Учебное пособие 800259
.pdfФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»
Кафедра систем информационной безопасности
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к практическим занятиям по дисциплине «Теория радиотехнических сигналов»
для студентов специальности 090302 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем» очной формы обучения
Воронеж 2014
Составитель д-р техн. наук Н. М. Тихомиров
УДК 004.056.5
Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Теория радиотехнических сигналов» для студентов специальности 090302 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем» очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. Н. М. Тихомиров. Воронеж, 2013. 56 с.
Методические указания посвящены исследованию аналоговых и дискретных сигналов, их воздействию на линейные и нелинейные цепи, а также способов фильтрации от помех.
Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS Word 2013 и содержатся в файле Тихомиров _ПЗ_ТРС.docx.
Ил. 13. Библиогр.: 5 назв.
Рецензент д-р техн. наук, проф. А. Г. Остапенко
Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. А. Г. Остапенко
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
© ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2014
Практическая работа № 1 Случайные процессы. Законы распределения
и моментные функции
Целью практической работы является изучение основных свойств случайных процессов, определение и виды моментных функций.
Задачи практической работы:
дать определение случайному процессу;
рассмотреть основные характеристики закона распределения;
изучить виды моментных функций.
Теоретические сведения
Случайным процессом, сигналом Х(t) называется функция, значения которой в любой момент времени t – случайные величины. Фиксируя на определенном промежутке времени мгновенные значения случайного сигнала, мы получаем реализацию случайного процесса. Совокупность таких реализаций {
x1 (t) ,
x |
2 |
|
(t)
,
x |
3 |
(t) |
|
|
, …
x |
k |
|
(t)
…} образуется статистический
ансамбль, ансамбль реализации. Случайные процессы, реализации которых зависят от конечного числа случайных пара-
метров, называют квазидетерменированными. |
|
||||||
|
Совокупность получаемых в отдельных реализациях |
||||||
величин |
{ xk t1 }, |
K (1; ) , образует одномерное |
сечение |
||||
данного случайного процесса. Плотность вероятности |
p1 x, t1 |
||||||
случайной величины |
X t1 |
называется одномерной |
плотно- |
||||
стью вероятности процесса |
X t в момент времени t1 . Величи- |
||||||
на |
dP p |
x,t dx |
|
есть вероятность того, что реализации |
|||
|
1 |
1 |
|
случайного лежащие в
процесса в момент времени |
t |
1 |
примут значения, |
|
интервале x; x dx . В общем случае n-мерное
сечение случайного процесса приводит к n-мерной плотности
вероятности
p |
n |
x |
, x |
2 |
,..., x |
n |
;t |
,t |
2 |
,...,t |
n |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
, которая должна удо-
влетворять следующим условиям:
1)положительной определенности;
2)нормировки;
3)симметрии: плотность вероятности не должна ме-
няться при любой перестановке своих аргументов
4) согласованности: при любом |
m n |
|
x |
, x |
2 |
,..., |
1 |
|
|
x |
n |
|
;
P |
|
x |
, x |
,..., x |
;t |
,t |
2 |
,...,t |
m |
|
|
|
|
|||||||||
m |
|
1 |
|
2 |
|
|
m |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
... |
|
p |
|
x |
, x |
|
,..., x |
;t |
,t |
2 |
,...,t |
n |
dx |
...dx . |
||||||
|
|
n |
1 |
2 |
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
m 1 |
n |
Характеристическая функция связана с соответствующей плотностью преобразования Фурье:
-одномерная характеристическая функция:
1 |
j, t |
|
1 |
x, t exp{ j x}dx M exp j x |
|
||||
|
|
p |
||
|
|
|
|
|
(1)
- n-мерная характеристическая функция:
|
|
|
|
j |
, j |
,..., j |
|
|
|
|
|
M |
|
|
j x |
j x |
|
... j |
|
|
|
|
n |
|
;t |
,t |
,...,t |
n |
|
exp |
|
x |
|
, |
|||||||||
|
|
|
1 |
2 |
n |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 1 |
2 2 |
|
n |
n |
|
|
||
где |
M - оператор математического ожидания. |
|
|
|
|
(2)
Для характеристических функций так же справедливо условие симметрии, а условия нормировки и согласованности принимает вид:
n 0,0,...,0;t1 , t2 ,..., tn 1;
m j 1 , j 2 ,.... j m ;t1 ,t2 ...tm j 1 , j 2 ,.... j m ,0,0,...,0;t1 ,t2 ,...tn .
2
Моменты функций случайных процессов. Начальные моментные функции:
одномерная начальная моментная функция k-ого порядка – это математическое ожидание k-й степени
|
|
случайной величины |
X (t) |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
t M X |
|
|
t |
|
x |
|
|
p x,t dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
k |
|
|
|
|
|
|
(3) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мерная начальная моментная функция 1-ого порядка |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
m |
|
|
|
|
t |
, t |
|
,...t |
|
|
M X |
K |
t |
X |
K |
|
t |
|
...X |
K |
n |
t |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
k k |
...k |
n |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ...dx |
|
|
|
|||||
|
|
|
... |
|
x |
K |
x |
K |
|
...x |
K |
n |
, x |
|
,..., x |
|
;t |
, t |
|
,...t |
|
|
, |
|
||||||||||||||||||||||
|
= |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
(4) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
n |
|
1 |
|
|
|
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
При |
|
K K |
1 |
|
K |
2 |
.... K |
n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Одномерная начальная моментная функция первого по- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 t M X t xp1 x,t dx mx t |
|
|
|
|
|
|
(5) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Называется математическим ожиданием, или средним |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
значением случайного |
процесса |
|
t |
. |
|
|
Широко |
используется |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
так же двумерная начальная моментная функция второго порядка:
|
|
|
|
m1,1 t1, t2 M X t1 X t2 |
x1x2 p x1, x2 ; t1t2 |
dx1dx2 |
|
|
|
|
(6) |
Bx t1, t2 , |
|
|
|
3
называемая ковариационной функцией случайного процесса
x t .
Часто рассматривают n-мерные центральные моментные функции k-ого порядка:
M |
k k |
...k |
|
t |
,t |
,...,t |
n |
|
|
|
|
|
||||||
|
n |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 2 |
|
|
|
m |
t |
|
|
X t |
|
|
|||||||
M X t |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
t |
|
|
|
|
2 |
t |
|
|
|
||
= M |
|
X |
|
X |
|
|
|
.... X |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
t |
|||
|
|
x |
|
|
K |
n |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
... |
|
K |
|
||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X t |
|
m |
t |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
n |
|
|
k |
k |
2 |
... k |
n |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(7)
|
|
|
|
|
где |
X t X t mX |
t - центрированный случайный процесс; |
||
|
|
X ti |
mX ti - центрированная случайная величина. |
|
X ti |
Двумерная центральная моментная функция второго порядка
M |
1,1 |
t |
,t |
2 |
|
1 |
|
называется
X t . |
|
|
При |
сией |
D t ; |
M X t |
m |
t |
X t |
2 |
m |
x |
t |
2 |
K |
X |
t |
,t |
2 |
|
(8) |
||||
1 |
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||
корреляционной |
функцией |
|
случайного |
процесса |
|||||||||||||||
t1 t2 t |
функция |
M |
1,1 |
t |
,t |
2 |
|
называется диспер- |
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
D t K |
|
t,t B |
|
t,t m |
|
t M X t m |
t |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
, |
|
X |
|
X |
|
X |
x |
|
которая позволяет определить средне квадратичное отклонение случайного процесса X t :
4
|
|
t |
D |
|
t |
M X t m |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
X |
|
|
X |
|
|
X |
|
|
стационарные случайные процессы.
Случайный процесс стационарен в узком смысле, если
любая его |
|
-мерная плотность вероятности инвариантна отно- |
||
|
||||
сительно временного сдвига |
|
: |
||
|
p x |
,...., x |
n |
;t |
,..., t |
n |
|
1 |
|
1 |
|
|
p x |
,...., x |
n |
;t |
,..., t |
n |
1 |
|
1 |
|
.
Если же ограничить требования тем, что бы математическое ожидание и дисперсия процесса не зависели от времени, а функция автокорреляции определялась только разностью
|
|
t |
2 |
t |
|
||||
|
|
|
1 |
, т.е.
K |
X |
t |
, t |
|
|
1 |
2 |
|
K |
X |
|
, то подобный процесс назы-
вают стационарным в широком смысле. Это эквивалент тому, что одномерная плотность вероятности процесса не зависит от
времени, |
|
|
а |
|
|||
p x |
, x |
2 |
;t |
,t |
2 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
p
двумерная
x1 , x2 ; . Из
зависит |
от |
t |
2 |
t |
; |
|
1 |
определения стационарности
следуют свойства корреляционной и ковариационной функции:
K |
|
K |
|
; K |
|
|
K |
|
0 |
2 |
D |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
x |
|
|
B |
B |
0 m |
2 |
D |
; B |
m |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
x |
x |
|
|
x |
|
|
|
x |
(11)
Иногда используют нормированную функцию автокорреляции, называемую также коэффициентом корреляции случайного процесса:
R |
K |
|
/ |
2 |
; R |
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
x |
x |
|
(12)
Для нормального - гауссовского - случайного процесса оба понятия стационарности совпадают. В общем же случае
5
процесс, стационарный в узком смысле, стационарен и в широком смысле, но не наоборот.
Важный класс стационарных процессов - эргодические случайные процессы, любая статистическая характеристика которых, полученная усреднением по времени одной реализации, эквивалентна характеристике, полученной усреднением по ансамблю реализаций. Из этого определения следует:
m |
|
lim |
1 |
|
T x t dt |
|
||||
x |
|
|
|
|||||||
|
|
T T |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
|
lim |
1 |
T |
|
||||||
Bx |
x t x t |
dt |
||||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
T T |
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
T |
|
|
|||
K x |
l im |
x t mx x t mx dt |
||||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
T T |
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(13)
(14)
(15)
|
Решение. Случайная величина |
x x t |
при любом |
|||||||
|
Найти одномерную плотность распределения вероятно- |
|||||||||
стей процесса |
x t cos t sin t - постоянная угловая ча- |
|||||||||
стота; и |
- взаимно независимые гауссовские случайные |
|||||||||
величины |
с |
нулевыми математическими |
ожиданиями |
|||||||
m |
m |
|
0 |
и равными дисперсиями |
D |
D |
|
2 |
. Опреде- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лить, стационарный ли это процесс в широком или узком смысле.
фиксированном значении t представляет собой линейную комбинацию гауccовских случайных величин и в силу этого также
является гауссовской. Таким образом, для определения плот- |
|||||||
ности вероятности |
p |
x,t |
и стационарности процесса необхо- |
||||
1 |
|
||||||
димо определить его математическое ожидание |
m |
x |
t |
и корре- |
|||
|
|
||||||
ляционную функцию K x t1 ,t2 . |
|
|
|
|
6
По определению для произвольного фиксированного момента времени t получаем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
m |
t |
|
|
|
x t |
|
cos t sin t |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) |
M |
|
|
|
cos t M |
|
|
|
sin t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Поскольку |
|
по |
условию |
|
M m |
0 |
; |
M m |
|
0 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
то mx |
0 – математическое ожидание не зависит от времени; |
|||||||||||||||||||||||||||||
K |
x |
t |
,t |
2 |
B |
t |
,t |
2 |
M x t x t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
M cos t1 sin t1 cos t2 sin t2
M 2 cos t1 cos t2 M 2 sin t1 sin t2
M cos t1 sin t2 cos t2 sin t1
,
Для гауссовских случайных величин независимость и |
|||||||
некоррелированность эквивалентны, |
поэтому M 0 |
, то- |
|||||
гда при условии M |
2 |
M |
2 |
|
2 |
получаем: |
|
|
|
|
|
K |
|
t |
,t |
|
|
2 |
cos t |
cos t |
|
sin t |
sin t |
|
|
2 |
cos t |
|
t |
K |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
2 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, дисперсия |
Dx K x 0 |
2 |
не зависит от |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
времени, а автокорреляционная функция зависит только от
|
|
t |
2 |
t |
|
. Следовательно, процесс X(t) стационарен в широ- |
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
ким и в узком смысле.
Плотность вероятности рассматриваемого процесса не зависит от времени
.
p x |
|
1 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
exp |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
||||
1 |
|
2 |
|
|
2 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
7
Определить одномерную характеристическую функцию нормального стационарного случайного процесса X(t), имею-
щего математическое ожидание |
m |
и дисперсию |
|
2 |
. |
||||||||||
Решение. По определению (I) |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 j M e j x p x e j x dx |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x m 2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
exp |
|
2 |
2 |
|
exp j x dx |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x m 2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
exp |
|
2 |
2 |
|
j x dx |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вводя замену |
переменной |
|
y x m / |
|
и дополняя |
показатель степени экспоненты до полного квадрата, получим:
|
j |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
e j m |
|
exp |
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
v2 2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 j y |
|
exp |
|
j m |
||||||||||||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
exp |
|
|
y j |
|
dy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку |
1/ |
|
2 |
|
|
exp t |
2 |
/ 2 dt 1 |
, |
то |
искомая |
ха- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рактеристическая функция нормального случайного процесса:
|
|
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
j exp |
|
|
|
|||||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jm
.
8