Учебное пособие 800259

2. Найти выражение и построить график корреляционной функции стационарного случайного процесса со спек-

тральной плотностью, равной № / 2 в полосе частот от					2	до
2	и нулю при, других частотах. Определить величину интер-
вала времени		tK 1 tK , при котором значения	x	K 1	x t	k 1
и	xK x tK	некоррелированых. Сколько некоррелированных

отсчетов содержится в реализации процесса x(t) длительностью Т?

3. Определить спектральную плотность стационарного случайного процесса x(t) с корреляционной функцией

K			n			cos
					2
	X		i			i
			i 1

.

19

Практическая работа №3 Воздействие случайных процессов на линейные цепи

Целью практической работы является изучение связи случайных процессов с линейными цепями.

Задачи практической работы:

определить область применения интеграла Дюамеля;

рассмотреть импульсные характеристики стационарных процессов;

изучить свойства спектральной плотности процесса на выходе стационарной системы.

Теоретические сведения

При рассмотрении преобразования случайных процессов линейными системами можно пользоваться:

аппаратом дифференциальных уравнений, когда интересуются как нестационарными, так и стационарными режимами работы системы, и когда начальные условия в системе не нулевые;

импульсными характеристиками – при нулевых начальных условиях;

комплексными частотными характеристиками систем, когда изучают лишь стационарное состояние линейной системы.

Математическое ожидание и корреляционная функция на выходе системы при нулевых начальных условиях определяется интегралом Дюамеля:

			t		t	g t m	d
m
					0
t	t
K t1 ,t2 1	2	g t1 1 g t2 2					K 1 , 2 d 1d 2
0 0

(37)

(38)

20

где

t

и

t

процессы соответственно на входе и выходе

системы с импульсной характеристикой g(t).

Если процесс на входе – стационарный, то (37) и (38) принимают вид:

			t	t	g x dx
m	t m			g t d m
			0	0
	t	t
K t1 ,t2 1		2	g t1 1 g t2 2 K 2 1 d 1d 2
	0 0

(39)

(40)

Для установившегося режима на выходе линейной системы получим

m	t m	g x dx	;	(41)
	0

	t
K g x dx g x z K z dz
0	0

(42)

Спектральная плотность процесса на выходе стацио-

нарной система с коэффициентом передачи	K j , определя-
ется соотношением

W	W	K j	.
		2

(43)

Если процесс на входе системы гауссовский, то, определив корреляционную функции и математическое ожидание процесса на выходе можно записать закон распределения на выходе системы - он также гауссовский.

На вход дифференцирующего устройства поступает

случайный процесс	t	с математическим	ожиданием
m t sin t	и	корреляционной	функцией

21

K t1 ,t2	D exp t2 t1	2	. Определить
				математическое
ожидание и дисперсию процесса t на выходе системы.
Решение. Случайный процесс t на выходе системы –
отклик,	реакция – связан	с	воздействием	t оператором

дифференцирования: t d t / dt . Используя принцип суперпозиции, получим:

m t

d

m t cos t.

dt

Корреляционная функция на выходе дифференцирую-

щего устройства определяется формулой:

t

д

2

K

t

2D e

t

2

1

2 t

t

2

K

,t

,t

2

1

t .

1

2

дt дt

1

2

2

1

2

1

Полагая

t

2

t

t

, находим

1

K

t

,t

2

D t 2 D

1

На интегрирующую RC -цепь, начиная с момента вре-

мени t=0, воздействует случайное напряжение

t ,

представ-

ляющее собой стационарный белый шум с математическим

ожиданием

m

и корреляционной функцией.

K			N	0
			2

(44)

Определить математическое ожидание и корреляционную функцию сигнала t ; на выходе цепи - напряжения на емкости С.

22

Решение. Импульсная характеристика такой цепи g(t)=α exp (-αt), где α=1/RC. По формуле (40) получаем

После замены переменной t2

t1

и t1

t

получаем:

t,

N

2t

e

2 t

1

N

1

e

2 t

K

0

e

0

e

.

4

4

Отсюда, полагая 0

, находим дисперсии процесса на

выходе:

D

t

N

1 e 2 t

0

4

.

Графики зависимостей

m

t

и

D

t

(рис.

4)

показы-

вают, что достижение дисперсией уровня

0,95D

проис-

ходит за время

t

y

1,5RC

, т.е. вдвое быстрее, чем достижение

уровня 0,95D математическим ожиданьем m t .

23

Рис. 4. Графики зависимостей

m	t

и

D	t

В стационарном режиме t

m	m	; K		t, K			N
							4

0	e		; D	t D

	N	0
	4

.

Вывод: Если на выходе линейной цепи действует белый шум, то в установившемся режиме при 0 корреляционная функция на выходе цепи повторяет по форме импульсную характеристику цепи. Этот факт используется при формировании случайных сигналов с заданными корреляционными свойствами.

На последовательную LR-цепь воздействует напряжение t , представляющее собой белый шум с нулевым мате-

матическим ожиданием и корреляционной функцией (44). Найти спектральную плотность и корреляционную функцию напряжения t на сопротивлении цепи.

24

Решение. По теореме Винера - Хинчина находим:

	W		K exp j d	N
					0	, .
				2

Комплексный коэффициент передачи цепи

где

	0

	K j 1 1 j		0		,
L / R		K j				2	1 1	2	.
	, а квадрат его модуля							0

Находим спектральную плотность на выходе цепи:

W W K j	2	2	2	, .
		N0 / 2 1	0

По формуле Винера - Хинчина вычисляем корреляционную функцию

1

e

1

p e

j

d

p

K

W

W

dp

2

2 j

2 1 p

p j ;W

p N

2

2

где

2

0

0 .

Пользуясь теоремой о вычетах, получим следующие значения вычетов в полюсах подынтегрального выражения

p	1/	:
1,2
			N	0						N	0
		res			exp		; res					exp			.
								2
		1	4 0			0				4 0
														0

Учитывая, что корреляционная функция получена для установившегося режима, когда процесс на выходе стационарный, видим, что первый вычет не соответствует реальному процессу. Тогда окончательно:

25

K

Задание

на

	N
		0	exp				.
	4
		0			0

практическ ую работ у

Основные задачи, связанные с преобразованием случайных сигналов линейными системами, можно разбить на две группы:

1.Задачи корреляционной теории случайных процессов, при решении которых определяют математические ожидания, корреляционные функции и спектральные плотности процессов на выходе линейных систем как в переходном, так и в установившемся режимах.

2.Задачи, требующие определения функций распределения выходного случайного процесса. Они не имеют общего решения за исключением воздействия на систему нормального процесса, поскольку такие процессы полностью описываются

врамках корреляционной теории.

На вход резонансного усилителя с комплексным коэф-

фициентом передачи

K j	K	0	1

ja

, где

а - обобщенная

расстройка, воздействует белый шум со спектральной плотно-

стью

N	0

в области положительных частот. Найти эффектив-

ную шумовую полосу усилителя, корреляционную функцию сигнала на выходе и определить, какова должна быть полоса пропускания усилителя на уровне 0,707K0 чтобы дисперсия

шума на выходе не превышала величины

Dдоп

.

26

Практическая работа №4 Воздействие случайных процессов на нелинейные цепи

Целью практической работы является изучение связи случайных процессов с нелинейными цепями.

Задачи практической работы:

рассмотреть типовое радиотехническое устройство;

определить корреляционную функцию выходного сигнала;

изучить метод характеристических функций.

Теоретические сведения

Простейшее нелинейное преобразование случайного процесса - безынерционное, или функциональное, при котором значение выходного процесса в любой момент времени определяется только значением входного процесса в тот же момент времени

t t

(45)

К нему вводится при которых входной t

также нелинейные преобразования,и выходной t процессы подвер-

гаются дополнительной трансформации, линейными системами, не влияющими на линейный элемент. Это так называемое типовое радиотехническое устройство (рис. 5).

Рис. 5. Типовое радиотехническое устройство

27

При изучении указанных нелинейных преобразований достаточно рассмотреть преобразование (45), поскольку правила преобразования характеристик случайных процессов линейными системами известны.

Плотность вероятности выходного сигнала нелинейного преобразователя отмеривается на основе свойства инвариант-

ности дифференциала вероятности. Если		,....,	n	- отсчеты
	1

случайного процесса

t , наблюдаемые в моменты времени

t	,t	2	,t	3	,...,t	n , то на выходе безынерционного нелинейного эле-
1

мента в те же моменты времени имеем значения сигнала:

	f	,	2	f	2	,....,	n	f	n		.
1	1

Применив обратную функцию , получим:

		,	2		2	,...,	n		n		.
1	1

Тогда многомерная плотность вероятности не выходе:

P		,	,....,	n
вых	1	2

Причем якобиан D

P		,	2	,...,	n	D
вх	1

имеет очень простой вид:

.

D	d		,	d
	d			d
		1

2

	...	d
		d

.

n

В случае многозначных обратных функций следует просуммировать вклады от всех ветвей этих функций.

Корреляционная функция выходного сигнала вычисляется по формуле:

K f f Pвх	, , d d m2 .	(46)

28