Учебное пособие 800262

т. е. данный		интеграл должен	сходиться для					некоторого
действительного положительного			1. . Если		f t		t		для всех
							Me
положительных t, то интеграл будет сходиться при 1								. Таким
образом,	область сходимости		определяется неравенством
1	, где 1	известна как абсцисса абсолютной сходимости.

Все физически реализуемые сигналы имеют преобразование

Лапласа. Преобразование Лапласа функции времени		f t
определяется выражением
	.
F s f t e stdt L f t		(6)
0

Обратное преобразование Лапласа имеет вид

	f t	1	j	F s e	st
						ds
		2 j j

(7)

При решении большинства практических задач используются таблицы преобразований Лапласа, полученные на основании выражения (6).

Переменную s в преобразовании Лапласа можно рассматривать как оператор дифференцирования, т.е.

	s	d	.
		dt

Аналогично можно ввести оператор интегрирования

1 t dt. s 0

(8)

(9)

Обратное преобразование Лапласа обычно находят путем разложения F(s) на простые дроби с помощью правила Хевисайда. Этот метод, в частности, полезен при анализе и

9

синтезе систем управления, т. к. он позволяет легко выявить влияние каждого корня характеристического уравнения системы.

Чтобы проиллюстрировать преимущества преобразования Лапласа, рассмотрим еще раз механическую колебательную систему, описываемую уравнением (1), которое имеет вид

Md 2 y t b dy t ky t r t , dt2 dt

(10)

Нам необходимо получить решение этого уравнения, т. е. выражение y(t). Преобразование Лапласа уравнения (10) имеет вид:

2

dy 0

b sY s y 0

kY s R s . (11)

M s Y s sy 0

dt

Если r(t) = 0,

y 0

y0

и

dy

0

, то мы получим:

dt

t 0

2	bsY s by0 kY s 0 .
Ms Y s Msy0

Выражая отсюда Y(s), получим:

Y s	Ms b y				p s	.
			0		q s
	Ms	2	bs k

(12)

(13)

Если полином q(s), стоящий в знаменателе, приравнять нулю, то мы получим характеристическое уравнение,

названное так потому, что его корни определяют характер движения системы. Корни характеристического уравнения называют также полюсами системы. Корни полинома p(s), стоящего в числителе, называют нулями системы; например,

10

выражение (13) имеет нуль s = - b/M. В полюсах функция Y(s) обращается в бесконечность, а в нулях она становится равной нулю. Расположение полюсов и нулей на комплексной s- плоскости определяет характер собственного (свободного) движения системы.

Итак, передаточная функция линейной системы определяется как отношение преобразования Лапласа выходной переменной к преобразованию Лапласа входной переменной при условии, что все начальные условия равны нулю. Передаточная функция системы (или элемента) однозначно описывает динамическую связь между этими переменными.

Передаточная функция существует только для линейных стационарных (с постоянными параметрами) систем. В нестационарных системах один или несколько параметров зависят от времени, поэтому преобразованием Лапласа воспользоваться нельзя. Передаточная функция описывает поведение системы в терминах вход-выход и не несет никакой информации о внутренних переменных и характере их изменения.

Последовательность выполнения работы и пример

Для анализа звеньев систем необходимо располагать

уравнениями, связывающими

x и

y в любой момент времени.

Для этого выполняется следующая последовательность

действий:
1.	Устанавливается степень идеализации, и составляют
исходное ОДУ связывающего		x и y .
2.	Выбирают	координаты	номинального

(установившегося) режима, который требуется исследовать, и нелинейные функции координат, входящих в уравнение, линеаризуют в диапазоне находящемся вблизи координат номинального режима работы x0 , y0 .

3. Уравнение преобразуется таким образом, чтобы все абсолютные значения величин заменить приращениями по

11

отношению к координатам номинального режима работы

x0 , y0 .

4. С целью удобства сравнения динамики отдельных звеньев систем переходят к безразмерной форме уравнения динамики, для чего приращения координат относят к значениям координат номинального режима работы.

где

и

величина,

x	;	y
x		y
			0
0

- соответственно безразмерная

	откуда	d x
	x x0 ; y y0 ;		x0
		dt

(14)

входная и выходная

	d	и т.д.	(15)
	dt

5. Полученные значения подставляют в исходное дифференциальное уравнение, разделяют входную и выходную часть, которые затем делят почленно на коэффициент при

или .

Пример 1. Требуется получить уравнение переходного процесса для катушки индуктивности, где ток – выходная величина, напряжение входная (рис. 5).

Рис. 5. Схема к примеру 1

Решение. В любой момент времени в цепи катушки

индуктивности возбуждения напряжение		u и ток	i	связаны
следующей зависимостью
uL ua	u .			(16)

12

где

uL ,ua падение напряжения на индуктивном и активном

сопротивлении катушки.

Так как

uL e , где

e ЭДС

самоиндукции,

e

L

di

, L индуктивность, то

uL

L

di

;ua

Ri, и уравнение

dt

dt

(16) примет вид

L

di

Ri u .

(17)

dt

Задаваясь номинальными значениями U0 и переходим к приращениям координат и получаем:

J	0

,

	L	d i	R i u .
		dt
	Для перехода к безразмерной форме
	динамики обозначим
	u/U0			; i / J0			,
	откуда				d i
	u U0 ; i J			0;		J0	d	.
					dt		dt

(18)

уравнения

(19)

(20)

Подставив (20) в (18), получим:

	LJ0	d	RJ	0 U0 ,
		dt

которое поделим почленно на коэффициент при . Тогда уравнение (21) примет вид:

L d				U0	,
R dt				RJ 0

(21)

(22)

13

где

	L	T
	R

– постоянная времени катушки индуктивности,

характеризующая

U	0		коэффициент
RJ
		0

еединамические свойства;

передачи, характеризующий статические

свойства катушки индуктивности.

Окончательно уравнение переходного процесса примет

	вид
	T	d	k .	(23)
		dt

Пример 2. Определить передаточную функцию цепи в общем виде

R1 1 Ом; R2 5Ом; L 4*106 Гн; C 2*106 Ф

Рис. 6. Схема к примеру 2

Запишем уравнение второго закона Кирхгофа – соотношение связывающее ток и напряжение на ёмкости и начальные условия:

U U	R	U	L	U	C	U	R	,
1
	2						1

U		R *i R *i		1		idt L	di	;
	1
		1	2	C			dt
		U2 0 0, i 0 0 .

Обозначим

U2 (t) x t ,U1 (t) y t .

14

Выходное напряжение

U	2	U	R	R *i,
				2
			2

Откуда определим значение тока и подставим его в уравнение

i

U 2

,

R

2

U1 U2

R

L dU

1

1

U2

2

U

2dt .

R

R

dt

R C

2

2

2

Полученное

уравнение

является

интегро-

дифференциальным и его необходимо привести к дифференциальной форме. После дифференцирования получим:

dU								R	dU									L		2								1
																				d U
	1							1			2													2						U	2 .
				1																		2
dt							R			dt							R				dt						R C
								2										2										2
Умножим всё уравнение на														R2C
dU R C													dU													2
							R1 R2												LC						d U				U		2 .
	1		2															2										2
	dt														dt											dt	2
Обозначим R C =T								, R R							C T , LC T															, тогда
			2		3				1				2							1									2
			dU T							2											dU
								T		d U							T									U			,
				1	3									2									2
				dt					2	dt		2							1		dt							2
или
			y(t)T3				T			d 2U 2						T					dU 2					x(t),
			dt						2	dt 2									1		dt

15

В операторном виде

y p T p T p
	2
3	2

T1 p

1 x

p

,

Далее запишем передаточную функцию системы в виде

отношения	x p
W p				T p	.
				3
	y( p)	T p	2	T p 1
		2		1

Определим передаточную функцию в числовых значениях

	W p			0,1*10	4	p
		8* p	2	0,12*10			4	p 1

Контрольные вопросы

.

1.Что такое передаточная функция?

2.Что такое переходная характеристика? Что такое импульсная характеристика?

3.Как параметры каждого типового звена влияют на переходные характеристики системы?

4.Назовите основные типовые динамические звенья, их передаточные и переходные функции.

5.Что такое характеристическое уравнение?

6.Что такое нули и полюса передаточной функции? Как их найти?

7.Какие показатели качества САР можно определить по переходной характеристике?

16

Варианты заданий

Рис. 7. Схема для выполнения заданий

				Таблица 3
		Исходные данные
	Элемент 1	Элемент 2	Элемент 3	Элемент 4
1	L	C	C	L
2	R	C	R	L
3	R	R	L	C
4	R	C	L	R
5	C	L	R	C
6	R	R	C	L
7	L	L	L	C
8	C	R	L	R
9	L	L	R	C
10	C	R	R	C

17

Практическое занятие № 2 Метод пространства состояний

Цель работы: ознакомление с описанием и исследованием динамических систем управления в

пространстве состояний.

Теоретические сведения

В предыдущей работе мы воспользовались преобразованием Лапласа для получения передаточных функций линейных стационарных систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Этот метод привлекателен тем, что он дает практическое средство анализа и синтеза систем и позволяет использовать структурные схемы для установления связей между подсистемами. В настоящей главе мы рассмотрим альтернативный метод моделирования систем, основанный на их представлении во временной области. Как и раньше, мы будем рассматривать физические системы, описываемые обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка. Используя набор (неединственный) переменных, называемых переменными состояния, мы сможем перейти к системе из п дифференциальных уравнений первого порядка. Записав эти уравнения в компактной матричной форме, мы получим так называемую модель системы в переменных состояния. В таком виде модель уже вполне пригодна для компьютерного анализа.

Переменные состояния динамической системы

Анализ и синтез систем управления во временной области основан на понятии состояния системы. Состояние

системы—это совокупность таких переменных, знание которых, наряду со входными функциями и уравнениями, описывающими динамику системы, позволяет определить ее будущее состояние и выходную переменную. Для динамиче-

ской системы ее состояние описывается набором переменных

18