Учебное пособие 800519

7.4.4.Задача частичной коммерческой застройки

Во многих случаях условием коммерческой застройки является безвозмездная передача части жилой площади администрации района. Рассмотрим постановку задачи без учета дополнительных затрат на привязку проекта к земельному участку. Обозначим yisi часть жилой площади домов i-го типа, передаваемых администрации, R – общее количество жилой площади, передаваемой администрации.

Постановка задачи.

Определить хi и уi, i 1,m , максимизирующие

Q(x, y) di zi Ci (xi ) ,

(7.4.4.1)

i

di pisi , при ограничениях

0 xi

bi , i 1,m ,

(7.4.4.2)

xi n ,

(7.4.4.3)

i

si yi R .

(7.4.4.4)

i

Рассмотрим случай линейных зависимостей Сi(хi)=Сiхi, i 1,m . Целевая

функция (7.4.4.1) примет вид

Q(x, y) (di ci )zi ci yi i xi ci yi ,

(7.4.4.5)

i

i

где i di ci ,i 1.m.

Сформулируем двойственную задачу. Обозначим ui≥0,

i 1,m , w, z

двойственные переменные.

Двойственная задача:

минимизировать

V(u, v, w, z) biui nz Rw

(7.4.4.6)

i

при ограничениях wi, vi≥0, i 1,m .

z ui

si w ci , i 1,m ,

(7.4.4.7)

z ui i , i 1,m .

(7.4.4.8)

Из условий (7.4.4.7) имеем

ui max( 0;si w ci ) .

Из условий (7.4.4.8) имеем

ui max( 0; i z) .

Заметим, что

max( s	w c		z;		z)		z , если w	di	p	,
		i		i		i
i								si	i
					191

и равен s	w c		z , если w	di	p	.
		i
i				si	i

Пусть p1≤p2≤…≤pm.Поэтому достаточно рассмотреть задачу на отрезках [pk-1, pk], k=1, m-1, p0=0. На отрезке [pk-1, pk] критерий (7.4.4.6) примет вид

k 1			m
V bi max( 0;		i	z) max( 0;si w ci	z) .
i 1			k

Алгоритм решения

Предварительный шаг. Упорядочиваем проекты по возрастанию величин πi и si wk ci .

Основной шаг. Определяем номер q такой, что

m

bi

n ,

q 1

m

bij

n ,

j q

, если i

q

k 1

Полагаем

i

z

wk ci

, если iq k

si

q

q

.

Перебирая не более m отрезков, определяем оптимальное решение

двойственной задачи.

Пример 7.4.4.1. Возьмем данные примера 1. Примем

R=15, p1 2, s1 5,

p2 3, s2 3, p3 1, s3 7 .

1 шаг. Проводим оптимизацию по w при z=0.

Имеем p3<p1<p2,w=p3=1.

v1 0, v2 0, v3 7 .

2 шаг. Проводим оптимизацию по z при w=1.

Имеем π1=7, π2=61/3,π3=4.

u1

max[ 0;7 z] ,

1

u2

max 0;6

z ,

3

u3

max[ 0;4 z] .

Имеем z=61/3,u1=2/3, u

2

0, u 0.

3

3 шаг. Проводим оптимизацию по w при z=61/3.

2

u1

max 0; max( 0;5w 10)

,

3

u2

max 0; max( 0;3w 9) ,

1

u3

max 0; max( 0;7w

7) 2

.

3

Оптимальная величина w=4/3.

192

Имеем u1 23 , u2 0, u3 0.

v1 0, v2 0, v3 2 13 .

V 23 3 3 2 13 4 6 13 20 8 .

Поскольку z v3 u3 6 13 0 0 4 3 , то в силу соотношений

двойственности x3 b3 3.

Поскольку v1 s1w 5 10 d1 , то y1 0 . Поскольку v2 s2 w 3 9 d2 , то y 2 0 .

Имеем x1 1, x2 0, x3 3, y1 0, y2 0, y3 157 2 17 .

Пример 7.4.4.2. Имеются три проекта, данные о которых приведены в табл. 7.4.4.1.

Таблица 7.4.4.1

i	bi	si	pi	di	ci	πi
1	3	5	2	10	3	7
2	3	4	2	8	2	6
3	3	7	1	7	3	4

Примем n=4, R=14.

Поскольку pi=1 или 2, то следует рассматривать всего два интервала w [0;1]и [1;2].

I. Пусть w 1, то есть w 1. В этом случае

V 3 max( 0;4 z) max( 0;7 z) max( 0;6 z) 4z 14w .

Максимум достигается при w 1, z 6 , V(w 1) 13 .

II. Пусть 1 w 2 . В этом случае
V 3 max( 0;7w 3 z) max( 0;7 z) max( 0;6 z) 4z 14w .
Максимум достигается при w	10				3
			, z 7	, V w 1			0 28 20 8 .
	7				7

Это решение является оптимальным.

Заметим теперь, что неравенство z 3 выполняется как строгое.

Поэтому x3 0 .	Аналогично y2 y3 0 . Получаем оптимальное решение
прямой задачи:
	y1 2, x2 2, Q 8.

Рассмотренная задача может быть обобщена на другие случаи. Так представляет интерес решить задачу частичной коммерческой застройки для нелинейных вогнутых функций Ci (xi ) . Это и другие обобщения требуют

дальнейших исследований.

193

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Сформулируйте задачу формирования плана застройки земельного участка.

2.К чему приводит учет ограничений на площадь земельного участка?

3.В чем заключается идея метода сетей допустимых решений?

4.Какая вершина сети всех допустимых решений называется проблемной?

5.Табличный метод допустимых решений задачи формирования плана застройки земельного участка.

6.Сформулируйте постановку задачи формирования плана застройки земельного участка с учетом рисков.

7.В чем заключается задача оптимальной застройки района по критерию прибыли?

8.Расскажите алгоритм решения задачи коммерческой застройки.

ГЛАВА 8. МЕХАНИЗМЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КОРПОРАТИВНОГО ЗАКАЗА

8.1. Механизм управления в экономических системах

Основная задача корпоративных механизмов управления (экономических механизмов корпоративного управления) – согласовать экономические интересы всех участников корпоративных отношений, в первую очередь предприятий, входящих в корпорацию, с интересами корпоративного центра.

Зададимся вопросом: что такое эффективный механизм управления, или какие механизмы управления хотелось бы иметь в корпорации? Для ответа на этот вопрос рассмотрим основные этапы функционирования организационной системы. Таких этапов три – это этап получения данных для принятия решений, этап принятия решений и этап реализации принятых решений.

На этапе получения данных центр формирует информацию, необходимую для принятия решений. В иерархических организационных системах, как правило, многие данные центр получает непосредственно от предприятий. Основная опасность, которая возникает на этом этапе, – это опасность получения недостоверной, сознательно искаженной информации. Завышение оценок требуемых ресурсов как материальных, так и финансовых, завышение сроков выполнения работ и проектов – типичные явления, свидетельствующие о неэффективности действующих в корпорации механизмов управления.

Признак эффективности механизма – представление предприятиями корпоративному центру на этапе получения данных достоверной информации (конечно, в меру информированности самих предприятий) или, другими словами, отсутствие тенденции к завышению или занижению представляемых данных. Механизмы управления, при которых предприятиям выгодно представлять достоверную информацию (выгодно быть честными), называются механизмами открытого управления или «честной игры».

Можно задать вопрос: в каких случаях предприятиям выгодно быть честными. Ответ достаточно очевиден – в тех случаях, когда представляемая

194

информация не будет использована центром для принятия невыгодных для предприятий решений, а будет использована только для принятия выгодных решений. Очевидный факт, но, тем не менее, механизмы честной игры до сих пор довольно редкое явление в российской, да и в мировой экономике. В теории активных систем доказано, что для получения центром от активных элементов системы достоверной информации необходимо и достаточно, чтобы центр применял механизмы честной игры. На этапе принятия решений все определяется способностью центра (директора и его управленческой команды) принимать эффективные решения. Если эффективное решение принято, то крайне важно, чтобы на этапе реализации предприятия были заинтересованы в его реализации. Механизм управления, при котором предприятия заинтересованы в реализации принятых решений, называется согласованным механизмом.

При довольно общих предположениях о применяемых системах стимулирование предприятий за реализацию корпоративных планов доказано, что эффективный механизм управления должен быть согласованным механизмом. Механизм управления, обладающий обоими свойствами, то есть согласованный механизм честной игры, называется правильным.

Кроме эффективного текущего функционирования важно, чтобы предприятия были заинтересованы в развитии, то есть в росте эффективности производства, что в первую очередь связано со снижением издержек. Механизмы управления, при которых предприятиям выгоден рост эффективности производства (рост качества, снижение издержек), называются прогрессивными, а если речь идет только о снижении издержек, то противозатратными. Рассмотрим свойства этих механизмов на примерах простых задач принятия решений. Будем рассматривать двухуровневую активную систему, состоящую из центра и n активных элементов, например, объединение из n предприятий. Примем, что объединение имеет централизованный фонд развития величины R. Обозначим хί средства, получаемые из этого фонда предприятием ί, φί (хί) – эффект от использования этих средств. Задача заключается в таком распределении средств R, чтобы суммарный эффект был максимален. Если бы центр имел информацию о функциях эффекта предприятий, то, решая задачу

			n	xi
		max i
		x	i 1
при ограничениях x i 0. i 1, n ,
		n
		xi R ,			(8.1.1)
		i 1

он получил бы оптимальное распределение финансовых ресурсов. Пусть, например, i (xi) 2 ri xi , где rί- показатель, характеризующий эффективность производства ί-го предприятия.

195

Тогда оптимальное решение имеет вид

	xi	ri	R,	(8.1.2)
		H

n

где H ri .

i 1

Проблема, однако, в том, что коэффициенты rί центру не известны и он вынужден запрашивать информацию о них у предприятий. Обозначим Sί оценку эффективности rί, сообщаемую предприятием ί. Заметим, что если Sί ≠ rί, то решение (8.1.2) может быть весьма далеким от оптимального. Для обеспечения достоверной информации о функциях эффекта, как было сказано выше, необходимо принять механизмы честной игры.

Введем плату λ за единицу предоставляемого предприятию ресурса. В этом случае целевая функция ί-го предприятия будет иметь вид

i xi xi 2
	ri xi xi .		(8.1.3)

В силу принципа честной игры при установлении платы λ центр обязан дать ί-му предприятию то количество ресурса, которое обеспечивает предприятию максимум величины (8.1.3). Нетрудно показать, что этот

максимум достигается при r x				ri	.
		i
i				2
Выбирая λ из условия (8.1.1), получаем							H	.
							R
									n
Подставляя вместо rί	оценку Sί , а вместо Н соответственно S Si ,

i 1

получаем процедуру распределения ресурсов на основе информации {Sί} от предприятий:

xi Si R,			S		.	(8.1.4)
S			R

При достаточно большом числе предприятий изменение оценки отдельного предприятия слабо влияет на параметр λ. Если принять, что предприятия не учитывают этого слабого влияния при принятии решения о сообщении оценки Sί (гипотеза слабого влияния), то механизм управления (8.1.4) является механизмом честной игры. Это означает, что максимум прибыли (8.1.3) предприятие получает при сообщении достоверной оценки Sί=

rί.

Заметим, что при этом распределение ресурсов обеспечивает максимум суммарного эффекта для объединения. Очевидно также, что данный механизм является согласованным, то есть предприятию выгодно реально израсходовать ресурс в количестве хί (запланированное количество), обеспечив

запланированную величину 2xi ri . Чтобы показать, что данный механизм

196

является прогрессивным, достаточно подставить (8.1.4) в целевую функцию

(8.1.3):

2xi ri xi ri

.

Очевидно, что с ростом эффективности rί увеличивается и прибыль предприятия. В задачах текущего планирования, как правило, используется имеющаяся нормативная информация об издержках производства (материальных и трудовых). Поэтому основным требованием к механизмам текущего планирования является обеспечение заинтересованности в реализации плана, то есть требование согласованности механизма.

Обозначим хί план производства ί-го предприятия, а уί – реализацию плана. Представим целевую функцию предприятия в виде

i(xi, yi) = hi(yi) – i(xi, yi),

где hi(yi) – функция дохода (прибыли) от выпуска продукции в количестве уί,i(xi, yi) – функция штрафа, если уί ≠хί.

Обозначим Sί множество планов, которые предприятию выгодно выполнять. Другими словами, если xi Si, то максимум целевой функции i(xi, yi) достигается в точке уί = хί, то есть при точном выполнении плана. Множество Sί называется множеством согласованных планов, а задача поиска оптимального плана на множестве согласованных планов – задачей оптимального согласованного планирования. При достаточно общих условиях на функции штрафа оптимальный механизм управления существует среди механизмов согласованного планирования.

К наиболее известным условиям на функции штрафа относится так

называемое «неравенство треугольника»:
i(xi, yi) + i(yi, zi) i(xi, zi)	(8.1.5)

В частности, любые функции штрафа, вогнутые на полуосях (рис. 8.1.1), удовлетворяют неравенству (8.1.5) и, следовательно, для таких функций штрафа механизм текущего планирования должен быть согласованным механизмом.

i(xi, yi)

Хί хί

Рис.8.1.1

197

Противозатратные механизмы рассмотрим на примере системы «производитель – потребитель». Производитель может выполнить некоторый проект (разработку), нужный потребителю.

Минимальные затраты на проект у производителя составляют r, а максимальная (предельная) цена, которую согласен заплатить потребитель, равна L. Требуется установить механизм определения цены Ц(S,L) в зависимости от оценки затрат S, даваемой производителем, и предельной цены L потребителя. Механизм ценообразования является противозатратным, если производитель заинтересован, во-первых, в сообщении достоверной (минимальной) оценки затрат S = r, во-вторых, в снижении издержек, а в третьих, в снижении цены при снижении издержек.

Примем, что интерес производителя определяется стремлением к максимизации суммы планируемой прибыли и остающейся у него доли сверхплановой прибыли:

П = [Ц(S, L) – S] + (S – r).

Эта зависимость должна быть убывающей функцией S. Обозначим L/S эффективность проекта и будем искать зависимость Ц(S, L) в виде

Ц(S, L) + [1 + ρ(Э)]S.

Для этого случая условия противозатратности имеют вид

< h (Э) < 1,

где

	h (Э) Э	dp	p(Э)	(8.1.6)
		dЭ

– характеристическая функция множества противозатратности. Зная характеристическую функцию, легко определить множество значений эффективности, на котором свойство противозатратности имеет место.

Пример 8.1.1. Принцип равных рентабельностей. Суть принципа в том, что цена должна быть установлена на уровне, обеспечивающем одинаковую планируемую прибыль на единицу затрат и для производителя, и для потребителя, то есть

Ц S

S Ц

.

S

Ц

Отсюда получаем механизм ценообразования:

Ц

1 (

1) S .

L S

Э

Определим характеристическую функцию, учитывая, что p (Э)

Э 1.

Имеем

dp

p Э

1

1

Э

Э Э 1 1

Э

dЭ

2

2

.

Из условия противозатратности

198

		1
	1			Э 1
		2

получаем

0< Э< 4 (1 – )2.

Таким образом, механизм, основанный на принципе равных рентабельностей, противозатратен только в области малых эффективностей. Механизм ценообразования, противозатратный при всех значениях эффективности Э>1, получается, если взять h(Э), удовлетворяющую (8.1.6), и решить обратную задачу, то есть получить р(Э). Так, если h (Э) = k, где < k < 1, то получаем следующий механизм:

р(Э) = k (Э – 1), Ц = S +k(L – S).

Недостатком рассмотренных механизмов ценообразования является необходимость деления прибыли на планируемую (плановую) и сверхплановую. От этого недостатка свободны противозатратные механизмы налогообложения.

Противозатратным механизмом налогообложения (прибыли) называется такой налоговый механизм, который заинтересовывает монопольного производителя снижать издержки производства и при этом снижать цену продукции. Заметим, что действующие механизмы налогообложения не являются противозатратными в указанном смысле. Так, например, механизм налогообложения с постоянной налоговой ставкой является только слабопротивозатратным, то есть стимулирует снижение только издержек, но не цены. Образно говоря, он действует по принципу «дешево производить – дорого продавать» Действительно, при налоговой ставке остаточная прибыль производителя составит

П0 = (1 – ) (Ц – S).

Очевидно, что, желая увеличить эту прибыль, производитель будет уменьшать S до минимальной величины r (дешево производить) и увеличивать Ц до предельной величины L (дорого продавать).

Если ввести предельный уровень рентабельности и всю прибыль сверх этого уровня изымать в бюджет, то получаем затратный механизм налогообложения, действующий по принципу «дорого производить – дорого продавать». Действительно, монополисту в этом случае будут выгодны цена и издержки, при которых уровень рентабельности равен предельном уровню , то есть

П0 = (1 – ) S,

Ц = (1 – ) S = L.

Таким образом, монополист будет продавать продукцию по предельной цене L (дорого продавать), увеличивая издержки до уровня S = L/ (1 + ), обеспечивающего предельный уровень рентабельности (дорого производить).

Для того, чтобы получить противозатратный механизм налогообложения, необходимо предельный уровень рентабельности сделать не фиксированным, а

199

зависящим от эффективности производства монополиста. Если взять, например,= k(Э-1), то по-прежнему монополисту будет выгодно устанавливать цену и издержки так, чтобы рентабельность продукции равнялась предельному уровню. В этом случае

П0 = (1 – ) S = (1- ) k (L –S), Ц = (1 – ) S = S + k (L- S).

Легко видеть, что монополисту выгодно снижать издержки до минимума величины r (дешево продавать) и при этом снижать цену до величины Ц = r + k(L-r) (дешево продавать).

Пример 8.1.2. Пусть L = 1000, r = 100, k = 1/3. В этом случае самая выгодная для монополиста цена продукции составит

Ц = 100 + 1/3 (1000 – 100) = 400 << 1000.

8.2. Распределение корпоративного заказа

Как уже отмечалось выше, объединившись в корпорацию, предприятия получают существенные конкурентные преимущества. Одним из них является возможность организации корпоративной маркетинговой службы, что позволяет проводить серьезные маркетинговые исследования и получать крупные заказы. Однако при этом возникает проблема распределения корпоративного заказа между предприятиями корпорации. Эта проблема возникает в двух случаях. В первом случае в условиях горизонтальной интеграции предприятия могут пересекаться по выпускаемой номенклатуре. Во втором случае предприятия выпускают различную номенклатуру, но величина заказов ограничена величиной корпоративных оборотных средств. В данном случае фактически речь идет о распределении корпоративных оборотных средств. Далее для определенности будем рассматривать первый случай.

Дадим формальную постановку задачи. Имеются n предприятий, входящих в корпорацию, и корпоративный заказ величиной R (величину заказа будем измерять в единицах продукции). Обозначим через Qi величину заказа, которую может взять предприятие, а через Ci – себестоимость производства данной продукции (прямые затраты). Проблема возникает в том случае, когда

n

Qi R ,

i 1

то есть величина заказа меньше, чем суммарные возможности предприятий. Обозначим через xi величину заказа, выполняемую предприятием ί. Если xi заданы, то маргинальная прибыль корпорации составит

n
Цд Сi xi ,	(8.2.1)
i 1
где Цд – договорная цена продукции при ограничениях
0 xi Qi ,	(8.2.2)
n
xi R .	(8.2.3)

i 1

200