравнение |
(1.13) имеет единственное реше6ние для любых комплексных
чисел |
|
|
z1 |
и z2 , если |
|
z2 0. |
Умножая обе части уравнения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1.13) |
|
|
|
на |
число |
|
z |
2 |
|
и используя формулу (1.10), получаем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
|
z |
2 |
|
2 |
|
z |
z |
2 |
, |
откуда |
умножением |
на |
число |
|
1 |
|
z |
2 |
|
2 |
|
находим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
z |
|
z1 |
z |
2 |
. Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
z1 |
z |
2 |
|
z1 |
z |
2 |
|
|
|
|
|
z2 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.14) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
z2z2 |
|
z2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Если z1 x1 iy1 и z2 |
x2 |
iy2 , то формулу (1.14) можно запи- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сать в виде: |
|
|
|
|
|
x1 iy1 x2 iy2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
z1 |
|
x1 iy1 |
|
|
|
|
x1x2 y1y2 |
|
i |
x2y1 x1y2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x iy |
|
|
x iy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
x iy |
|
2 |
|
x |
2 |
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
y |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.3. Пусть z1 2 3i , |
z2 3 4i.Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 z2 (2 3) i( 3 4) 5 i, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 z2 (2 3) i( 3 4) 1 7i , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z z |
2 |
|
2 3i 3 4i 6 8i 9i 12i2 6 i 12 18 i, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3i |
3 4i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
2 3i |
|
|
|
|
6 8i 9i 12i |
2 |
|
|
|
|
|
6 17 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
z2 |
3 4i |
|
|
|
|
|
3 4i |
|
|
|
|
32 42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 4i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 25 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.2. Геометрическая интерпретация комплексного числа |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть на плоскости задана прямоугольная система коор- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
динат. |
|
|
|
Комплексное |
|
число |
z x iy |
изображается |
|
точкой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
плоскости с координатами x, |
y , и эта точка обозначается той |
же буквой z (рис. 1.1). Такое соответствие между комплексными числами и точками плоскости является взаимно однозначным. При этом действительные числа изображаются точ-
8
ками оси абсцисс, а чисто мнимые числа изображаются точками оси ординат. Поэтому ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат – мнимой осью. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ясно, то точки z и z симметричны относительно начала координат, а точки z и z симметричны относительно действительной оси (рис. 1.1). Комплексное число z изображается также вектором с началом в точке 0 и концом в точке z (рис. 1.1).Такое соответствие между комплексными числами и векторами комплексной плоскости также является взаимно однозначным. Поэтому вектор, изображающий комплексное число z , означается той же буквой z . Из формулы (1.8) и рис.1.1 видно, что длина вектора z равна z и име-
ют место неравенства |
Rez |
|
z |
, |
Im z |
|
z |
. |
_
-z z=x+iy y
-x |
x |
|
|
_ |
-z |
-y |
z |
|
Рис. 1.1
С помощью векторной интерпретации наглядно иллюстрируются сложение и вычитание комплексных чисел. Из фор-
9
мулы (1.5) вытекает, что число z1 z2 изображается вектором,
построенным по обычному правилу сложения векторов z1 и z2
(рис. 1.2). Вектор z1 z2 строится как сумм векторов z1 и z2
(рис. 1.2). Из рис. 1.2 видно, что расстояние между точками z1 и z2 равно длине вектора z1 z2 , т.е. равно z1 z2 .
y
z1+z2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1-z2 |
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.2 |
|
Пример 1.4. |
Множество точек z , удовлетворяющих |
|||||||||||||||
уравнению |
|
z z0 |
|
|
|
|
R, есть окружность радиуса R с центром в |
|||||||||
|
|
|||||||||||||||
точке z0 , так как |
|
|
z z0 |
|
– расстояние между точками z и z0 . |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
Пример 1.5. |
Множество точек z , |
удовлетворяющих |
||||||||||||||
уравнению |
|
|
z z1 |
|
|
|
|
z z2 |
|
|
, есть множество точек, равноуда- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ленных от точек |
|
|
z1 |
|
и z2 . |
Следовательно, |
это уравнение пря- |
мой, перпендикулярной отрезку, соединяющему точки z1 и z2 , и проведенной через его середину.
10
Пример 1.6. Множество точек z , удовлетворяющих
1
уравнению z z1 z z2 2a , где a 2 z1 z2 , есть эллипс с фокусами в точках z1, z2 и с большей полуосью, равной a, так
как |
z z1 |
|
z z2 |
– сумма расстояний от точки z до точек z1 |
и z2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.7. Аналогично, уравнение |
|
|
|
z z1 |
|
|
|
z z2 |
|
|
|
2a , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
где a |
1 |
|
|
z z |
|
|
, является уравнением гиперболы с фокусами |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в точках z1, z2 |
и с действительной полуосью, равной a. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Неравенство треугольника. Для любых комплексных чи- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сел z1 и z2 имеют место неравенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
z1 z2 |
|
|
|
z1 |
|
|
|
z2 |
|
. |
(1.15) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Доказательство. Длины сторон треугольника с верши- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нами в точках 0, z1, z1 z2 равны |
|
z1 |
|
, |
|
z2 |
|
|
|
и |
|
z1 z2 |
|
(рис. 2.1). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, неравенства (1.15) являются известными из элементарной геометрии неравенствами для длин сторон треугольника.
Следствие. Для любых комплексных чисел z1, z2 , |
, zn |
|||||
имеет место неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
||
|
|
|
||||
|
zk |
|
|
zk |
. |
(1.16) |
|
k 1 |
|
k 1 |
|
1.3. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа
Положение точки z x iy на комплексной плоскости однозначно определяется не только декартовыми координатами x, y , но и полярными координатами r . (рис. 1.3), где
r |
z |
– расстояние от точки 0 до точки z , а – угол между |
11
действительной осью и вектором z , отсчитываемый от положительного направления действительной оси. При этом, если отсчет ведется против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по часовой стрелке – отрицательной. Этот угол называется аргументом комплексного числа z ( z 0 )и обозначается arg z (обозначение arg является сокращением французского слова argument). Он определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2 :
Argz argz 2k |
(k 0, |
1, 2, ), |
|
||||||||
где argz есть главное значение Argz , |
определяемое условия- |
||||||||||
ми argz , причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0, |
если |
x 0, y 0 |
|
||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
, |
если |
x 0, |
y 0 |
|
|||||
x |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2, |
если |
x 0, y 0 |
|
||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
, |
если |
x 0, |
y 0 |
|
||||
|
|
|
|
||||||||
x |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.17) |
|
argz |
|
, |
если |
x 0, |
|
y 0 |
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
y |
|
если |
x 0, |
y 0 |
|
||||
arctg |
, |
|
|||||||||
|
|
||||||||||
|
|
x |
|
|
|
если |
x 0, y 0 |
|
|||
|
2, |
|
|||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
, |
если |
x 0, |
y 0 |
|
|||||
|
x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из рис. 1.3. видно, что |
|
|
y rsin . |
|
|||||||
|
x rcos , |
|
(1.18) |
Следовательно, любое комплексное число z 0 можно представить в виде
z r(cos isin ) . |
(1.19) |
Запись комплексного числа в виде (1.19) называется тригонометрической формой комплексного числа. Из формул (1.18) вытекает, что если z x iy, Arg z, то
12
cos |
|
x |
|
, sin |
|
y |
|
. |
(1.20) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x2 y2 |
x2 y2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
z=x+iy=r(cos isin )=rei |
|
|
|
r |
|
|
|
x |
|
Рис. 1.3 |
Пример 1.8. Найдем аргумент комплексного числа |
|
z 1 i. Так как точка |
z 1 i лежит в третьей четверти и |
arctg |
y |
arctg |
1 |
|
|
arctg1 |
|
, |
то по формуле (1.17) получаем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
argz |
|
|
|
3 |
, а |
|
Argz argz 2k |
3 |
2k , |
где |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
k 0, 1, 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Пример 1.9. Записать в тригонометрической форме ком- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
плексное число z 1 i |
|
|
|
. Имеем r |
|
z |
|
|
( 1)2 ( |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
3)2 2, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
argz |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||
arctg |
arctg |
|
3 |
Следовательно, |
|
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
z 1 i 3 2 cos |
|
|
|
|
isin |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Любое комплексное число z 0 можно записать в пока- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
зательной форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z rei , где r |
|
z |
|
, Arg z. |
(1.21) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция ei для любого действительного числа определя-
ется формулой Эйлера
|
ei |
cos isin . |
|
(1.22) |
|||
В частности, e2 i |
1, |
e i 1, e i/2 i, |
e i/2 i , |
|
ei |
|
1. |
|
|
||||||
Из (1.22) получается равенство |
|
|
|
|
|
||
|
e i cos isin . |
|
(1.23) |
Сложением и вычитанием равенств (1.22) и (1.23) получаются
формулы Эйлера:
cos |
ei e i |
, |
|
sin |
ei e i |
. |
(1.24) |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||
Функция ei |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
обладает обычными свойствами показательной |
||||||||||||||||
функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
ei 1 |
|
|
|
|
|
||
|
i i |
|
|
i( |
) |
|
|
i( |
) |
|
|
|
||||
e |
1e |
2 e |
1 2 |
|
, |
|
|
e |
1 2 |
|
, |
|
(1.25) |
|||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ei n |
|
|
|
|
|
|
ei 2 |
|
|
|
|
|
|||
|
ein , |
|
n 0, 1, 2, |
|
|
(1.26) |
||||||||||
Из равенств (1.26) и (1.23) вытекает формула Муавра: |
|
|||||||||||||||
cos isin n cosn isinn , |
n 0, 1, 2, |
(1.27) |
С помощью равенств (1.25) легко получаются формулы умножения и деления комплексных чисел, записанных в показательной форме:
z z |
2 |
rei 1r ei 2 |
rr ei( 1 2) , |
(1.28) |
||||||||
1 |
|
1 |
2 |
|
|
1 2 |
|
|
|
|
||
|
|
z |
|
rei 1 |
|
r |
|
i( |
|
) |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
e |
1 |
2 |
|
. |
(1.29) |
|
|
z2 |
r ei 2 |
r2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из формулы (1.28) следует, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел: z1z2 z1z2 , а сумма аргументов сомножителей является ар-
гументом произведения: argz1 arg z2 arg(z1z2). Аналогично из формулы (1.29) вытекает, что модуль частного двух ком14
плексных чисел равен частному модулей этих чисел: |
z1 |
|
|
|
|
z1 |
|
|
|
||||||||
z2 |
|
|
z2 |
|
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
( z2 0), а разность аргументов делимого и делителя является
аргументом частного: argz1 argz2 arg z1 . z2
Пример 1.10. 1 i3 3 1 i 2 2e i 3 3 2ei 4 2
8 2 e i ei 2 16e i 2 16i .
|
|
Пример 1.11. Вычислить |
|
z |
z |
20 |
, где |
z 1 i |
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 1 i . |
Имеем |
|
z1 |
|
|
|
|
|
|
|
2, |
|
|
1 |
3, |
|
|
z2 |
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 3 |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 4. |
Тогда z |
|
z |
|
|
|
20 |
|
2e |
|
3 |
|
20 |
210 |
|
e 13i 12 |
|
20 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
10 |
65i 3 |
10 |
22i |
|
|
i 3 |
|
10 |
|
|
i 3 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 e |
|
2 e |
|
e |
|
|
|
|
|
2 |
e |
|
|
|
|
|
2 |
cos |
|
isin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 1 i |
3 |
. |
Корень n-й степени (n – натуральное число) из комплексного числа z 0 имеет n различных значений, которые находятся по формуле
n |
|
|
|
|
|
|
|
2k |
2k |
|
|
|
i( 2k ) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||||||||
z n |
z |
|
|
cos |
|
|
isin |
|
|
|
n |
ze |
|
, (1.30) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
где |
arg z , |
k 0,1, 2, , |
n 1. |
Точки, |
|
соответствующие |
||||||||||||||||||||||
этим |
|
значениям, |
являются |
|
вершинами |
|
правильного n- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
угольника, вписанного в окружность радиуса n |
|
z |
|
|
|
с центром в |
||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
начале координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Пример 1.12. |
Найдем все значения |
|
|
. Приводим |
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 i |
комплексное число 1 i к тригонометрическому виду:
15
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1 i |
2 |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
isin |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||||||||
|
31 i |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
2 cos |
|
|
|
|
|
|
isin |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Полагая k 0,1, 2, находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 i |
|
|
|
|
|
|
isin |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
k 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 cos |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 i |
|
|
|
|
|
|
isin |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
k 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 cos |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
k 2, |
|
|
|
1 i |
|
|
|
2 |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
isin |
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
Как уже отмечалось (1.9), модули комплексно сопряженных чисел равны. Установим связь между их аргументами.
Пусть z rei , тогда из равенств (1.22) и (1.23) видно, что z re i . Следовательно, если argz , то argz .
Отметим, что операция сопряжения перестановочна с арифметическими операциями над комплексными числами:
|
|
|
|
|
z |
|
z |
|
, |
|
|
|
|
z |
|
z |
|
, |
|
z1 |
|
|
z1 |
(z |
|
0), |
||
z z |
|
|
|
z z |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
|
2 |
1 |
|
|
2 |
|
1 |
2 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
z2 |
|
|
|
|||
|
|
|
z |
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
zn |
|
(n 0, 1, 2, ), |
z 0 |
при n 0 . |
|||||||||||||||||||||||
1.4. Кривые и области на комплексной плоскости |
||||||||||||||||||||||||||||
Пусть функция |
z (t) определена на отрезке t |
и принимает комплексные значения. Эту комплекснозначную
функцию можно |
представить |
в |
виде (t) (t) i (t), где |
(t) Re (t) и |
(t) Im (t) |
– |
действительные функции. |
Многие свойства действительных функций естественным образом переносятся на комплекснозначные функции.
Предел функции (t) (t) i (t) определяется так
|
|
|
lim (t) lim (t) i lim (t) . |
|
|
|
(1.31) |
|||||||||||||
|
|
|
t t0 |
|
|
|
t t0 |
|
|
t t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, предел |
|
lim (t) |
существует, |
если существуют |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пределы lim (t) и lim (t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
t t0 |
|
|
t t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пределы комплекснозначных функций обладают сле- |
||||||||||||||||||||
дующими свойствами: если существуют пределы lim |
|
(t) a |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t t0 |
1 |
|
1 |
и lim 2(t) a2 , то существуют пределы |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
t t0 |
|
|
|
|
|
(t) |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
(t) a a |
|
|
|
|
lim |
|
(t) |
|
a |
a , |
|
(t) |
|
, |
|
||||||||||
t t0 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
t t0 |
1 |
|
2 |
1 2 |
|
|
||
а если a |
0, |
то |
lim |
1(t) |
|
a1 |
. Аналогичны определения и |
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
t t0 |
2 |
(t) |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
свойства пределов |
|
lim (t) и |
lim (t). |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
t t0 0 |
|
|
t t0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Функция |
(t) (t) i (t) |
называется |
непрерывной |
в |
точке (или на отрезке), если в этой точке (на отрезке) непрерывны функции (t) и (t) . Ясно, что сумма, разность и произведение непрерывных комплекснозначных функций являются непрерывными функциями, а частное двух непрерывных комплекснозначных функций является непрерывной функцией в тех точках, в которых знаменатель не равен нулю. Отметим также, что комплекснозначная функция (t), непрерывная на
отрезке , , |
ограничена на этом отрезке: |
(t) |
M для не- |
||
которого M 0 |
и всех t , |
|
. |
|
|
Производная функции (t) (t) i (t) |
определяется так |
||||
|
|
|
|
(1.32) |
|
|
(t) (t) i (t). |
16 |
17 |
Следовательно, производная (t) существует, если существуют производные (t) и (t). Это определение эквивалентно определению производной с помощью формулы
|
|
|
|
|
|
|
|
(t t) (t) |
. |
|
(1.33) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(t) lim |
|
|
|
|
t |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если существуют производные 1(t) |
и 2(t), то существуют |
||||||||||||||||
производные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
1 |
|
2 |
1 2 |
1 2 |
1 2 , а |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||
если 2(t) 0 |
, то |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Однако не все свойства дифференцируемых действительных функций переносятся на комплекснозначные функции. В частности, для комплекснозначных функций теоремы Ролля и Лагранжа, вообще говоря, неверны.
Пример 1.13. |
Функция (t) eit дифференцируема на |
|||||||
|
|
it |
, |
|
|
|
1 |
при всех t 0, 2 . Та- |
|
|
|
||||||
отрезке 0, 2 , (t) ie |
|
|
(t) |
|
||||
|
не обращается в нуль ни в одной точке от- |
|||||||
ким образом, (t) |
||||||||
резка 0, 2 , хотя (0) (2 ) 1. |
|
|||||||
Комплекснозначную |
функцию |
(t) (t) i (t) можно |
рассматривать как вектор-функцию (t), (t) . Рассмотрен-
ные выше определения предела, непрерывности и производной для функции (t) являются обычными определениями соответствующих понятий для вектор-функции, сформулированные в терминах комплексных чисел. Комплекснозначная функция z (t), t , отображает отрезок , на не-
которое множество точек комплексной плоскости, которое можно рассматривать как график этой функции. В частности, если функция z (t) непрерывна, то ее графиком является некоторая кривая на комплексной плоскости.
18
Пусть на конечном отрезке t задана непрерывная комплекснозначная функция z (t). Тогда говорят, что зада-
на непрерывная кривая |
|
|
z (t), |
t , |
(1.34) |
а уравнение (1.34) называется параметрическим уравнением этой кривой. При этом, если z1 (t1) и z2 (t2), гдеt1 t2 , то говорят, что точка z2 кривой (1.34) следует за точкой z1. Таким образом, кривая (1.34) является упорядоченным множеством точек комплексной плоскости. Другими словами, кривая (1.34) всегда считается ориентированной в направлении возрастания параметра t. Направление движения точки z вдоль кривой (1.34), соответствующее возрастанию параметра t, называется положительным. Пусть кривая задана уравнением (1.34). Тогда на комплексной плоскости точки z (t), t , образуют некоторое множество M( ). Это множество отличается от самой кривой, во-первых тем, что кривая является упорядоченным множеством точек.
Пример 1.14. Кривая |
z eit , 0 t является полуок- |
||||
ружностью |
|
z |
|
1, Im z 0, |
ориентированной против часовой |
|
|
стрелки (рис. 1.4).
Второе отличие кривой от множества M( ) состоит в том, что различным точкам кривой может отвечать одна и та
же точка плоскости: |
если (t1) (t2) при t1 t2 , то точки |
z1 (t1) и z2 (t2) |
являются различными на кривой , но |
как точки плоскости они совпадают. Такие точки называются
точками самопересечения кривой (1.34). Исключением являет-
ся совпадение начала и конца кривой: если ( ) ( ) , то эта точка не считается самопересечением кривой (1.34). Кривая, не имеющая точек самопересечения, называется простой кривой. Кривая, у которой начало и конец совпадают, называется замк-
нутой кривой.
Кривая в примере 1.14 является простой незамкнутой. 19