Учебное пособие 800421

Рис. 2.11. Временная и векторная диаграммы ёмкостного элемента

В общем случае напряжение и ток сдвинуты друг относительно друга на угол φ. Для конкретики приняв начальную фазу напряжения ψu>0, а начальную фазу тока ψi=ψu-φ <0, причем по величине ψu>ψi, имеем сдвиг фаз между напряжением и током

φ>0.

Тогда выражение для мгновенной мощности имеет следующий вид:

p(t) u(t) i(t) Um sin(ωt ψu ) Im sin(ωt ψi )
Um sin(ωt ψu ) Im sin(ωt ψu φ)
	UmIm	cos φ cos(2ωt ψ		ψ	)	(60)
			u
2				i
			ψi ).
UIcos φ UIcos(2ωt ψu

Временная диаграмма, иллюстрирующая изменение мгновенных значений тока, напряжения и мощности для указанного выше случая, представлена на рис. 2.12, там же показана векторная диаграмма действующих значений тока и напряжения.

Из выражения для мгновенной мощности следует, что мощность имеет постоянную составляющую UIcosφ и переменную, изменяющуюся с двойной частотой.

51

Положительная мощность соответствует поступлению энергии из внешней сети в цепь, а отрицательная – возврату энергии во внешнюю сеть.

Рис. 2.12 [1]

Так как мощность определяется произведением тока и напряжения, то потребление энергии в цепи происходит в интервалы времени, когда обе величины имеют одинаковый знак

(рис. 2.12).

Под активной мощностью Р понимают среднее значение мгновенной мощности p(t) за период Т:

						1	T	1	T
				P			p(t) dt		u(t) i (t)dt .	(61)
						T		T
							0		0
	Тогда можно записать:
			1	T
	P			Um sin(ωt ψu ) Im sin(ωt ψi ) dt
			T							(62)
				0
		UmIm			cos φ UIcos φ RI2 .
	2

Активная мощность физически представляет собой энергию, которая выделяется в единицу времени в виде тепло-

52

ты на участке цепи с сопротивлением R. Единица измерения активной мощности Ватт (Вт).

Под реактивной мощностью Q понимают произведение напряжения на участке цепи на ток, протекающий по этому участку, и на синус угла φ между напряжением и током:

Q UIsin φ ХI2 .

(63)

Единица измерения реактивной мощности – вольтампер реактивный (ВАр).

Величина, объединяющая активные реактивные мощности, называется полной мощностью:

S UI .

(64)

Единица измерения полной мощности – вольт-ампер

(ВА).

Полная мощность не имеет физического смысла, но её можно определить как максимально возможную активную мощность, т.е. активную мощность при cosφ=1.

Для того, чтобы вычислить полную мощность нужно комплекс напряжения умножить на сопряженный комплекс тока:

~
S U I .		(65)
Можно расписать
S UIej ψu ψi UIcos φ jUI sin φ P jQ .		(66)

Таким образом, активная мощность Р является действительной частью (Re), а реактивная Q представляет собой мнимую часть (Im) полной мощности.

53

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ R, L, C ЭЛЕМЕНТОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

Пусть по участку электрической цепи с последовательно соединенными резистивным, индуктивным и ёмкостным элементами протекает синусоидальный ток, и известны его мгновенное значение i(t)=Im ∙sin(ωt+ψi) и численные значения параметров R, L, C (рис. 2.13, а).

						Необходимо				опре-
			делить				выражение			для
			мгновенного значения на-
			пряжения на этом участке.
						Сначала			запишем
			для			этого		участка		цепи
			уравнение					по	второму
			закону				Кирхгофа			для
			мгновенных						значений
			напряжений на пассивных
			R,			L,	C		элементов:
			u(t) uR (t) uL (t) uC (t).
	Рис. 2.13 [1]
В интегрально-дифферинциальной форме записи оно
примет вид:
	u(t) Ri(t) L		di(t)		1	i(t)dt.				(67)
			dt		C

Изобразим синусоидальные напряжения с помощью комплексных величин (рис. 2.13, б). Тогда при переходе к действующим комплексным значениям напряжений справедливо выражение:

54

1

U UR UL UC

RI

jωL I

( j

ωC

)I

1

[R j(ωL

)] I [R jХ

jХ

] I

(68)

L

C

ωC

I ZI,

[R j(Х

L

Х

C

)]

где Z R jXL

( jXC ) R j(XL XC )

комплекс-

ное сопротивление цепи с последовательным соединением элементов R, L, C элементов.

Очевидно, что при последовательном соединении в цепях синусоидального тока комплексные сопротивления отдельных участков цепи складываются так же, как и в цепях постоянного тока, но с учетом их характера.

Комплексное действующее значение напряжения на всем участке имеет вид:

1

R 2 (ωL

)2 e jφ Iejψi

R 2 (X

L

X

C

)2 e jφ Iejψi

(69)

ωC

Uejψu ,

1

где

U

R2 (ωL

)2

I

R2 (X

L

X

C

)2

I

ωC

действующее значение напряжения на всем участке;

u

i

начальная

фаза

напряжения

на

всем

участке; φ угол сдвига фаз между напряжением на всем

участке и током.

Амплитудные значения тока и напряжения в 2 больше действующих, поэтому выражение для амплитудного значения напряжения на всем участке имеет вид:

1

U

m

R 2 (ωL

)2 I

m

R 2

(X

L

X

C

)2

I

m

.

(70)

ωC

Тогда искомое выражение для мгновенного значения

напряжения на всем участке имеет вид:

55

u(t) Um sin(ωt ψu ) R 2 (Xl XC )2 Im sin(ωt ψi φ).

Представим комплексное сопротивление в символической форме (комплексной форме):

1

Z R2

(ωL

)2 e jφ

R2

(X

L

X

C

)2 e jφ zejφ , (71)

ωC

1

где

z R2

(ωL

)2

R 2 (X

L

X

C

)2

модуль

ωC

комплексного сопротвления, который называют полным сопротивлением цепи с последовательным соединением элементов R, L, C элементов;

				L	1
			arctg		C		arctg	XL	XC	аргумент
	u
		i		R					R

комплексного сопротивления явлеется уголом сдвига фаз между напряжением и током на данном участке цепи.

Сдвиг фаз определяется соотношением реактивных и активных параметров сопротивлений, включенных на участке цепи.

Возможны три ситуации соотношения реактивных и активных параметров:

1)если L 1 C , ХL>XC, то угол φ>0, ток отстает

по фазе от напряжения или напряжение опережает ток по фазе, в данном случае цепь имеет активно-индуктивный характер;

2)	если L 1 C , ХL>XC, то угол φ<0, ток

опережает напряжение по фазе или напряжение отстает от тока по фазе, в данном случае цепь имеет активно-ёмкостной характер;

3)если L 1 C , ХL=XC, то угол φ=0, ток

совпадает по фазе с напряжением и цепь ведет себя как чисто активное сопротивление (характер цепи чисто активный). Такой режим работы цепи называют режимом резонанса напряжений.

56

Выше были рассмотрены характеры напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке. И было отмечено, что на сопротивлении ток и напряжение по фазе совпадают, на индуктивности напряжение опережает ток на 900, а на ёмкости напряжение отстаёт от тока на 900, то есть должно быть повернуто относительно вектора тока на угол 900 в отрицательном направлении (а на индуктивности в положительном). Это обстоятельство будем учитывать при построении векторных диаграмм на комплексной плоскости. В соответствии с тремя возможными ситуациями соотношения между реактивными сопротивлениями XL и XC, рассмотренными выше, построим три векторные диаграммы для каждого из случаев (рис. 2.14, а, б, в).

При построении векторных дианрамм для простоты принимаем начальную фазу тока равной нулю ψi=0.

а)

б)

в)

Рис. 2.14. Векторные диаграммы для разных соотношений реактивных параметров [5]

57

Рис. 2.15 [1]

ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ R, L, C ЭЛЕМЕНТОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

Пусть к участку электрической цепи с параллельным соединенными резистивным, индуктивным и ёмкостным элементами приложено синусоидальное напряжение, и известны его мгновенное значение u(t)=Um ∙sin(ωt+ψu) и численные значения параметров R, L, C (рис. 2.13, а).

Необходимо определить выражение для мгновенного значения суммарного тока на этом участке.

Сначала запишем для этого участка цепи уравнение по первому закону Кирхгофа для мгновенных значений напряжений R, L, C элементов:

i(t) iR (t) iL (t) iC (t),

(72)

в интегрально-дифферинциальной форме записи оно примет

вид: i(t)	u(t)		1	u(t)dt C	du(t)	.
	R		L		dt

Изобразим синусоидальные токи с помощью комплексных величин, тогда при переходе к действующим комплексным значениям токов справедливо выражение:

I I

I

I

U

U

U

R

L

C

j / ωC

R

jωL

1

1

[

R

j(

ωL

ωC)] U [g

j(bL bC )] U

YU,

где

Y [

1

j(

1

ωC)] g j(b

b

)

L

C

R

ωL

(73)

ком-

плексная проводимостью цепи с параллельным соединением элементов R, L, C, которая определяется как сумма проводимостей параллельных ветвей;

58

g R1 активная составляющая проводимости;

bL 1 реактивная индуктивная составляющая проωL

водимости;

bC ωC реактивная емкостная составляющая прово-

димости.

Комплексное действующее значение суммарного тока на всем участке имеет вид:

j

Ue

jψu

yU e

j(ψu φ)

Ie

jψi

,

(74)

I YU ye

где I

g2 (b

L

b

C

)2

U yU действующее значе-

ние суммарного тока;

ψi ψu φ начальная фаза суммарного тока;

Амплитудные значения тока и напряжения в 2 больше действующих, поэтому выражение для амплитудного значения суммарного тока на всем участке имеет вид:

I	m		g2 (b	L	b	C	)2 U	m	yU .	(75)
									m

Тогда искомое выражение для мгновенного значения суумарного тока на всем участке имеет вид:

i(t) Im sin(ωt ψi ) g2 (bL bC )2 Um sin(ωt ψu φ). (76)

Запишем комплексную проводимость с параллельным соединением элементов R, L, C в показательной форме:

(bL bC )

jarctg

ye jφ , (77)

Y g j(bL bC ) g2

(bL bC )2 e

g

где

y

g2 (b

L

b

C

)2

модуль

комплексной

проводимости, который называют полной проводимостью цепи с последовательным соединением элементов R, L, C элементов;

59

arctg	bL bC	arctg	1/ L C	угол сдвига фаз
	g		1/ R

между напряжением, поданным на вход участка цепи и суммарным током, который определяется соотношением активной и реактивной проводимостей.

Построим векторную диаграмму токов и напряжения (рис. 2.16) приложенного к данному участку цепи, приняв начальную фазу напряжения, для простоты, за ноль ψu 0.

При построение диаграммы примем, что bL bC .

При построение векторной диаграммы будем учитывать, что ток активного элемента совпадает по фазе с напряжением, поэтому вектор этого тока изображается параллельно вектору напряжения; ток идеального индуктивного элемента отстает от напряжения на 900, поэтому вектор этого ток повернут относительно вектора напряжения на 900 по часовой стрелке; ток ёмкостного элемента опережает напряжение на 900, поэтому вектор этого тока повернут относительно вектора напряжения против часовой стрелки на 900.

Рис. 2.16 [4]

Сдвиг фаз определяется соотношением реактивных и

60